Domande di test di pratica di matematica per la 10ª classe

Soluzione a: Sviluppa i membri di sinistra: \( -2x+4-y-3=3 \rightarrow -2x-y=2 \) (Eq. I) e \( 2x+6-3y+6=10 \rightarrow 2x-3y=-2 \) (Eq. II). Somma (I) e (II) per eliminare \( x \): \( (-2x-y) + (2x-3y) = 2 + (-2) \rightarrow -4y = 0 \rightarrow y = 0 \). Sostituisci \( y=0 \) in (I): \( -2x-0=2 \rightarrow x = -1 \). Risposta finale: (-1, 0).

Soluzione b: Moltiplica la prima equazione per 3 e la seconda per 5: \( x-1+3y=15 \rightarrow x+3y=16 \) (I) e \( 10(x+3)-y=35 \rightarrow 10x-y=5 \) (II). Moltiplica (II) per 3: \( 30x-3y=15 \). Somma a (I): \( 31x=31 \rightarrow x=1 \). Sostituisci: \( 1+3y=16 \rightarrow 3y=15 \rightarrow y=5 \). Risposta finale: (1, 5).

Soluzione c: Ricava \( y \) da (II): \( 2y = 4x-6 \rightarrow y = 2x-3 \). Sostituisci in (I): \( (x-1)^2 + (2x-3) = -1 \rightarrow x^2-2x+1+2x-3 = -1 \rightarrow x^2-1=0 \). Quindi \( x = 1 \) oppure \( x = -1 \). Per \( x=1, y=-1 \). Per \( x=-1, y=-5 \). Risposta finale: (1, -1) e (-1, -5).

Soluzione a: Innanzitutto, sviluppa i prodotti: \( (x+2)(x-1) = x^2+x-2 \) e \( (x-2)^2 = x^2-4x+4 \). Applica il segno meno: \( -(x^2+x-2) = -x^2-x+2 \). Combina: \( (-x^2-x+2) + (x^2-4x+4) = -5x+6 \). Risposta finale: -5x+6.

Soluzione b: Sviluppa il prodotto cubico: \( x(x^2+3x-3) - 2(x^2+3x-3) = x^3+3x^2-3x - 2x^2-6x+6 = x^3+x^2-9x+6 \). Sviluppa la differenza di quadrati: \( (x-1)(x+1) = x^2-1 \). Combina: \( (x^3+x^2-9x+6) - (x^2-1) = x^3+x^2-9x+6-x^2+1 = x^3-9x+7 \). Risposta finale: x³-9x+7.

Soluzione a: Identifica il MCD: \( 3 \) e \( x^2 \). Forma fattorizzata: 3x²(x + 2).

Soluzione b: Metti in evidenza il binomio comune \( (x-3) \): \( (x-3)[(x^2+3x+2) - (x+1)] = (x-3)(x^2+2x+1) \). Riconoscendo il quadrato di binomio \( a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \), otteniamo: (x - 3)(x + 1)².

Soluzione c: Usa la formula della differenza di quadrati \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \). Qui \( a=9x \) e \( b=4y \). Risposta finale: (9x - 4y)(9x + 4y).

Soluzione d: Metti in evidenza -1: \( -(6x^2-7x+2) \). Usando il metodo AC in cui \( a \cdot c = 12 \) e \( b = -7 \), i numeri sono -3 e -4. La scomposizione dà: -(2x - 1)(3x - 2).

Soluzione a: Metti in evidenza -2 dai termini in x: \( -2(x^2+x)+4 \). Aggiungi e sottrai \( (1/2)^2 = 1/4 \) all'interno: \( -2[(x+1/2)^2 - 1/4] + 4 = -2(x+1/2)^2 + 1/2 + 4 \). Forma del vertice: \( f(x) = -2(x+0,5)^2 + 4,5 \). Vertice: (-0,5; 4,5).

Soluzione b: Intercetta con l'asse \( y \): \( f(0) = \mathbf{4} \). Per le intercette con l'asse \( x \), risolvi \( -2x^2-2x+4=0 \rightarrow -2(x^2+x-2)=0 \rightarrow -2(x+2)(x-1)=0 \). Intercette: x = 1, x = -2.

Soluzione c: L'asse di simmetria è la retta verticale passante per il vertice \( x = h \). Risposta finale: x = -0,5.

Tabella a: Verifica il rapporto \( y/x \): \( 1,8/0,3 = 6, 4,2/0,7 = 6 \). Si tratta di proporzionalità diretta con formula \( y = 6x \). Per \( x=0,2, y = 6(0,2) = \mathbf{1,2} \).

Tabella b: Verifica il prodotto \( xy \): \( 0,1 \cdot 2 = 0,2, 0,5 \cdot 0,4 = 0,2 \). Si tratta di proporzionalità inversa con formula \( xy = 0,2 \). Per \( x=20, y = 0,2/20 = \mathbf{0,01} \).

Tabella c: I rapporti e i prodotti non sono costanti. Pertanto, non è possibile stabilire alcuna regola di proporzionalità specifica per trovare il valore mancante.

Applica il Teorema di Pitagora: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
\( (2x+1)^2 + 12^2 = (4x-1)^2 \)
\( (4x^2 + 4x + 1) + 144 = 16x^2 - 8x + 1 \)
\( 12x^2 - 12x - 144 = 0 \). Dividi per 12: \( x^2 - x - 12 = 0 \).
La scomposizione dà \( (x-4)(x+3) = 0 \). Poiché la lunghezza deve essere positiva, x = 4.
Lati: \( \overline{AB}=2(4)+1=9 \), \( \overline{BC}=12 \), \( \overline{AC}=4(4)-1=15 \).
Angoli: \( \angle C = \tan^{-1}(9/12) \approx \mathbf{36,87^\circ} \). \( \angle A = 90 - 36,87 = \mathbf{53,13^\circ} \).

Usando l'Identità Fondamentale della Trigonometria: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Sostituisci il valore dato: \( (0,6)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( 0,36 + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \cos^2 \alpha = 0,64 \).
Poiché \( \alpha \) è acuto, prendiamo la radice positiva: \( \cos \alpha = 0,8 \).
Usando l'identità \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \):
\( \tan \alpha = \frac{0,6}{0,8} = \mathbf{0,75} \).

Poiché \( BE \parallel CD \), i triangoli \( ABE \) e \( ACD \) sono simili (\( \triangle ABE \sim \triangle ACD \)) per il criterio di similitudine AA.
Trova x: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} \rightarrow \frac{10}{10+2} = \frac{6}{x} \rightarrow 10x = 72 \rightarrow \mathbf{x = 7,2} \).
Trova y: \( \frac{AE}{AD} = \frac{EB}{DC} \rightarrow \frac{11}{11+y} = \frac{6}{7,2} \).
\( 6(11+y) = 79,2 \rightarrow 66 + 6y = 79,2 \rightarrow 6y = 13,2 \rightarrow \mathbf{y = 2,2} \).

Applica il Teorema dei Seni: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \).
\( \frac{10}{\sin A} = \frac{14}{\sin 49^\circ} \rightarrow \sin A = \frac{10 \cdot \sin 49^\circ}{14} \approx 0,539 \).
\( A = \sin^{-1}(0,539) \approx \mathbf{32,62^\circ} \).
Trova l'angolo B: \( B = 180^\circ - (49^\circ + 32,62^\circ) = \mathbf{98,38^\circ} \).
Trova il lato \( b \): \( \frac{b}{\sin 98,38^\circ} = \frac{14}{\sin 49^\circ} \rightarrow b = \frac{14 \cdot \sin 98,38^\circ}{\sin 49^\circ} \approx \mathbf{18,35 \text{ cm}} \).

1. L'intercetta y si trova in \( (0, 3) \). Sostituisci nell'equazione: \( A(0) + B(3) = 1 \rightarrow 3B = 1 \rightarrow \mathbf{B = 1/3} \).
2. La retta passa per \( (1, 5) \). Sostituisci \( x=1, y=5, B=1/3 \):
\( A(1) + (1/3)(5) = 1 \rightarrow A + 5/3 = 1 \).
\( A = 1 - 5/3 = \mathbf{-2/3} \).

Sia \( x \) = volume della soluzione al 20% e \( y \) = volume della soluzione al 55%.
Equazione 1 (Volume Totale): \( x + y = 5 \)
Equazione 2 (Contenuto di Acido): \( 0,20x + 0,55y = 0,45(5) \rightarrow 0,20x + 0,55y = 2,25 \).
Moltiplica l'Eq. 1 per 0,20: \( 0,20x + 0,20y = 1,0 \).
Sottrai dall'Eq. 2: \( 0,35y = 1,25 \rightarrow \mathbf{y \approx 3,58 \text{ L}} \).
Sostituisci nuovamente: \( x = 5 - 3,58 = \mathbf{1,42 \text{ L}} \).

Sia \( x \) = distanza a 80 km/h e \( y \) = distanza a 120 km/h.
Usando la formula \( \text{Tempo} = \frac{\text{Distanza}}{\text{Velocità}} \):
Eq 1 (Distanza Totale): \( x + y = 1000 \)
Eq 2 (Tempo Totale): \( \frac{x}{80} + \frac{y}{120} = 10 \).
Moltiplica l'Eq 2 per 240 (mcm): \( 3x + 2y = 2400 \).
Dall'Eq 1, \( y = 1000 - x \). Sostituisci nell'Eq 2 semplificata:
\( 3x + 2(1000 - x) = 2400 \rightarrow 3x + 2000 - 2x = 2400 \).
x = 400 km a 80 km/h, e y = 600 km a 120 km/h.

Sia \( C = (-1, b) \). Affinché \( AC \) sia l'ipotenusa, l'angolo retto deve trovarsi in corrispondenza del vertice \( B \). Per il Teorema di Pitagora: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
Formula della Distanza al Quadrato: \( d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \).
\( AB^2 = (2 - (-3))^2 + (3 - 4)^2 = 25 + 1 = 26 \).
\( BC^2 = (-3 - (-1))^2 + (4 - b)^2 = 4 + (4 - b)^2 \).
\( AC^2 = (2 - (-1))^2 + (3 - b)^2 = 9 + (3 - b)^2 \).
Imposta l'equazione: \( 9 + (3 - b)^2 = 26 + 4 + (4 - b)^2 \).
\( 9 + 9 - 6b + b^2 = 30 + 16 - 8b + b^2 \).
\( 18 - 6b = 46 - 8b \rightarrow 2b = 28 \rightarrow \mathbf{b = 14} \). Coordinata finale: (-1, 14).

1. Trova il Budget Totale (\(B\)):
Poiché il 5% del budget è $200, scriviamo l'equazione:
\( 0,05 \cdot B = 200 \)
\( B = \frac{200}{0,05} \)
\( B = \$4.000 \)

2. Determina il totale combinato per Alloggio (\(h\)) e Cibo (\(f\)):
Queste categorie costituiscono il 70% del budget:
\( h + f = 0,70 \cdot 4000 \)
\( h + f = \$2.800 \) — (Equazione I)

3. Metti in relazione l'Alloggio con il Cibo:
L'alloggio è superiore di $500 rispetto al cibo:
\( h = f + 500 \) — (Equazione II)

4. Risolvi il sistema di equazioni:
Sostituisci l'Equazione II nell'Equazione I:
\( (f + 500) + f = 2800 \)
\( 2f + 500 = 2800 \)
\( 2f = 2300 \)
\( f = \$1.150 \)

5. Trova il costo dell'Alloggio:
\( h = 1150 + 500 \)
\( h = \$1.650 \)

Risposta finale: Linda spende $1.650 per l'alloggio e $1.150 per il cibo.

Formula per l'area dell'aquilone: \( \text{Area} = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2} \).
Nel triangolo rettangolo \( DMC \), \( \angle MDC = 45^\circ \), quindi è isoscele. \( \overline{DM} = \overline{MC} \).
\( \overline{DM}^2 + \overline{MC}^2 = 10^2 \rightarrow 2\overline{DM}^2 = 100 \rightarrow \overline{DM} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).
Diagonale 1 (\( \overline{BD} \)) = \( 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \).
Diagonale 2 (\( \overline{AC} \)) = \( \overline{AM} + \overline{MC} \). \( \overline{AM} = 5\sqrt{2} \cdot \tan(65^\circ) \approx 15,15 \).
\( \overline{AC} = 15,15 + 7,07 = 22,22 \).
Area: \( \frac{22,22 \cdot 14,14}{2} \approx \mathbf{157,23 \text{ cm}^2} \).

1. Sia \( \alpha = 33^\circ \) l'angolo della trasversale sulla retta \( n \). Poiché \( m \parallel n \), l'angolo corrispondente \( \beta \) sulla retta \( m \) è anch'esso pari a \( 33^\circ \).
2. All'interno del triangolo formato dalle intersezioni, la somma degli angoli deve essere \( 180^\circ \). Gli angoli noti sono \( 89^\circ \) e \( 34^\circ \). Il terzo angolo \( \theta = 180 - (89 + 34) = \mathbf{57^\circ} \).
3. L'angolo totale tra la retta \( m \) e la retta \( r \) è la somma degli angoli adiacenti \( \beta \) e \( \theta \):
\( \text{Angolo Totale} = 33^\circ + 57^\circ = \mathbf{90^\circ} \).
Poiché l'angolo è \( 90^\circ \), le rette \( m \) e \( r \) sono perpendicolari.

Volume di una piramide: \( V = \frac{1}{3} \cdot \text{Area di Base} \cdot h \).
Sia \( s \) il lato della base quadrata. Diagonale \( d = s\sqrt{2} \rightarrow 10 = s\sqrt{2} \rightarrow s^2 = 50 \) (Area di Base).
Sostituisci i valori: \( 1500 = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot h \).
\( 4500 = 50h \rightarrow \mathbf{h = 90 \text{ cm}} \).