Volume e Area Superficiale di un Toro (Anello)

Calcolatore interattivo per il toro con derivazione completa. Inserisci il raggio interno \( r_1 \) e il raggio esterno \( r_2 \).

Calcolatore Toro

Valori dei raggi ( \( r_2 \ge r_1 \) ) – risultati in unità cubiche e quadrate.
DIMENSIONI DEL TORO
PRECISIONE

Risultati

— unità³
— unità²

* L'area superficiale è l'area laterale (dell'anello), non include le due "estremità" circolari (che per un toro sono zero).

Geometria del Toro

Un toro (anello) è generato ruotando un cerchio piccolo di diametro \( d \) lungo un cerchio grande di raggio \( R \) (distanza dal centro del tubo al centro del toro).

Toro anello 3D
Figura 1: Toro anello – raggio interno \( r_1 \), raggio esterno \( r_2 \)

Dal diagramma: \( r_2 = R + d/2 \), \( r_1 = R - d/2 \). Sommando si ottiene \( r_1 + r_2 = 2R \), sottraendo si ottiene \( r_2 - r_1 = d \).

Sezioni del toro lungo i piani xy e yz
Figura 2: Sezioni del toro – raggi interno (\( r_1 \)) ed esterno (\( r_2 \))

Immagina di tagliare il toro e di svolgerlo in un cilindro (Figura 3). Il cilindro ha diametro \( d = r_2 - r_1 \) e lunghezza uguale alla circonferenza del cerchio grande: \( 2\pi R = \pi (r_1 + r_2) \).

Toro sviluppato come un cilindro
Figura 3: Toro "srotolato" – un cilindro di diametro \( d \) e lunghezza \( 2\pi R \)

Formula del Volume

Volume del cilindro = area di base × altezza = \( \pi (d/2)^2 \times (2\pi R) \). Sostituisci \( d = r_2 - r_1 \) e \( R = (r_1+r_2)/2 \):

\[ V = \pi \left( \frac{r_2 - r_1}{2} \right)^2 \times 2\pi \left( \frac{r_1 + r_2}{2} \right) = \frac{1}{4}\pi^2 (r_2 - r_1)^2 (r_1 + r_2) \]

Area della Superficie Laterale

Area laterale del cilindro = circonferenza di base × altezza = \( (\pi d) \times (2\pi R) \). Sostituisci \( d \) e \( R \):

\[ A_L = \pi (r_2 - r_1) \times \pi (r_1 + r_2) = \pi^2 (r_2 - r_1)(r_1 + r_2) \]

✅ Formule finali utilizzate nel calcolatore ✅
\( V = \frac{\pi^2}{4}(r_2-r_1)^2(r_1+r_2) \)   |   \( A_L = \pi^2 (r_2^2-r_1^2) \)

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