Problema 1
Ciascun lato della piramide a base quadrata mostrata di seguito misura $10$ pollici. L'altezza inclinata, $H$, di questa piramide misura $12$ pollici.
- Qual è l'area, in pollici quadrati, della base della piramide?
- Qual è l'area della superficie totale, in pollici quadrati, della piramide?
- Qual è $h$, l'altezza in pollici della piramide?
- Utilizzando l'altezza determinata al punto (c), qual è il volume, in pollici cubi, della piramide?
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a) Area di un quadrato: $10 \times 10 = 100$ pollici quadrati.
b) Area Totale = Base + 4 Triangoli:
$$100 + 4 \left( \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \right) = 340 \text{ pollici quadrati.}$$
c) Usando il teorema di Pitagora con l'altezza inclinata e metà della base:
$$h = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{119} \text{ pollici.}$$
d) Volume:
$$\text{Volume} = \frac{1}{3} \times 100 \times \sqrt{119} \approx 363.6 \text{ pollici cubi.}$$
Problema 2
Il parallelogramma mostrato nella figura sottostante ha un perimetro di $44$ cm e un'area di $64$ cm2. Trova l'angolo $T$ in gradi.
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Imposta l'equazione del perimetro:
$$44 = 2(3x + 2) + 2(5x + 4)$$
Risolvi rispetto a $x$:
$$x = 2$$
La lunghezza della base è $5(2) + 4 = 14$. Il lato obliquo è $3(2) + 2 = 8$.
Trova l'altezza del parallelogramma usando l'area:
$$\text{altezza} = \frac{\text{area}}{\text{base}} = \frac{64}{14} = \frac{32}{7} \text{ cm}$$
Usa la trigonometria per trovare l'angolo $T$:
$$\sin(T) = \frac{\text{Opposto}}{\text{Ipotenusa}} = \frac{32/7}{8} = \frac{32}{56} = \frac{4}{7}$$
$$T = \arcsin\left(\frac{4}{7}\right) \approx 34.8^\circ$$
Problema 3
Trova l'area del quadrilatero mostrato nella figura. (NOTA: figura non disegnata in scala)
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Il triangolo $\triangle ABD$ è un triangolo rettangolo; quindi per il teorema di Pitagora:
$$BD^2 = 15^2 + 15^2 = 450$$
Per il triangolo $\triangle BCD$, verifica se si tratta di un triangolo rettangolo controllando la somma dei quadrati dei suoi lati più corti:
$$BC^2 + CD^2 = 21^2 + 3^2 = 441 + 9 = 450$$
Poiché $BC^2 + CD^2 = BD^2$, anche il triangolo $\triangle BCD$ è un triangolo rettangolo.
L'area totale del quadrilatero è la somma delle aree dei due triangoli rettangoli:
$$\text{Area} = \left(\frac{1}{2} \times 15 \times 15\right) + \left(\frac{1}{2} \times 21 \times 3\right) = 112.5 + 31.5 = 144$$
Problema 4
Nella figura sottostante, il triangolo OAB ha un'area di $72$ unità quadrate e il triangolo ODC ha un'area di $288$ unità quadrate. Trova $x$ come la lunghezza del segmento BC e $y$ come la lunghezza del segmento AD.
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Usando la formula del seno per l'area di un triangolo, valuta $\triangle OAB$:
$$\text{Area di } \triangle OAB = 72 = \frac{1}{2} \sin(\angle AOB) \cdot OA \cdot OB$$
Poiché $OA = 18$ e $OB = 16$, ricava $\sin(\angle AOB)$:
$$\sin(\angle AOB) = \frac{2 \cdot 72}{18 \cdot 16} = \frac{1}{2}$$
Poiché $\angle DOC$ e $\angle AOB$ sono angoli opposti al vertice, $\sin(\angle DOC) = \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2}$.
Ora valuta l'area di $\triangle ODC$:
$$\text{Area di } \triangle ODC = 288 = \frac{1}{2} \sin(\angle DOC) \cdot OD \cdot OC$$
$$288 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right) \cdot (18 + y)(16 + x)$$
$$1152 = (18 + y)(16 + x)$$
I punti A, B, C e D si trovano su un cerchio. Per il Teorema delle Secanti Intersecanti:
$$OA \cdot OD = OB \cdot OC$$
$$18(18 + y) = 16(16 + x)$$
Ora abbiamo un sistema di equazioni:
1) $(18 + y)(16 + x) = 1152$
2) $18(18 + y) = 16(16 + x) \Rightarrow (18 + y) = \frac{8}{9}(16 + x)$
Sostituisci l'equazione 2 nell'equazione 1:
$$\left(\frac{8}{9}(16 + x)\right)(16 + x) = 1152$$
$$(16 + x)^2 = 1152 \times \frac{9}{8} = 1296$$
$$16 + x = 36 \Rightarrow x = 20$$
Sostituisci $x = 20$ nell'equazione 2:
$$18 + y = \frac{8}{9}(16 + 20) = \frac{8}{9}(36) = 32$$
$$y = 14$$
Problema 5
Trova le dimensioni del rettangolo che ha una lunghezza maggiore di $3$ metri rispetto alla sua larghezza e un perimetro pari in valore alla sua area.
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Sia $L$ la lunghezza e $W$ la larghezza del rettangolo. Dato: $L = W + 3$
Perimetro: $2L + 2W = 2(W + 3) + 2W = 4W + 6$
Area: $LW = (W + 3)W = W^2 + 3W$
Poiché l'area e il perimetro sono uguali in valore:
$$W^2 + 3W = 4W + 6$$
Risolvi l'equazione di secondo grado:
$$W^2 - W - 6 = 0$$
$$(W - 3)(W + 2) = 0$$
La larghezza non può essere negativa, quindi $W = 3$. Sostituisci per trovare la lunghezza:
$$L = 3 + 3 = 6$$
Risposta: Larghezza = $3$ metri, Lunghezza = $6$ metri.
Problema 6
Trova la circonferenza di un disco circolare la cui area è di $100 \pi$ centimetri quadrati.
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Sia $r$ il raggio del disco. L'area è $100\pi$; quindi,
$$100\pi = \pi r^2$$
Risolvi rispetto a $r$:
$$r = 10$$
La circonferenza è:
$$C = 2\pi r = 20\pi \text{ cm}$$
Problema 7
Un semicerchio di area $1250 \pi$ centimetri quadrati è iscritto all'interno di un rettangolo. Il diametro del semicerchio coincide con la lunghezza del rettangolo. Trova l'area del rettangolo.
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Sia $r$ il raggio del semicerchio. L'area è:
$$1250\pi = \frac{1}{2} \pi r^2$$
Risolvendo rispetto a $r$:
$$2500 = r^2 \Rightarrow r = 50$$
La lunghezza del rettangolo è $2r = 100$ (poiché il semicerchio è iscritto).
La larghezza del rettangolo è $r = 50$ (poiché il semicerchio è iscritto).
L'area del rettangolo è:
$$\text{Area} = 100 \times 50 = 5000 \text{ cm}^2$$