Funzioni quadratiche una funzione quadratica ha la forma
f (x) = ax 2 + bx + c
Dove a, b, c sono numeri reali e non � uguale a 0.
Il dominio di questa funzione � l'insieme di tutti i numeri reali. L'intercetta y del grafico di f � data da f (0) = c. x le intercettazioni si trovano risolvendo l'equazione
ax 2 + bx + c = 0
Ci sono diversi metodi per risolvere questa equazione. Uno di questi metodi � l'utilizzo di formule quadratica. Le due soluzioni sono date da x 1 = (- b + sqrt (D)) / 2a
x 2 = (- b - sqrt (D)) / 2a
dove D � la discriminante data
D = b 2 - 4ac
Per trovare la gamma della funzione quadratica, in primo luogo abbiamo riscriverlo in forma
f (x) = a (x - h) 2 + k
-
Se ci espandiamo la piazza di cui sopra in f (x) di cui sopra, si ottiene
f (x) = ax 2 - 2ahx + ah 2 + k
-
E 'la stessa funzione, quindi abbiamo bisogno di
-2ah = b (prima equazione)
e
ah 2 + k = c ( secondi equazione)
-
Risolvere l'equazione per la prima h per ottenere
h = -b / (2a)
-
H sostituto dal -b/2a nella seconda equazione e risolvere per ottenere k
k = c - b 2 / 4a
-
Quindi, qualsiasi funzione quadratica pu� essere scritta nella forma f (x) = a (x - h) 2 + k, con h e k dato in termini di a, b, c, come sopra indicato. Il modulo di cui sopra porta a risultati molto interessanti. Un modifiche X, il termine (x - h) 2 � positivo o pari a zero. Quindi
(x - h) 2 >= 0 (> = significa che maggiore o uguale)
-
1 - Se a> 0, si moltiplicano entrambi i lati della disuguaglianza di cui sopra da una
a (x - h) 2 >= 0.
-
Aggiungi k su entrambi i lati della disuguaglianza
a (x - h) 2 + k >= k
-
Il lato sinistro � la formula della funzione, f (x) = a (x - h) 2 + k, quindi
f (x) >= k
-
Il risultato di cui sopra ci dice che f (x) ha un valore minimo pari a k. Esso ci dice anche che la gamma di f (x) � data da
[K, + infinito)
-
2 - Se a <0, si moltiplicano entrambi i lati della disuguaglianza (x - h) 2> = 0 a cambiare il simbolo e la disuguaglianza.
a (x - h) 2 <= 0.
-
Il risultato di cui sopra ci dice che f (x) ha un valore massimo pari a k. Esso ci dice anche che la gamma di f (x) � data da
(- Infinito, k]
E 'anche importante notare che k = f (h). Il grafico di una funzione quadratica si chiama una parabola e il punto di coordinate (h, k) � chiamato il vertice della parabola che pu� essere un massimo o un punto di minimo, come abbiamo mostrato in precedenza.
Esempio 1: f � una funzione quadratica data da
f (x) = 2x 2 + 2 x - 4
- Trova la x e intercetta y del grafico di f.
- Trova il vertice del grafico di f.
- Trovare il dominio e la gamma di f.
- Disegnare il grafico di f.
Soluzione Esempio 1
-
a - L'intercetta Y � data da
(0, f (0)) = (0, -4)
-
La x coordinate del intercetta x sono le soluzioni di
2x 2 + 2 x - 4 = 0
-
Il discriminante D della suddetta equazione quadratica � data da
D = (2) 2 - 4 (2) (-4)
= 36
-
Le soluzioni sono
x 1 = (-2 + 6) / 4
= -1
x 2 = (-2 - 6) / 4
= -2
-
L'intercetta x sono i punti (1, 0) e (-2, 0).
-
b - La coordinata x h e la coordinata y k del vertice sono date da
h = -b / (2a)
2.4
= -1 / 2
k = f (h)
= f (-1 / 2)
= 2 (-1 / 2) 2 + 2 (-1 / 2) - 4
= -9 / 2
Il vertice � nel punto (-1 / 2, -9 / 2)
-
c - Il dominio di f (x) � l'insieme di tutti i numeri reali.
-
Dal momento che il coefficiente a � positivo, f ha un valore minimo pari a k. La gamma � dato dalla serie di valori reali nell'intervallo [-9 / 2, + infinito).
-
d - Trova i punti supplementari, se necessario;
(2, f (2)) = (2, 8) e (-3, f (-3)) = (-3, 8) come un esempio.
Tracciare il vertice (punto pi� basso), la X e Y e intercetta i punti extra, come illustrato di seguito. Dal vertice, che � un punto di minimo, i lati destro e sinistro del grafico di f dovrebbe salire verso l'alto.
Abbinate Problema: f � una funzione quadratica data da
f (x) = x 2 - 2 x - 3
- Trova la x e intercetta y del grafico di f.
- Trova il vertice del grafico di f.
- Trovare il dominio e la gamma di f.
- Disegnare il grafico di f.
Pi� riferimenti e link a grafica, grafici di funzioni e funzioni quadratiche.
|
