Domande di algebra per l'11ª classe con soluzioni

Raccogli 2 dai primi due termini:

$$ f(x) = 2(x^2 - 3x) + 4 $$

Aggiungi e sottrai $\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2$ all'interno delle parentesi:

$$ = 2\left(x^2 - 3x + \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\right) + 4 $$

Scrivi $x^2 - 3x + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ come un quadrato perfetto $\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2$:

$$ = 2 \left(\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 \right) + 4 $$

$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 + 4 $$

$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2} + 4 $$

Raggruppa $-\dfrac{9}{2} + 4$:

$$ = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} $$

Le coordinate dei punti di intersezione della parabola e della retta si trovano risolvendo il sistema di equazioni:

$$ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = 2x - 2 \end{cases} $$

Sostituisci $y$ con $2x - 2$ nella prima equazione:

$$ 2x - 2 = x^2 - 5x + 4 $$

Scrivi l'equazione quadratica in forma standard (un lato uguale a zero):

$$ x^2 - 7x + 6 = 0 $$

Soluzione dell'equazione quadratica:

$$ x = 1 \quad \text{e} \quad x = 6 $$

Trova le coordinate $y$:

Per $x = 1$, $y = 2(1) - 2 = 0$

Per $x = 6$, $y = 2(6) - 2 = 10$

Punti di intersezione:

$$ (1, 0) \quad \text{e} \quad (6, 10) $$

Equazione data:

$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$

Sviluppando il lato destro:

$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -x^2 + 6x - 8 $$

Due polinomi sono uguali se i loro coefficienti corrispondenti sono uguali, quindi:

$$ -(k + 7) = 6 $$

Risolvendo rispetto a $k$:

$$ k = -13 $$

Raggruppa i termini in $x$ e i termini in $y$:

$$ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 11 $$

Completa il quadrato in $x^2 - 2x$ come segue:

$$ (x^2 - 2x) = (x - 1)^2 - 1 $$

Completa il quadrato in $y^2 + 4y$ come segue:

$$ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 $$

Riscrivi l'equazione data come:

$$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 11 $$

Scrivi l'equazione della circonferenza in forma standard $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$:

$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2 $$

Identifica il centro $(h,k)$ e il raggio $r$:

$$ x - h = x - 1 \quad \text{dà} \quad h = 1 $$

$$ y - k = y + 2 \quad \text{dà} \quad k = -2 $$

$$ r^2 = 4^2 \quad \text{dà} \quad r = 4 $$

Pertanto:

$$ \text{Il centro si trova in: } (1, -2), \quad \text{Raggio = } 4 $$

Equazione quadratica data:

$$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$

Calcola il discriminante:

$$ \Delta = 5^2 - 4(2)(-k) = 25 + 8k $$

Un'equazione quadratica ha due soluzioni reali quando il discriminante è strettamente positivo:

$$ 25 + 8k > 0 $$

Risolvi rispetto a $k$:

$$ k > -\frac{25}{8} $$

Secondo la regola di Cramer, se il determinante $D$ della matrice dei coefficienti è uguale a zero e uno dei determinanti $D_x$ o $D_y$ è diverso da zero, il sistema non ha soluzioni.

La matrice dei coefficienti $A$ è:

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{bmatrix} $$

Il suo determinante $D$ è:

$$ D = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (5)(k) = -6 - 5k $$

Impostando $D = 0$:

$$ -6 - 5k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{6}{5} $$

Definiamo il determinante $D_x$ sostituendo la prima colonna di $A$ con la matrice delle costanti $\begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix}$:

$$ D_x = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 7 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (7)(k) = -6 - 7k $$

Sostituendo $k = -\frac{6}{5}$:

$$ D_x = -6 - 7\left(-\frac{6}{5}\right) = -6 + \frac{42}{5} = \frac{-30 + 42}{5} = \frac{12}{5} \neq 0 $$

Poiché il determinante dei coefficienti $D = 0$ ma $D_x \neq 0$, il sistema è impossibile e non ha soluzioni quando:

$$ k = -\frac{6}{5} $$

Nell'espressione quadratica $ax^2 + bx + c$, identifichiamo $a = 6$, $b = -13$ e $c = 5$. Moltiplica $a$ e $c$:

$$ 6 \times 5 = 30 $$

Abbiamo bisogno di due numeri il cui prodotto sia 30 e la somma sia -13. I numeri -10 e -3 soddisfano queste condizioni:

$$ -10 \times -3 = 30 $$

$$ -10 + (-3) = -13 $$

Usiamo questi numeri per scomporre $-13x$ in $-10x - 3x$:

$$ 6x^2 - 10x - 3x + 5 $$

Raggruppa i termini e raccogli gli elementi comuni:

$$ (6x^2 - 10x) + (-3x + 5) = 2x(3x - 5) - 1(3x - 5) $$

Poiché $(3x - 5)$ è comune, l'espressione viene scomposta come:

$$ 6x^2 - 13x + 5 = (2x - 1)(3x - 5) $$

Nota che $i^4 = 1$. Inoltre, osserva che $231 = 4 \times 57 + 3$. Pertanto:

$$ i^{231} = i^{4 \times 57 + 3} = i^{4 \times 57} \cdot i^3 = (i^4)^{57} \cdot i^3 $$

Poiché $i^4 = 1$, otteniamo:

$$ = 1^{57} \cdot (-i) = -i $$

Secondo il teorema del resto, il resto $r$ della divisione di $f(x)$ per $x - c$ è dato da $f(c)$. Qui, $c = 1$.

$$ r = f(1) = (1 - 2)^{54} = (-1)^{54} = 1 $$

La formula per la coordinata $x$ del vertice $h$ è $-\frac{b}{2a}$:

$$ h = \frac{- (-b)}{2(4)} = \frac{b}{8} = 2 $$

Risolvi rispetto a $b$:

$$ b = 16 $$

Il punto del vertice è una soluzione dell'equazione della parabola, quindi sostituisci $x=2$ e $y=4$:

$$ 4(2)^2 - 16(2) - c = 4 $$

$$ 16 - 32 - c = 4 \quad \Rightarrow \quad -16 - c = 4 $$

Risolvi rispetto a $c$:

$$ c = -20 $$

Pertanto $b = 16$ e $c = -20$.

Poiché $x = 2$ è una radice, $(x - 2)$ è un fattore di $P(x)$. Dividi $P(x)$ per $(x - 2)$ per trovare il quoziente quadratico $Q(x)$:

$$ Q(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 10x + 24}{x - 2} = x^2 - x - 12 $$

Quindi ora abbiamo:

$$ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 12) $$

Scomponi in fattori l'equazione quadratica:

$$ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) $$

Scomposizione finale:

$$ P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3) $$

Poni ciascun fattore uguale a zero per elencare tutte le radici:

$$ x = 2, \quad x = 4, \quad x = -3 $$

Risolvi la disuguaglianza composta sottraendo 2 da tutte le parti:

$$ 3 \lt 2x \lt 7 $$

Dividi per 2:

$$ \frac{3}{2} \lt x \lt \frac{7}{2} $$

Poiché $\frac{7}{2} = 3,5$, il più grande valore intero di $x$ che soddisfa la disuguaglianza data è $3$ (il più grande intero strettamente minore di $3,5$).

a) L'unico elemento comune a entrambi gli insiemi $A$ e $B$ è 3, quindi l'intersezione è:

$$ A \cap B = \{3\} $$

b) Tutti gli elementi di $A$ e $B$ si trovano nell'unione. Gli elementi comuni a entrambi sono elencati una sola volta:

$$ A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} $$

Riscrivi l'espressione raccogliendo il segno meno:

$$ = | - (x^2 - 4x + 4) | $$

Completa il quadrato:

$$ = | -(x - 2)^2 | $$

Usa la proprietà secondo cui $|-A| = |A|$. Poiché $(x-2)^2$ è sempre non negativo per qualsiasi numero reale $x$, possiamo eliminare completamente le barre del valore assoluto:

$$ = (x - 2)^2 $$

Una retta e una circonferenza sono tangenti se hanno esattamente un punto di intersezione. Sostituisci $y = kx$ nell'equazione della circonferenza:

$$ (x - 3)^2 + (kx - 5)^2 = 4 $$

Sviluppa:

$$ x^2 - 6x + 9 + k^2x^2 - 10kx + 25 = 4 $$

Raggruppa i termini per scrivere l'equazione quadratica in forma standard $(Ax^2 + Bx + C = 0)$:

$$ (1 + k^2)x^2 - (6 + 10k)x + 30 = 0 $$

Affinché la retta sia tangente, questa equazione quadratica deve avere esattamente una soluzione, il che significa che il suo discriminante $\Delta$ deve essere uguale a zero:

$$ \Delta = B^2 - 4AC = (-(6 + 10k))^2 - 4(1 + k^2)(30) = 0 $$

Sviluppa l'equazione del discriminante:

$$ (36 + 120k + 100k^2) - 120 - 120k^2 = 0 $$

$$ -20k^2 + 120k - 84 = 0 $$

Dividi l'intera equazione per $-4$ per facilitare la risoluzione:

$$ 5k^2 - 30k + 21 = 0 $$

Risolvi questa equazione quadratica usando la formula risolutiva per $k$:

$$ k = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(5)(21)}}{2(5)} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 420}}{10} = \frac{30 \pm \sqrt{480}}{10} $$

Semplifica il radicale ($\sqrt{480} = 4\sqrt{30}$):

$$ k = \frac{30 \pm 4\sqrt{30}}{10} = \frac{15 \pm 2\sqrt{30}}{5} $$

Risultati finali:

$$ k = \frac{15+2\sqrt{30}}{5} \quad \text{oppure} \quad k = \frac{15-2\sqrt{30}}{5} $$