Questo calcolatore determina la percentuale della superficie terrestre coperta da un satellite a una data altitudine \( H \) (in km) e angolo di elevazione \( \gamma \). La Terra è modellata come una sfera con raggio \( R = 6378 \) km. L'area coperta forma una calotta sferica.
Nella figura sottostante, un satellite nel punto \( S \) in orbita attorno alla Terra può coprire solo una porzione della Terra che ha la forma di una calotta sferica.
La figura seguente mostra una rappresentazione bidimensionale di un satellite a un'altitudine \( H \) sopra la superficie terrestre. \( \alpha \) è il semi-angolo al centro della Terra tra la verticale del satellite e il raggio verso il punto dell'orizzonte. \( \gamma \) è l'angolo di elevazione del satellite misurato dall'orizzonte.
L'area di una calotta sferica è data da:
\[ A_{calotta} = 2\pi R h \]Il rapporto \( f \) tra l'area della calotta e la superficie totale della Terra è:
\[ f = \frac{2\pi R h}{4\pi R^2} = \frac{1}{2} \frac{h}{R} \]Dalla geometria, \( \cos(\alpha) = \dfrac{R-h}{R} = 1 - \dfrac{h}{R} \), quindi:
\[ \frac{h}{R} = 1 - \cos(\alpha) \]Sostituendo nell'espressione per \( f \):
\[ f = \frac{1}{2} (1 - \cos(\alpha)) \quad \text{(I)} \]Dal triangolo \( OAS \), gli angoli soddisfano:
\[ \alpha + \gamma + \theta + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies \theta = 90^{\circ} - \alpha - \gamma \]Usando il teorema dei seni nel triangolo \( OAS \):
\[ \frac{\sin(\gamma+90^{\circ})}{R+H} = \frac{\sin(\theta)}{R} \]Poiché \( \sin(\gamma+90^{\circ}) = \cos(\gamma) \) e \( \sin(\theta) = \sin(90^{\circ}-\alpha-\gamma) = \cos(\alpha+\gamma) \):
\[ \frac{\cos(\gamma)}{R+H} = \frac{\cos(\alpha+\gamma)}{R} \]Moltiplicando incrociato:
\[ R \cos(\gamma) = (R+H) \cos(\alpha+\gamma) \]Pertanto:
\[ \cos(\alpha+\gamma) = \frac{R}{R+H} \cos(\gamma) \]Applicando l'arcocoseno:
\[ \alpha + \gamma = \arccos\left(\frac{R}{R+H} \cos(\gamma)\right) \]Infine, risolvendo per \( \alpha \):
\[ \alpha = \arccos\left(\frac{R}{R+H} \cos(\gamma)\right) - \gamma \quad \text{(III)} \]Il calcolatore utilizza le formule (I) e (III) per calcolare la percentuale di copertura \( f \times 100\% \) e il semi-angolo \( \alpha \) al centro della Terra.
Inserisci l'altitudine H e l'angolo di elevazione γ per calcolare la percentuale di copertura
| Tipo di Satellite | Altitudine H (km) | Elevazione γ | α Atteso | α Calcolato | f% Attesa | f% Calcolata |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Orbita Terrestre Bassa (LEO) | 500 | 0° | 20.1° | -- | 3.0% | -- |
| Orbita Terrestre Bassa (LEO) | 500 | 30° | 7.5° | -- | 0.4% | -- |
| Orbita Terrestre Media (MEO) | 20.000 | 0° | 76.0° | -- | 37.9% | -- |
| Geostazionario (GEO) | 35.786 | 0° | 81.3° | -- | 42.4% | -- |
| Geostazionario (GEO) | 35.786 | 30° | 52.5° | -- | 19.6% | -- |
| Orbita Molto Alta | 100.000 | 0° | 86.6° | -- | 47.0% | -- |
Nota: I valori "Attesi" provengono da calcoli di riferimento che utilizzano le stesse formule. Le colonne "Calcolato" mostrano ciò che produce questo calcolatore. Dovrebbero corrispondere strettamente!
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