Grafico delle funzioni razionali

Come rappresentare graficamente una funzione razionale? Un passo a passo. Le propriet�, come dominio, asintoti verticali e orizzontali di una funzione razionale sono anche indagati. Carta millimetrata Free � disponibile.


Definizione

Una funzione razionale f ha la forma

f (x) = g (x) / h (x)

dove g (x) e h (x) sono funzioni polinomiali.

Il dominio di f � l'insieme di tutti i numeri reali, tranne i valori di x che rendono il denominatore h (x) pari a zero.

In ci� che segue, si assume che g (x) e h (x) non hanno elementi in comune.

Asintoti verticali

Lasciare

f (x) = 2(x+2)

Il dominio di f � l'insieme di tutti i numeri reali tranne 3, dal 3 rende il denominatore zero e la divisione per zero non � consentita in matematica. Tuttavia possiamo cercare di scoprire come si fa il grafico di f si comportano vicino a 3.

Cerchiamo di valutare la funzione f a valori di quasi 3 x tale che x <3. I valori sono riportati nella tabella sottostante:

x = -1 2 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 2,99999
f (x) -1 -2 4 -10 -20 -200 -2000 -2 * 10 5

Ora a valutare f a valori di quasi 3 x tale che x> 3.

x 5{/0 4 3,5 3,2 3.1. 3,01 3,001 3,00001
f (x) = -1 2 4 10 20 200 2000 2 * 10 5

Il grafico di f � mostrato sotto.

Note

1 - Come si avvicina x 3 da sinistra o da valori inferiori a 3, f (x) diminuisce senza limiti.

2 - Come si avvicina x 3 da destra o da valori superiori a 3, f (x) aumenta senza limite.

Diciamo che la linea x = 3, linea spezzata, � l'asintoto verticale per il grafico di f.

In generale, la linea x = a � un asintoto verticale per il grafico di f se f (x) aumenta o diminuisce senza limite come x si avvicina ad una da destra o da sinistra. Questo � simbolicamente scritto come:

f (x) si avvicina, senza aumenti o diminuzioni vincolata senza limite per x che tende 3

Asintoti orizzontali

Lasciare

f (x) = (2x +1) / x

1 - Sia x crescere e trovare i valori di f (x).

x = -1 10 10 3 10 6
f (x) 3 2.1. &nbsp;&nbsp; 2,001 2.000001

2 - Sia x diminuire e trovare i valori di f (x).

x -1 -10 -10 3 -10 6
f (x) = -1 1,9 1,999 1.999999

Come | x | aumenta, il numeratore � dominato dal termine 2x e il numeratore ha un solo termine x. Quindi f (x) assume valori vicini a 2x / x = 2. Vedere il comportamento grafico qui sotto.

In generale, la retta y = b � un asintoto orizzontale per il grafico di f se f (x) si avvicina a un b costante x aumenti o diminuzioni senza limiti.

Come trovare l'asintoto orizzontale?

Sia F una funzione razionale definita come segue

f (x) = polinomio (1) / polinomio (2)

Teorema

m � il grado del polinomio al numeratore e n � il grado del polinomio al numeratore.

Caso 1: Per m <n, l'asintoto orizzontale � la retta y = 0.

Caso 2: Per m = n, l'asintoto orizzontale � la retta y = a m / b n

Caso 3: Per m> n, non c'� asintoto orizzontale.


Esempio 1: Sia f una funzione razionale definita dalla

f (x) = (x +1) / (x-1)

a - Trovare il dominio di f.

b - Trova la x e intercetta y del grafico di f.

c - Trova la asintoti verticali e orizzontali per il grafico di f se ce ne sono.

d - Utilizzare le tue risposte alle parti a, b, c sopra per tracciare il grafico della funzione f.

Risposta a Esempio 1

a - Il dominio di f � l'insieme di tutti i numeri reali tranne x = 1, dal momento che questo valore di x rende il denominatore zero.

b - L'intercetta x si trova risolvendo f (x) = 0 o x +1 = 0. L'intercetta x � il punto (-1, 0).

L'intercetta y � il punto (0, f (0)) = (0, -1).

c - l'asintoto verticale � data dalla zero del denominatore x = 1.

Il grado del numeratore � 1 e il grado del denominatore � 1. Sono uguali e secondo il teorema di cui sopra, l'asintoto orizzontale � la retta y = 1 / 1 = 1

E - Anche se le parti a, b, c dare alcune informazioni importanti circa il grafico di f, abbiamo ancora bisogno di costruire una tabella di firmare per la funzione f in modo da essere in grado di tracciare con facilit�.

Il segno di f (x) cambiamenti a gli zeri del numeratore e denominatore. Per trovare la tabella di segno, si procede come nel risolvere le disuguaglianze razionali. Gli zeri del numeratore e denominatore che sono -1 e 1 divide la linea numero reale in intervalli di 3:

(- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito).

Scegliamo un valore di prova all'interno di ogni intervallo e trovare il segno di f (x).

A (- infinito, -1), -2 selezionare e trovare f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0.

In (-1, 1), 0 selezionare e trovare f (0) = -1 <0.

In (1, + infinito), 2 selezionare e trovare f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0.

Diciamo pure che tutte le informazioni su F in una tabella.

x

- Inf

-1 = -1

+ Inf

f (x) + 0

x-intercettazioni

-- AV +

Nella tabella di cui sopra AV significa asintoto verticale.

Per tracciare il grafico di f, iniziamo disegnando il x e y intercetta e gli asintoti verticali e orizzontali in linee spezzate. Vedi schema qui sotto.

Ora inizia ad abbozzare il grafico di f a partire da sinistra.

Nell'intervallo (-inf, -1) f (x) � positivo quindi il grafico � sopra l'asse x. A partire da sinistra, abbiamo schizzo f tenendo conto del fatto che y = 1 � un asintoto orizzontale: il grafico di f � vicino a questa linea a sinistra. Vedi schema qui sotto.

Tra -1 e 1 f (x) � negativo, quindi il grafico di f � sotto l'asse x. (0, -1 intercetta) � ay e x = 1 � un asintoto verticale: come x tende a 1 da sinistra f (x) Defunti senza limiti, perch� f (x) <0 in (-1, 1). Vedi schema qui sotto.

Per x> 1, f (x)> 0 quindi il grafico � sopra l'asse x. Come x tende a 1 da destra, il grafico di f aumenta senza limite (f (x)> 0). Anche al crescere x, il grafico di f approcci y = 1 l'asintoto orizzontale. Vedi schema qui sotto.

Ora mettere tutti i pezzi "del grafico di f insieme per ottenere il grafico di f.

Abbinate Problema: Sia f una funzione razionale definita dalla

f (x) = (-x + 2) / (x + 4)

a - Trovare il dominio di f.

b - Trova la x e intercetta y del grafico di f.

c - Trova la asintoti verticali e orizzontali per il grafico di f se ce ne sono.

d - Utilizzare le tue risposte alle parti A, b, c sopra per tracciare il grafico della funzione f.









Riferimenti pi� sulla grafica e le funzioni razionali.

  • Graphing Funzioni


  • Funzioni razionali - Applet


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    Aggiornamento: 25 novembre 2007 (A Dendane)
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