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Quoziente di differenza (Difference quotient)

Qual è il quoziente di differenza nel calcolo infinitesimale?
Iniziamo con la definizione e poi calcoliamo il quoziente di differenza per diverse funzioni come esempi con spiegazioni dettagliate.
Tieni presente che è incluso un calcolatore del quoziente di differenza che può essere utilizzato per verificare i risultati e generare ulteriori pratica.

Definizione di quoziente di differenza (Definition of Difference Quotient)

Sia

$f$ una funzione il cui grafico è mostrato di seguito.
grafici della funzione f con retta secante

A e B sono punti sul grafico di

$f$ . Una linea che passa per i due punti

$A ( x , f(x))$ e

$B (x+h , f(x+h))$ è chiamata retta secante. La pendenza

$m$ della linea secante può essere calcolata come segue:

$m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{(x + h) - x}$
Semplificare il denominatore da ottenere

$m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}$
La pendenza

$m$ è chiamata quoziente di differenza. È un concetto molto importante nel calcolo infinitesimale dove viene utilizzato per definire la derivata di una funzione

$f$ che di fatto definisce la variazione locale di una funzione in matematica.

Esempi con soluzioni

Negli esempi seguenti, calcoliamo e semplifichiamo i quozienti di differenza di diverse funzioni.

Esempio 1

Trova la differenza quoziente della funzione

$f$ definita da

$f(x) = 2x + 5$

Soluzione dell'Esempio 1

Dobbiamo prima calcolare $f(x + h)$ .
$f(x + h) = 2(x + h) + 5$
Sostituiamo ora $f(x + h)$ e $f(x)$ nella definizione del quoziente differenziale con le loro espressioni
$\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2 x + 5) }{h}$
Semplifichiamo l'espressione precedente.
$= \dfrac{2h}{2} = 2$
La risposta è 2 quale è anche la pendenza della retta definita dalla funzione $f$ , perché?

Esempio 2

Trova la differenza quoziente della seguente funzione

$f(x) = 2x^2 + x - 2$

Soluzione dell'Esempio 2

Per prima cosa calcoliamo $f(x + h)$ .
$f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2$
Ora sostituiamo $f(x + h)$ e $f(x)$ nel quoziente differenza
$\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - ( 2 x^2 + x - 2 )}{h}$
Espandiamo le espressioni al numeratore e raggruppiamo termini simili.
$= \dfrac{ 4 x h + 2 h^2 + h}{h} = 4 x + 2 h +1$

Esempio 3

Trova la differenza quoziente della funzione

$f$ data da

$f(x) = \peccato x$ e scrivi il risultato come prodotto.

Soluzione dell'esempio 3

Per prima cosa calcoliamo $f(x + h)$ .
$f(x + h) = \sin (x + h)$
Sostituiamo ora $f(x + h)$ e $f(x)$ nel quoziente differenza
$\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ \sin (x + h) - \sin x}{h}$
Utilizziamo la formula trigonometrica che trasforma una differenza $\ quad \sin (x + h) - \sin x \quad$ in un prodotto.
$\sin (x + h) - \sin x = 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)$
Sostituiamo l'espressione sopra con $sin (x + h) - sin x$ nel quoziente di differenza sopra da ottenere.
$\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}$

Altri riferimenti e collegamenti

Calcolatore del quoziente di differenza
differenziazione e derivate
Quoziente di differenza