Domande passo dopo passo, soluzioni e interpretazioni grafiche
Una funzione razionale è definita come il rapporto di due polinomi. Il dominio è costituito da tutti i numeri reali tranne quelli che rendono il denominatore uguale a zero.
La funzione $y = \frac{1}{x}$ è definita solo quando $x \neq 0$. In notazione degli intervalli, il dominio è $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Come si vede nel grafico sottostante, la funzione non è definita in corrispondenza della retta verticale $x = 0$.
Trova il dominio della funzione: \[ f(x) = \dfrac{1}{x - 2} \]
La funzione non è definita dove il denominatore è zero:
\[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]Dominio: Tutti i numeri reali tranne $x = 2$.
\[ (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \]
Trova il dominio della funzione: \[ f(x) = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \]
Il denominatore è zero se uno dei fattori è zero:
\[ (x - 1) = 0 \quad \text{oppure} \quad (x + 2) = 0 \] \[ x = 1, \quad x = -2 \]Dominio: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$.
Trova il dominio della funzione: \[ f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4} \]
Poni il denominatore uguale a zero e scomponi:
\[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)(x + 2) = 0 \] \[ x = 2, \quad x = -2 \]Dominio: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$.
Trova il dominio di: \[ f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x - 2} \]
Scomponi il denominatore trinomio:
\[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \]Il denominatore è zero per $x = -2$ e $x = 1$.
Dominio: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$.
Trova il dominio di: \[ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x + 5} \]
Verifica se $x^2 + x + 5 = 0$ ha radici reali usando il discriminante ($\Delta$):
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(5) = -19 \]Poiché $\Delta < 0$, non ci sono valori reali che rendono il denominatore zero.
Dominio: Tutti i numeri reali, $(-\infty, \infty)$.
