Problema 1
Un pallone viene lanciato verso l'alto dalla cima di un edificio alto 20 metri. La sua altezza $h$ in metri dopo $t$ secondi è data da:
$$h(t) = -5t^2 + 15t + 20$$
a) Quanto tempo impiega il pallone a raggiungere la sua altezza massima?
b) Qual è l'altezza massima raggiunta dal pallone?
c) Quando il pallone colpisce il suolo?
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a) L'altezza massima si verifica nel vertice della parabola:
$$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-15}{2(-5)} = \frac{15}{10} = 1,5\ \text{secondi}$$
b) Sostituisci $t = 1,5$ nell'equazione per ottenere l'altezza massima:
$$h(1,5) = -5(1,5)^2 + 15(1,5) + 20 = -11,25 + 22,5 + 20 = 31,25\ \text{metri}$$
c) Poni $h(t) = 0$:
$$-5t^2 + 15t + 20 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$$
Scomponi in fattori:
$$(t - 4)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 4\ \text{oppure}\ t = -1$$
Il tempo non può essere negativo, quindi il pallone colpisce il suolo $4$ secondi dopo essere stato lanciato.
Problema 2
Hai $30$ monete tra monetine da 10 centesimi e quarti di dollaro. Il loro valore totale è $\$5,10$.
a) Imposta un sistema di equazioni per rappresentare la situazione.
b) Risolvi il sistema per scoprire quante monetine e quanti quarti di dollaro hai.
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a) Sia $d$ il numero di monetine e $q$ il numero di quarti di dollaro.
Il numero totale di monete è $30$:
$$d + q = 30 \quad \text{(1)}$$
Una monetina vale $10$ centesimi e un quarto vale $25$ centesimi, quindi:
$$0,10d + 0,25q = 5,10 \quad \text{(2)}$$
b) Dall'equazione (1): $d = 30 - q$
Sostituisci nell'equazione (2):
$$0,10(30 - q) + 0,25q = 5,10$$
Sviluppa e semplifica:
$$3 - 0,10q + 0,25q = 5,10$$
$$0,15q = 2,10$$
$$q = 14$$
Quindi $d = 16$.
Hai $16$ monetine e $14$ quarti di dollaro.
Problema 3
Un cerchio ha il centro in $(3,-2)$ e passa per il punto $(6,2)$.
a) Trova il raggio del cerchio.
b) Scrivi l'equazione del cerchio in forma standard: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ dove $(a,b)$ è il centro del cerchio.
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a) Il raggio è la distanza dal centro a qualsiasi punto del cerchio, da cui l'uso della formula della distanza per trovare il raggio $r$ usando il centro $(3,-2)$ e il punto $(6,2)$:
$$r = \sqrt{(6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
b) L'equazione del cerchio è data da:
$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$
Problema 4
Semplifica:
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}$$
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Scomponi in fattori tutte le espressioni:
$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$
$$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$
Ora sostituisci nell'espressione data:
$$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}$$
Elimina i fattori comuni $(x - 3)$ e $(x + 3)$ per ottenere:
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 2}{x + 2}$$
Quando eliminiamo i fattori comuni, come fatto sopra, stiamo dividendo per fattori comuni. Non possiamo dividere per zero, quindi dobbiamo imporre la condizione che i fattori comuni eliminati non possano essere zero:
$$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$
$$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$$
L'espressione data si semplifica in:
$$\frac{x - 2}{x + 2}, \quad \text{dove } x \neq 3,\ -3$$
Problema 5
Risolvi l'equazione:
$$\sqrt{2x + 3} = x - 1$$
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Eleva al quadrato entrambi i lati:
$$(\sqrt{2x + 3})^2 = (x - 1)^2$$
$$2x + 3 = x^2 - 2x + 1$$
Riorganizza:
$$0 = x^2 - 4x - 2$$
Usa la formula quadratica:
$$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2}$$
$$= \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$
Verifica la presenza di soluzioni estranee:
Prova $x = 2 + \sqrt{6} \approx 4,45$:
LHS = $\sqrt{2(4,45) + 3} = \sqrt{11,9} \approx 3,45$
RHS = $4,45 - 1 = 3,45$ (Valida)
Prova $x = 2 - \sqrt{6} \approx -0,45$:
LHS = $\sqrt{2(-0,45) + 3} = \sqrt{-0,9 + 3} = \sqrt{2,1} \approx 1,45$
RHS = $-0,45 - 1 = -1,45$ (Non valida)
La soluzione $x = 2 + \sqrt{6}$ verifica entrambi i lati dell'equazione data, mentre $x = 2 - \sqrt{6}$ no e quindi è una soluzione estranea.
La soluzione dell'equazione data è: $$x = 2 + \sqrt{6}$$
Problema 6
Dati i punti: $A(2, 3)$, $B(6, 7)$, $C(10, 5)$, $D(6, 1)$
Dimostra che il quadrilatero ABCD è un parallelogramma.
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Trova il coefficiente angolare di $AB$ e $CD$:
$$m_{AB} = \frac{7 - 3}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1$$
$$m_{CD} = \frac{5 - 1}{10 - 6} = \frac{4}{4} = 1$$
Trova il coefficiente angolare di $BC$ e $AD$:
$$m_{BC} = \frac{5 - 7}{10 - 6} = \frac{-2}{4} = -0,5$$
$$m_{AD} = \frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$$
Poiché entrambe le coppie di lati opposti sono parallele, ABCD è un parallelogramma.
Problema 7
Risolvi rispetto a $x$:
$$\dfrac{5^{2x}}{5} = 625$$
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Innanzitutto, esprimi 625 come potenza di 5:
$$625 = 5^4$$
Usa le regole degli esponenti per scrivere:
$$\dfrac{5^{2x}}{5} = 5^{2x-1}$$
Riscrivi l'equazione:
$$5^{2x - 1} = 5^4$$
Il che dà l'equazione algebrica:
$$2x - 1 = 4$$
Risolvi rispetto a $x$:
$$x = \frac{5}{2}$$
Problema 8
Nel triangolo $ABC$, il lato $a = 7$ cm, il lato $b = 10$ cm e l'angolo $C = 120^\circ$.
Trova la lunghezza del lato $c$.
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Usa il Teorema del Coseno:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$
$$c^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10)\cos(120^\circ)$$
$$c^2 = 49 + 100 - 140(-0,5)$$
$$c^2 = 149 + 70 = 219$$
$$c = \sqrt{219} \approx 14,8 \ \text{cm}$$
Problema 9
La funzione $f(x) = a(x - 2)^2 + 3$ passa per il punto $(4, 15)$.
Trova il coefficiente \( a \) e determina le coordinate del vertice.
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Sostituisci $x = 4$, $f(x) = 15$ nell'equazione:
$$15 = a(4 - 2)^2 + 3$$
Risolvi rispetto ad $a$:
$$15 = a(2)^2 + 3$$
$$a = 3$$
La funzione $f(x)$ è una funzione quadratica data da:
$$f(x) = 3(x - 2)^2 + 3$$
Dalla forma del vertice $a(x - h)^2 + k$, il vertice è $(h, k) = (2, 3)$.
Problema 11
Da un punto distante $50$ m, l'angolo di elevazione verso la cima di una torre è $32^\circ$.
a) Quanto è alta la torre?
b) Se un drone si trova $30$ m sopra la torre, qual è il nuovo angolo di elevazione dallo stesso punto verso il drone?
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a) Sia $h$ l'altezza della torre. Usa la formula della tangente in un triangolo rettangolo:
$$\tan(32^\circ) = \frac{h}{50}$$
Risolvi rispetto a $h$:
$$h = 50 \cdot \tan(32^\circ) \approx 50 \cdot 0,6249 = 31,2\ \text{m}$$
b) Altezza del drone: $31,2 + 30 = 61,2$
Sia $\theta$ l'angolo di elevazione verso il drone:
$$\tan(\theta) = \frac{61,2}{50}$$
$$\theta = \tan^{-1}(1,224) \approx 50,8^\circ$$
Problema 12
Una barca impiega 3 ore per scendere lungo un fiume dal punto A al punto B e 5 ore per risalire il fiume da B ad A. Quanto tempo impiegherebbe la stessa barca per andare da A a B in acqua ferma (senza corrente)?
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Sia:
$S$ la velocità della barca in acqua ferma (in km/h),
$r$ la velocità della corrente del fiume (in km/h),
$d$ la distanza tra i punti A e B (in km).
Dai dati: A favore di corrente:
$$d = 3(S + r)$$
Controcorrente:
$$d = 5(S - r)$$
Uguagliando entrambe le espressioni per $d$:
$$3(S + r) = 5(S - r)$$
Sviluppa entrambi i lati:
$$3S + 3r = 5S - 5r$$
Metti i termini con $r$ da un lato e i termini con $S$ dall'altro:
$$8r = 2S$$
Risolvi rispetto a $r$:
$$r = \frac{S}{4}$$
Ora sostituisci $r = \frac{S}{4}$ nell'equazione a favore di corrente:
$$d = 3\left(S + \frac{S}{4}\right) = 3\left(\frac{5S}{4}\right) = \frac{15S}{4}$$
Ora, in acqua ferma (senza corrente), la velocità è semplicemente $S$. Il tempo per viaggiare da A a B in acqua ferma è:
$$\text{Tempo} = \frac{d}{S} = \frac{\frac{15S}{4}}{S} = \frac{15}{4} = 3,75 \text{ ore}$$
Quindi, il tempo che la barca impiegherebbe per andare da A a B in acqua ferma è di $3 \text{ ore e } 45 \text{ minuti}$.
Problema 13
Per quale valore di $x$ la funzione $f(x) = -3(x - 10)(x - 4)$ assumerà un valore massimo? Trova il valore massimo.
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Sviluppa la funzione:
$$f(x) = -3(x^2 - 14x + 40) = -3x^2 + 42x - 120$$
Questa è una funzione quadratica della forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ dove $a = -3, \, b = 42$.
La funzione raggiunge il suo massimo nel vertice la cui coordinata x è data da:
$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42}{2(-3)} = \frac{42}{6} = 7$$
Per trovare il valore massimo, sostituisci $x = 7$ nella funzione:
$$f(7) = -3(7 - 10)(7 - 4) = -3(-3)(3) = -3 \cdot -9 = 27$$
La funzione ha un massimo in $x = 7$ e il valore massimo di $f(x)$ è $f(7) = 27$.
Problema 14
La media dei voti d'esame di una classe è $70$. La media dei voti degli studenti che hanno preso meno di $60$ è $50$, mentre la media di quelli che hanno preso $60$ o più è $75$. Se il numero totale degli studenti nella classe è $20$, quanti studenti hanno preso meno di $60$?
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Sia $n$ il numero di studenti che hanno preso meno di 60 e $N$ il numero di studenti che hanno preso 60 o più.
La media per gli studenti che hanno preso meno di 60 è:
$$\frac{\sum X_i}{n} = 50 \Rightarrow \sum X_i = 50n$$
La media per gli studenti che hanno preso 60 o più è:
$$\frac{\sum Y_i}{N} = 75 \Rightarrow \sum Y_i = 75N$$
La media complessiva della classe è 70:
$$\frac{\sum X_i + \sum Y_i}{20} = 70$$
Sostituisci:
$$\frac{50n + 75N}{20} = 70$$
Moltiplica tutti i termini per 20 e semplifica:
$$50n + 75N = 1400 \quad \text{(1)}$$
Inoltre abbiamo:
$$n + N = 20 \Rightarrow N = 20 - n$$
Sostituisci $N$ nell'equazione (1):
$$50n + 75(20 - n) = 1400$$
Sviluppa e semplifica:
$$-25n + 1500 = 1400$$
Risolvi rispetto a $n$:
$$-25n = -100 \Rightarrow n = 4$$
$n = 4$ studenti hanno preso meno di 60.
Problema 15
L'area del trapezio è pari a 270 unità quadrate. Trova il suo perimetro e arrotonda la risposta all'unità più vicina.
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Sia $h$ l'altezza del trapezio.
$$\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (\text{base}_1 + \text{base}_2) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (10 + 10 + 3 + 4) = 270$$
Risolvi rispetto a $h$:
$$\frac{1}{2} \cdot h \cdot 27 = 270 \Rightarrow h = 20$$
Applica il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo a sinistra (ipotenusa $L$):
$$20^2 + 3^2 = L^2 \Rightarrow L = \sqrt{409}$$
Applica il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo a destra (ipotenusa $R$):
$$20^2 + 4^2 = R^2 \Rightarrow R = \sqrt{416}$$
Il perimetro del trapezio è:
$$\text{Perimetro} = \sqrt{409} + 10 + \sqrt{416} + 17 = 27 + \sqrt{409} + \sqrt{416} \approx 68 \text{ unità}$$
Problema 16
L'area di un campo rettangolare è pari a $300$ metri quadrati. Il suo perimetro è pari a $70$ metri. Trova la lunghezza e la larghezza di questo rettangolo.
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Sia $L$ la lunghezza in metri e $W$ la larghezza in metri tale che $L > W$.
Usa l'area per scrivere:
$$L \times W = 300$$
Usa il perimetro per scrivere:
$$2L + 2W = 70$$
Dividi tutti i termini per 2:
$$L + W = 35$$
Risolvi rispetto a $L$:
$$L = 35 - W$$
Sostituisci nell'equazione dell'area:
$$(35 - W) \cdot W = 300$$
Sviluppa e riorganizza nella forma quadratica standard:
$$35W - W^2 = 300$$
$$W^2 - 35W + 300 = 0$$
Risolvi usando la formula quadratica:
$$W = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4(1)(300)}}{2(1)}$$
$$W = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 1200}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{35 \pm 5}{2}$$
$$W = 20 \text{ oppure } W = 15$$
Per $W = 15$, $L = 35 - 15 = 20$.
Per $W = 20$, $L = 35 - 20 = 15$.
Poiché $L > W$, il rettangolo ha dimensioni $L = 20$ e $W = 15$.
Problema 17
Un motore elettrico compie $3.000$ giri al minuto. Di quanti gradi ruota in un secondo?
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Il motore ha una velocità di $3000$ giri al minuto.
1 giro è pari a $360^\circ$
1 minuto è pari a $60$ secondi
Usa l'analisi dimensionale:
$$\frac{3000 \, \text{giri}}{1 \, \text{min}} \times \frac{360^\circ}{1 \, \text{giro}} \times \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{sec}}$$
Elimina le unità per ottenere i gradi al secondo:
$$= \frac{3000 \times 360}{60} = \frac{1.080.000}{60} = 18.000^\circ \, \text{al secondo}$$
Problema 18
Un agente immobiliare ha ricevuto una commissione del $6\%$ sul prezzo di vendita di una casa. Se la sua commissione è stata di $\$8.880$, qual era il prezzo di vendita della casa?
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Sia $x$ il prezzo di vendita della casa.
$$6\% \text{ di } x = 8.880$$
$$0,06x = 8.880$$
Risolvi rispetto a $x$:
$$x = \frac{8.880}{0,06}$$
$$x = 148.000$$
Il prezzo di vendita della casa era di $\$148.000$.
Problema 19
Se uno pneumatico ruota a $400$ giri al minuto quando l'auto viaggia a $72$ km/h, qual è la circonferenza $C$ dello pneumatico?
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Ci viene dato:
Velocità di rotazione: $400 \, \text{giri/min}$
Velocità lineare: $72 \, \text{km/h} = 72.000 \, \text{m/h}$
Innanzitutto, converti i giri al minuto in giri all'ora:
$$400 \, \dfrac{\text{giri}}{\text{min}} \times 60 \, \dfrac{\text{min}}{\text{h}} = 24.000 \, \dfrac{\text{giri}}{\text{h}}$$
Sia $C$ la circonferenza dello pneumatico in metri. La distanza totale percorsa in un'ora è pari al numero di giri all'ora moltiplicato per la circonferenza:
$$24.000 \cdot C = 72.000$$
Risolvendo rispetto a $C$:
$$C = \frac{72.000}{24.000} = 3 \, \text{metri}$$
Problema 20
In un negozio, il costo di $4$ camicie, $4$ paia di pantaloni e $2$ cappelli è di $\$560$. Il costo di $9$ camicie, $9$ paia di pantaloni e $6$ cappelli è di $\$1.290$. Qual è il costo totale di $1$ camicia, $1$ paio di pantaloni e $1$ cappello?
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Sia $x$ il costo di una camicia, $y$ il costo di un paio di pantaloni e $z$ il costo di un cappello. Ci viene dato:
(1) $4x + 4y + 2z = 560$
(2) $9x + 9y + 6z = 1290$
Dividi l'equazione (2) per 3:
(3) $3x + 3y + 2z = 430$
Ora sottrai l'equazione (1) dall'equazione (3):
$$(3x + 3y + 2z) - (4x + 4y + 2z) = 430 - 560$$
$$-x - y = -130 \Rightarrow x + y = 130 \quad \text{(4)}$$
Sostituisci l'equazione (4) nell'equazione (3):
$$3(x + y) + 2z = 430$$
$$3(130) + 2z = 430$$
$$390 + 2z = 430$$
$$2z = 40 \Rightarrow z = 20$$
Ora sostituisci nuovamente per trovare il costo totale di 1 camicia, 1 paio di pantaloni e 1 cappello:
$$x + y + z = 130 + 20 = 150$$
Il costo totale è $\$150$.
Problema 21
Quattro bambini hanno dei piccoli giocattoli. Il primo bambino ha $\frac{1}{10}$ dei giocattoli, il secondo bambino ha 12 giocattoli in più rispetto al primo, il terzo bambino ha un giocattolo in più rispetto al primo bambino e il quarto bambino ha il doppio dei giocattoli del terzo bambino. Quanti giocattoli ci sono in totale?
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Sia $x$ il numero totale di giocattoli.
Il primo bambino ha $\frac{x}{10}$ giocattoli.
Il secondo bambino ha $\frac{x}{10} + 12$ giocattoli.
Il terzo bambino ha $\frac{x}{10} + 1$ giocattoli.
Il quarto bambino ha $2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right)$ giocattoli.
Impostiamo l'equazione per il numero totale di giocattoli:
$$\frac{x}{10} + \left( \frac{x}{10} + 12 \right) + \left( \frac{x}{10} + 1 \right) + 2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right) = x$$
Sviluppa:
$$\frac{x}{10} + \frac{x}{10} + 12 + \frac{x}{10} + 1 + \frac{2x}{10} + 2 = x$$
Combina i termini simili:
$$\frac{5x}{10} + 15 = x$$
$$\frac{x}{2} + 15 = x$$
Sottrai $\frac{x}{2}$ da entrambi i lati:
$$15 = \frac{x}{2}$$
Risolvi rispetto a $x$:
$$x = 30$$
Pertanto, il numero totale di giocattoli è $30$.
Problema 22
Valuta l'espressione:
$$\left( 1 - \frac{1}{10} \right) \left( 1 - \frac{1}{11} \right) \left( 1 - \frac{1}{12} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{100} \right)$$
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Innanzitutto, scriviamo ciascun termine del prodotto sotto forma di frazione:
$$\left( \frac{9}{10} \right) \left( \frac{10}{11} \right) \left( \frac{11}{12} \right) \cdots \left( \frac{99}{100} \right)$$
Ora, osserva lo schema di cancellazione telescopica. Il numeratore di ogni frazione elimina il denominatore della frazione precedente, lasciando solo il primo numeratore e l'ultimo denominatore:
$$\frac{9}{100}$$