Domande da 11 a 20
Domanda 11: Quale proprietà viene utilizzata per scrivere \( a(x + y) = a x + a y \)?
Questa proprietà algebrica mostra la moltiplicazione che si distribuisce rispetto all'addizione.
Risposta: Proprietà Distributiva (Distributività)
Domanda 12: Semplifica \( \frac{8x^3}{2x^{-3}} \).
Dividi i coefficienti: \( 8 / 2 = 4 \).
Usa la regola del quoziente per gli esponenti \( \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b} \):
\( x^{3 - (-3)} = x^{3 + 3} = x^6 \)
Risposta: \( 4x^6 \)
Domanda 13: Semplifica \( (-a^2b^3)^2(c^2)^0 \).
Innanzitutto, ricorda che qualsiasi base diversa da zero elevata alla potenza di 0 è pari a 1. Quindi, \( (c^2)^0 = 1 \).
Eleva al quadrato il primo termine moltiplicando gli esponenti:
\( (-1)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = 1 \cdot a^4 \cdot b^6 \)
Risposta: \( a^4b^6 \)
Domanda 14: Per quale valore di \( k \) il punto \( (-2, k) \) si trova sulla retta \( -3 x + 3 y = 4 \)?
Sostituisci \( x = -2 \) e \( y = k \) nell'equazione:
\( -3(-2) + 3(k) = 4 \)
\( 6 + 3k = 4 \)
Sottrai 6 da entrambi i lati:
\( 3k = -2 \)
Dividi per 3:
Risposta: \( k = -2/3 \)
Domanda 15: Per quale valore di \( a \) il sistema non avrà soluzioni? \( \{2x+6y=-2; -3x+ay=4\} \)
Un sistema di equazioni lineari non ha soluzioni se le rette sono parallele, il che significa che i loro coefficienti angolari sono uguali ma le loro intercette sull'asse y sono diverse.
Trova il coefficiente angolare della prima retta: \( 6y = -2x - 2 \Rightarrow y = -1/3x - 1/3 \) (Il coefficiente angolare è \(-1/3\)).
Trova il coefficiente angolare della seconda retta: \( ay = 3x + 4 \Rightarrow y = (3/a)x + 4/a \) (Il coefficiente angolare è \(3/a\)).
Poni i coefficienti angolari uguali tra loro:
\( -1/3 = 3/a \)
Moltiplica in croce per risolvere rispetto ad \(a\): \( -a = 9 \Rightarrow a = -9 \).
Risposta: \( a = -9 \)
Domanda 16: Trova l'equazione per le coppie \( (x,y) \): (0,-4), (4,-20), (-4,12), (8,-36).
Innanzitutto, trova il coefficiente angolare (\(m\)) usando i punti (0, -4) e (4, -20):
\( m = \frac{-20 - (-4)}{4 - 0} = \frac{-16}{4} = -4 \).
L'intercetta sull'asse y (\(b\)) è data quando \(x = 0\), che è -4.
Usando \( y = mx + b \):
Risposta: \( y = -4x - 4 \)
Domanda 17: Quale formula rappresenta al meglio l'area del rettangolo mostrato?
Il diagramma mostra un rettangolo con una lunghezza di \( (x + 1) \) e una larghezza di \( (x - 1) \); moltiplicale insieme per trovare l'area:
\( \text{Area} = (x + 1)(x - 1) \)
Sviluppando questo prodotto si ottiene la differenza di quadrati:
Risposta: \( \text{area} = x^2 - 1 \)
Domanda 18: Quale retta contiene i punti \( (1, -1) \) e \( (3, 5) \)?
Trova il coefficiente angolare (\(m\)):
\( m = \frac{5 - (-1)}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \).
Usa la forma punto-pendenza con il punto (1, -1):
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-1) = 3(x - 1) \)
\( y + 1 = 3x - 3 \)
\( y = 3x - 4 \)
Moltiplica l'intera equazione per 2 per abbinarla ai formati a scelta multipla comunemente presentati:
Risposta: \( 2y = 6x - 8 \)
Domanda 19: Risolvi l'equazione \( 2|3x - 2| - 3 = 7 \).
Isola l'espressione con il valore assoluto:
\( 2|3x - 2| = 10 \)
\( |3x - 2| = 5 \)
Imposta le due possibili equazioni:
Caso 1: \( 3x - 2 = 5 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = 7/3 \)
Caso 2: \( 3x - 2 = -5 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \)
Risposta: Insieme delle soluzioni: \( \{ 7/3, -1 \} \)
Domanda 20: Risolvi rispetto a \( x \) l'equazione \( (1/2) x^2 + mx - 2 = 0 \).
Usa la formula quadratica \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) dove \( a = 1/2 \), \( b = m \) e \( c = -2 \):
\( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - 4(1/2)(-2)}}{2(1/2)} \)
\( x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 + 4}}{1} \)
Risposta: \( \{ -m \pm \sqrt{m^2 + 4} \} \)