Dimensioni Rettangolo: Trova Lunghezza e Larghezza

Formule e Metodo di Soluzione

Dati il perimetro \( P = 2L + 2W \) e l'area \( A = L \times W \) di un rettangolo, possiamo trovare la sua lunghezza \(L\) e larghezza \(W\).

Derivazione Passo Passo

1. Dal perimetro: \( \displaystyle L + W = \frac{P}{2} \)
2. Sia \( S = \frac{P}{2} \). Allora \( W = S - L \).
3. Sostituisci nell'equazione dell'area: \( \displaystyle L \times (S - L) = A \)
4. Questo si semplifica nell'equazione quadratica: \( \displaystyle L^2 - S\,L + A = 0 \)
5. Risolvendo per \(L\) con la formula quadratica: \[ L = \frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4A}}{2} \]
6. La larghezza è quindi \( W = S - L \). La diagonale si trova con il teorema di Pitagora: \( d = \sqrt{L^2 + W^2} \).

Condizione di Esistenza

Un rettangolo con area \(A\) e perimetro \(P\) dati esiste solo se il discriminante \( \; S^2 - 4A \; \) è non negativo: \[ \left(\frac{P}{2}\right)^2 - 4A \ge 0 \quad \text{o equivalentemente} \quad P^2 \ge 16A \]

Se questa condizione non è soddisfatta, nessun rettangolo reale possiede tali dimensioni.

Esempio

Per \(P = 14\) e \(A = 12\) (valori predefiniti):

• \(S = \frac{P}{2} = 7\)
• Discriminante: \(7^2 - 4 \times 12 = 49 - 48 = 1\)
• \(\sqrt{\Delta} = 1\)
• Lunghezza = \(\frac{7 + 1}{2} = 4\), Larghezza = \(\frac{7 - 1}{2} = 3\)
• Verifica: Perimetro = \(2(4+3) = 14\) ✓, Area = \(4 \times 3 = 12\) ✓
• Diagonale = \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)

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