Calcolatore intersezione sfera-retta

Equazione della sfera (centro \((h,k,l)\), raggio \(r\)):

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\]

Forma parametrica della retta (punto \((x_0,y_0,z_0)\), direzione \((a,b,c)\)):

\[x = x_0 + a t,\quad y = y_0 + b t,\quad z = z_0 + c t\]

Sostituzione porta a un'equazione quadratica in \(t\):

\[(x_0 + a t - h)^2 + (y_0 + b t - k)^2 + (z_0 + c t - l)^2 = r^2\]

Dopo lo sviluppo:

\[ \underbrace{(a^2+b^2+c^2)}_{A}\;t^2 \;+\; \underbrace{2\big[a(x_0-h)+b(y_0-k)+c(z_0-l)\big]}_{B}t \;+\; \underbrace{(x_0-h)^2+(y_0-k)^2+(z_0-l)^2 - r^2}_{C} = 0 \]

Discriminante \(\Delta = B^2 - 4AC\) determina il tipo di intersezione:

• \(\Delta > 0\) : due punti distinti (secante)
• \(\Delta = 0\) : un punto (tangente)
• \(\Delta < 0\) : nessuna intersezione reale (retta esterna alla sfera)

Quindi \(t = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}\) e si sostituisce nelle equazioni della retta.