Grafici delle funzioni logaritmiche

Grafica e disegnare funzioni logaritmiche: un passo a passo. Le propriet�, come dominio, gamma, asintoti verticali e intercetta i grafici di queste funzioni sono anche esaminati in dettaglio. Carta millimetrata Free � disponibile.

Revisione

Per prima cosa si aprono con le propriet� del grafico della funzione logaritmica di base di base di uno,

f (x) = log a (x), a> 0 e non uguale a 1.

Il dominio della funzione f � l'intervallo (0, + inf). La gamma di f � l'intervallo (-inf, + inf).

L'inf simbolo significa infinito.

Funzione f ha un asintoto verticale data da x = 0. Questa funzione ha una intercetta x in (1, 0). f aumenta man mano che aumenta x.

Si consiglia di rivedere tutte le propriet� di cui sopra della funzione logaritmica in modo interattivo.


Esempio 1: f � una funzione data da

f (x) = log2 (x + 2)

  1. Trovare il dominio di f e la gamma di f.
  2. Trovare l'asintoto verticale del grafico di f.
  3. Trova la x e intercetta y del grafico di f se ce ne sono.
  4. Disegnare il grafico di f.

Risposta a Esempio 1

a - Il dominio di f � l'insieme di tutti i valori x tali che�

x + 2> 0

x > -2

La gamma di f � l'intervallo (-inf, + inf).

b - l'asintoto verticale si ottiene risolvendo

�x + 2 = 0

che d�

�x = -2

Per x che tende -2 da destra (x > -2), f (x) diminuisce senza limiti. Come facciamo a saperlo?

Prendiamo alcuni valori:

f (-1) = log 2 (-1 + 2) = log 2 (1) = 0

f (-1,5) = log 2 (-1,5 + 2) = log 2 (1 / 2) = -1

f (-1,99) = log 2 (-1,99 + 2) = log 2 (0,01), che � approssimativamente uguale a -6,64

f (-1,999999) = log 2 (-1,999999 + 2) = log 2 (0,000001), che � approssimativamente uguale a -19,93.

c - Per trovare l'intercetta x abbiamo bisogno di risolvere l'equazione f (x) = 0

log2 (x - 2) = 0

Utilizzare le propriet� delle funzioni esponenziali e logaritmiche a scrivere l'equazione di cui sopra, come

(x - 2) = 20

Poi semplificare

�x + 2 = 1

x = -1

L'intercetta x � in (-1, 0).

L'intercetta y � data da (0, f (0)) = (0, log 2 (0 + 2)) = (0, 1).

d - Finora abbiamo il dominio, gamma, X e Y e intercetta l'asintoto verticale. Abbiamo bisogno di pi� punti. Consideriamo un punto x = -3 / 2 (a met� strada tra l'intercetta x e l'asintoto verticale) e un altro punto in x = 2.

f (-3 / 2) = log 2 (-3 / 2 + 2) = log 2 (1 / 2) = log 2 (2 -1) = -1.

f (2) = log 2 (2 + 2) = log 2 (22) = 2.

Ora abbiamo pi� informazioni su come grafico f. Il grafico aumenta con l'aumentare x. Vicino alla asintoto verticale x = -2, il grafico di f diminuisce senza limite per x che tende -2 dalla destra. Il grafico non tagli l'asintoto verticale. Ora unire i vari punti da una curva regolare.


Problema abbinate a Esempio 1: f � una funzione data da

f (x) = log2(x+3)

  1. Trovare il dominio di f e la gamma di f.
  2. Trovare l'asintoto verticale del grafico di f.
  3. Trova la x e intercetta y del grafico di f se ce ne sono.
  4. Disegnare il grafico di f.


Esempio 2: f � una funzione data da

f (x) = -3 ln(x - 4)

  1. Trovare il dominio di f e la gamma di f.
  2. Trovare l'asintoto verticale del grafico di f.
  3. Trova la x e intercetta y del grafico di f se ce ne sono.
  4. Disegnare il grafico di f.

Risposta a Esempio 2

a - Il dominio di f � l'insieme di tutti i valori x tali che�

x - 4 > 0

oppure x > 4

La gamma di f � l'intervallo (-inf, + inf).

b - l'asintoto verticale si ottiene risolvendo

�x - 4 = 0

x = 4

Come si avvicina x 4 da destra (x> 4), f (x) aumenta senza limite. Come facciamo a saperlo?

Prendiamo alcuni valori:

f (5) = ln (5-4) = -3ln (1) = 0

F (4,001) =- 3ln (0.001), che � pari a circa 20,72.

f (4.000001) = -3ln (0,000001), che � pari a circa 41,45.

c - Per trovare l'intercetta x abbiamo bisogno di risolvere l'equazione f (x) = 0

-3ln(x - 4) = 0

Dividere entrambi i lati da -3 a ottenere

ln (x - 4) = 0

Utilizzare le propriet� delle funzioni esponenziali e logaritmiche a scrivere l'equazione di cui sopra, come

e ln (x - 4) = e 0

Poi semplificare

�x - 4 = 1

x = 5

L'intercetta x � (5, 0).

L'intercetta y � data da (0, f (0)). f (0) � indefinito poich� x = 0 non � un valore nel dominio di f. Non vi � alcun intercetta su y.

d - Finora abbiamo il dominio, gamma, x intercettare e l'asintoto verticale. Abbiamo bisogno di punti extra per poter grafico di f.

f (4,5) = -3ln (4,5 - 4) pari a circa 2,08

f (8) = -3ln (8 - 4) pari a circa - 4.16

f (14) = -3ln (14 - 4) pari a circa - 6,91

Vediamo ora sketch tutti i punti e l'asintoto verticale. Congiungono i punti da una curva regolare e f aumenta man mano che si avvicina x 4 da destra.


Problema abbinate a Esempio 2: f � una funzione data da

f (x) = 2ln(x + 5)

  1. Trovare il dominio di f e la gamma di f.
  2. Trovare l'asintoto verticale del grafico di f.
  3. Trova la x e intercetta y del grafico di f se ce ne sono.
  4. Disegnare il grafico di f.


Esempio 3: f � una funzione data da

f (x) = 2ln (| x |)

  1. Trovare il dominio di f e la gamma di f.
  2. Trovare l'asintoto verticale del grafico di f.
  3. Trova la x e intercetta y del grafico di f se ce ne sono.
  4. Disegnare il grafico di f.

Risposta a Esempio 3

a - Il dominio di f � l'insieme di tutti i valori x tali che

x > 0

Il dominio � l'insieme di tutti i numeri reali tranne 0.

La gamma di f � l'intervallo (-inf, + inf).

b - l'asintoto verticale si ottiene risolvendo

|x| = 0

che d�

x = 0

Come x si avvicina a 0 da destra (x > 0), f (x) diminuisce senza limiti. Come facciamo a saperlo?

Prendiamo alcuni valori:

f (1) = 2 ln (| 1 |) = 0

f (0.1) = 2ln (0,1), che � approssimativamente uguale a -4,61.

f (0,0001) = 2ln (0,0001) che � pari a circa -18,42.

f (0.0000001) = 2ln (0,0000001) che � pari a circa -32,24.

Come x si avvicina a 0 da sinistra (x <0), f (x) diminuisce senza limiti. Come facciamo a saperlo?

Prendiamo alcuni valori:

f (-1) = 2 ln (| -1 |) = 0

f (-0,1) = 2ln (| -0,1 |), che � approssimativamente uguale a -4,61.

f (-0,0001) = 2ln (| -0,0001 |), che � approssimativamente uguale a -18,42.

f (-0,0000001) = 2ln (| -0,0000001 |), che � approssimativamente uguale a -32,24.

c - Per trovare l'intercetta x abbiamo bisogno di risolvere l'equazione f (x) = 0

2ln (| x |) = 0

Dividere entrambi i lati da 2 per ottenere

ln (| x |) = 0

Utilizzare le propriet� delle funzioni esponenziali e logaritmiche a scrivere l'equazione di cui sopra, come

e ln (| x |) = e 0

Poi semplificare

�| X | = 1

Due x intercetta a (1, 0) e (-1, 0).

L'intercetta y � data da (0, f (0)). f (0) � indefinito poich� x = 0 non � un valore nel dominio di f. Non vi � alcun intercetta su y.

d - Finora abbiamo il dominio, gamma, x intercettare e l'asintoto verticale. Con lo studio della funzione f � facile dimostrare che questa � una funzione pari e il suo grafico � simmetrico rispetto all'asse y.

f (x) = 2 ln (|-x |)

ma

|-X | = | x |

e quindi

f (x) = 2 ln (| x |) = f (x), ci� dimostra che f � una funzione pari.

Cerchiamo punti extra.

f (4) = 2LN (| 4 |) pari a circa 2,77.

f (0.5) = 2LN (| 0,5 |) pari a circa - 1.39.

Poich� f � anche f (-4) = f (4) e f (-0,5) = f (0,5).

Vediamo ora sketch tutti i punti, l'asintoto verticale e unirsi ai punti da una curva regolare.


Problema abbinate a Esempio 3: f � una funzione data da

f (x) = -2ln (x 2)

  1. Trovare il dominio di f e la gamma di f.
  2. Trovare l'asintoto verticale del grafico di f.
  3. Trova la x e intercetta y del grafico di f se ce ne sono.
  4. Disegnare il grafico di f.


Riferimenti pi� sulle funzioni logaritmiche e grafica.

  • Graphing Funzioni


  • Logaritmiche.

  • Grafici di funzioni di base.


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    Aggiornamento: 25 novembre 2007 (A Dendane)