Espressioni radicali - Domande con soluzioni per la 10ª classe

Di seguito vengono presentate le domande della 10ª classe su come utilizzare importanti formule per semplificare le espressioni algebriche radicali. Rivedi le formule e gli esempi, prova a risolvere le domande di pratica e clicca sulle frecce per visualizzare le soluzioni passo dopo passo.

Formule importanti ed esempi

Formula A

Se $n$ ed $m$ sono interi positivi e $\sqrt[n]{y}$ è un numero reale, allora:

$$ \left( \sqrt[n]{y} \right)^m = \sqrt[n]{y^m} $$

Esempi:

  1. Poiché $\sqrt{5}$ è un numero reale:
    $$(\sqrt{5})^2 = \sqrt{5^2} = 5$$
  2. Poiché $\sqrt[3]{-7}$ è un numero reale:
    $$(\sqrt[3]{-7})^6 = \sqrt[3]{(-7)^6} = \sqrt[3]{(-1)^6 \cdot 7^6} = \sqrt[3]{(7^2)^3} = 7^2 = 49$$

Formula B

Se $n$ è un intero positivo PARI, allora:

$$ \sqrt[n]{y^n} = |y| $$

Esempi:

  1. $\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = |4| = 4$
  2. $\sqrt[4]{\left( -3 \right)^4} = |-3| = 3$
  3. $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$
  4. $\sqrt[4]{x^4} = |x|$
  5. $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2$

Formula C

Se $n$ è un intero positivo DISPARI, allora:

$$ \sqrt[n]{y^n} = y $$

Esempi:

  1. $\sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^3} = -1$
  2. $\sqrt[5]{(-2)^5} = -2$
  3. $\sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3} = -3$
  4. $\sqrt[5]{x^5} = x$
  5. $\sqrt[3]{-x^6} = \sqrt[3]{(-x^2)^3} = -x^2$

Domande di pratica con risposte

Riscrivi, se possibile, le seguenti espressioni senza radicali (semplifica):

Domanda 1

Semplifica: $\left( \sqrt[3]{x} \right)^3$

Visualizza soluzione

L'indice del radicale $3$ è dispari ed è uguale alla potenza del radicando.

$$ \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 = x $$

Domanda 2

Semplifica: $\left( \sqrt{x} \right)^2$

Visualizza soluzione

Poiché $\sqrt{x}$ è un numero reale, $x$ deve essere positivo o zero e, di conseguenza, $|x| = x$.

$$ \left( \sqrt{x} \right)^2 = \sqrt{x^2} = |x| = x $$

Domanda 3

Semplifica: $-\left( \sqrt{x} \right)^4$

Visualizza soluzione

$$ -\left( \sqrt{x} \right)^4 = - \sqrt{x^4} = - |x^2| = -x^2 $$

Domanda 4

Semplifica: $\sqrt{-x^2 - 1}$

Visualizza soluzione

Poiché $-x^2 - 1$ è sempre un numero negativo, $\sqrt{-x^2 - 1}$ non è un numero reale.

Domanda 5

Semplifica: $\sqrt[8]{x^8}$

Visualizza soluzione

L'indice del radicale $8$ è pari ed è uguale alla potenza del radicando.

$$ \sqrt[8]{x^8} = |x| $$

Domanda 6

Semplifica: $\sqrt{x^6}$

Visualizza soluzione

$$ \sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3| $$

Domanda 7

Semplifica: $\sqrt{x \cdot |x|}$

Visualizza soluzione

Se $x < 0$, allora $|x| = -x$ e $\sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{-x^2}$ che non è un numero reale.

Se $x \geq 0$, allora $|x| = x$ e $\sqrt{x \cdot |x|} = \sqrt{x^2} = |x| = x$.

Domanda 8

Semplifica: $\sqrt[10]{x^{10}}$

Visualizza soluzione

L'indice $10$ del radicale è pari ed è uguale alla potenza del radicando.

$$ \sqrt[10]{x^{10}} = |x| $$

Domanda 9

Semplifica: $\sqrt[3]{(x - 2)^3}$

Visualizza soluzione

L'indice $3$ del radicale è dispari ed è uguale alla potenza del radicando.

$$ \sqrt[3]{(x - 2)^3} = x - 2 $$

Domanda 10

Semplifica: $\sqrt{\frac{x^2}{9}}$

Visualizza soluzione

$$ \sqrt{\frac{x^2}{9}} = \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2} = \left|\frac{x}{3}\right| = \frac{|x|}{3} $$

Domanda 11

Semplifica: $\sqrt[5]{\frac{x^5}{32}}$

Visualizza soluzione

$$ \sqrt[5]{\frac{x^5}{32}} = \sqrt[5]{\left(\frac{x}{2}\right)^5} = \frac{x}{2} $$

Domanda 12

Semplifica: $\sqrt{(-x + 3)^2}$

Visualizza soluzione

Il radicale ha un indice e una potenza del radicando pari.

$$ \sqrt{(-x+3)^2} = | -x + 3 | $$

Domanda 13

Semplifica: $\sqrt{x^2 + 4x + 4}$

Visualizza soluzione

Il radicale ha un indice e una potenza del radicando pari.

$$ \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2| $$

Riferimenti e link