Visualisasi Teorema De Moivre | Lab Bilangan Kompleks

Teorema De Moivre

Teorema De Moivre adalah hasil fundamental dalam teori bilangan kompleks yang menghubungkan bilangan kompleks dengan trigonometri. Teorema ini memberikan cara yang ampuh untuk menghitung pangkat dan akar bilangan kompleks.

Teorema

Untuk setiap bilangan kompleks dalam bentuk polar dan setiap bilangan bulat n:

\[ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \]

Aplikasi

• Menghitung Pangkat: Teorema ini menyederhanakan perhitungan pangkat bilangan bulat dari bilangan kompleks dengan mengalikan modulus dengan dirinya sendiri sebanyak n kali dan mengalikan argumen dengan n.
• Mencari Akar: Teorema ini dapat diperluas untuk mencari akar ke-n dari bilangan kompleks menggunakan rumus:

\[ \sqrt[n]{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) \]

untuk \( k = 0, 1, 2, ..., n-1 \) menghasilkan \( n \) akar: \( \; w_0, \; w_1, ..., \; w_{n-1} \)

Cara Menggunakan Alat Ini

• Masukkan bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks Anda
• Pilih apakah akan menghitung pangkat atau akar
• Tetapkan eksponen (untuk pangkat) atau derajat akar (untuk akar)
• Klik "Hitung & Visualisasikan" untuk melihat hasil
• Gunakan kontrol zoom untuk menyesuaikan tampilan bidang kompleks

Visualisasi menunjukkan bilangan kompleks asli dan pangkat atau akar yang dihitung pada bidang kompleks, dengan sudut diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu real positif untuk sudut positif dan searah jarum jam untuk sudut negatif.