Concetto fondamentale
La funzione $y = \sqrt{x}$ esiste solo quando $x \ge 0$. Come mostrato nel grafico sottostante, non esistono valori reali per la funzione quando $x$ è negativo.
Guida passo dopo passo, interpretazioni grafiche ed esempi risolti
Il dominio di una funzione radice quadrata $f(x) = \sqrt{g(x)}$ è l'insieme di tutti i valori reali di $x$ per i quali l'espressione $g(x)$ è non negativa ($g(x) \ge 0$). Ciò garantisce che il risultato rimanga un numero reale.
La funzione $y = \sqrt{x}$ esiste solo quando $x \ge 0$. Come mostrato nel grafico sottostante, non esistono valori reali per la funzione quando $x$ è negativo.
Trova il dominio della funzione: \[ f(x) = \sqrt{x - 2} \]
La funzione assume valori reali se la quantità sotto il radicale soddisfa la condizione:
\[ x - 2 \ge 0 \]Risolvendo la disuguaglianza si ottiene:
\[ x \ge 2 \]Verifica grafica: Il grafico "esiste" solo per i valori di $x$ maggiori o uguali a 2.
Trova il dominio della funzione: \[ f(x) = \sqrt{|x - 1|} \]
La condizione per i valori reali è:
\[ |x - 1| \ge 0 \]Poiché un'espressione in valore assoluto è sempre maggiore o uguale a zero per tutti i numeri reali, la condizione è soddisfatta per qualsiasi $x$.
Dominio: Tutti i numeri reali $\mathbb{R}$, oppure $(-\infty, \infty)$.
Trova il dominio della funzione: \[ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} \]
Poiché la divisione per zero non è consentita, il radicando deve essere strettamente positivo:
\[ x + 3 > 0 \]Risolvendo si ottiene:
\[ x > -3 \]Verifica grafica: Il grafico inizia subito dopo $x = -3$ e si estende verso destra.
Trova il dominio della funzione: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x - 2}} \]
Devono essere soddisfatte contemporaneamente due condizioni:
Il dominio è l'intersezione di questi insiemi:
\[ x > 2 \]
Trova il dominio della funzione: \[ f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 4}{x - 2}} \]
Condizione: \[ \dfrac{x + 4}{x - 2} \ge 0 \]
I punti critici sono $x = -4$ e $x = 2$. Testando gli intervalli:
Dominio: $(-\infty, -4] \cup (2, \infty)$. (Nota: $x=2$ è escluso a causa del denominatore).
Trova il dominio della funzione: \[ f(x) = \sqrt{-x^2 - 4} \]
Condizione: \[ -x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4 \le 0 \]
Poiché $x^2 + 4$ è sempre almeno 4 per qualsiasi $x$ reale, non può mai essere minore o uguale a 0.
Dominio: Insieme vuoto (nessuna soluzione reale).
Trova il dominio di: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{\sqrt{x - 2}} \]
Condizioni:
Intersezione: $2 < x \le 6$. In notazione degli intervalli: $(2, 6]$.
Trova il dominio di: \[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \]
Condizione: \[ x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \ge 0 \]
Questa disuguaglianza è valida quando $x$ si trova all'esterno delle radici $-2$ e $2$.
Dominio: $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
Trova il dominio di: \[ f(x) = \sqrt{4 - x^2} \]
Condizione: \[ 4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow (2 - x)(2 + x) \ge 0 \]
Questa disuguaglianza è valida quando $x$ si trova tra le radici $-2$ e $2$.
Dominio: $[-2, 2]$.
