Trovare l'inversa di una relazione dal suo grafico

Esempi passo dopo passo, riflessioni speculari e domande risolte

L'inversa di una relazione si trova scambiando le coordinate di ogni coppia ordinata nell'insieme originale. Geometricamente, ciò produce un grafico perfettamente simmetrico rispetto all'originale lungo la retta \( y = x \).

Il principio di riflessione

Se un punto $(a, b)$ esiste sul grafico di una relazione, il punto $(b, a)$ deve esistere sul grafico della sua inversa. Questo scambio di coordinate equivale a una riflessione geometrica rispetto alla retta diagonale $y = x$.

Esempi svolti

Esempio 1: Riflessione di un segmento lineare

Traccia il grafico dell'inversa per la relazione mostrata di seguito:

Relazione originale per l'esempio 1
Visualizza la soluzione

Passo 1: Identifica i punti chiave sul grafico blu (originale):
$(8, 4), (5, 2), (4, 0), (3, -1), (0, -2), (-2, -4), (-3, -5)$

Passo 2: Scambia le coordinate $x$ e $y$ per trovare i punti dell'inversa (rossi):
$(4, 8), (2, 5), (0, 4), (-1, 3), (-2, 0), (-4, -2), (-5, -3)$

Punti di riflessione tracciati per l'esempio 1

Passo 3: Collega i punti riflessi per completare il grafico dell'inversa.

Grafico finale dell'inversa per l'esempio 1

Esempio 2: Riflessione di una relazione curva

Traccia il grafico dell'inversa per la seguente relazione curva:

Relazione curva originale per l'esempio 2
Visualizza la soluzione

Passo 1: Identifica i punti chiave sulla curva originale:
$(6, 3), (2, -5), (0, -1), (-2, -5), (-3, -3)$

Passo 2: Scambia le coordinate per i punti dell'inversa:
$(3, 6), (-5, 2), (-1, 0), (-5, -2), (-3, -3)$

Punti di riflessione tracciati per l'esempio 2

Passo 3: Collega i punti per formare la curva inversa, che riflette l'originale rispetto a $y = x$.

Grafico finale dell'inversa per l'esempio 2

Domande di pratica

Domanda A

Domanda di pratica A
Visualizza la soluzione

Coordinate: $(4, 2), (2, 2), (1, -1), (0, -2), (-1, -1), (-2, -4)$

Punti dell'inversa: $(2, 4), (2, 2), (-1, 1), (-2, 0), (-1, -1), (-4, -2)$

Soluzione per la pratica A

Domanda B

Domanda di pratica B
Visualizza la soluzione

Coordinate: $(5, 6), (4, 1), (2, -1), (0, -3), (-1, -8)$

Punti dell'inversa: $(6, 5), (1, 4), (-1, 2), (-3, 0), (-8, -1)$

Soluzione per la pratica B

Continua il tuo apprendimento