Esplora soluzioni dettagliate per i problemi di geometria dell'11º anno. Questi esempi coprono la geometria analitica, i teoremi del cerchio e il calcolo di aree e volumi per forme complesse.
Trova tutti i punti di intersezione del cerchio \( x^2 + 2x + y^2 + 4y = -1 \) e della retta \( x - y = 1 \).
Risolvi l'equazione lineare rispetto a \( x \): \( x = 1 + y \).
Sostituisci nell'equazione del cerchio:
\[ (1 + y)^2 + 2(1 + y) + y^2 + 4y = -1 \]Sviluppa e semplifica nella forma quadratica standard:
\[ 2y^2 + 8y + 4 = 0 \]Risolvendo rispetto a \( y \) si ottiene \( y = -2 \pm \sqrt{2} \). Usando \( x = 1 + y \), i punti di intersezione sono:
\[ (-1 + \sqrt{2},\ -2 + \sqrt{2}) \quad \text{e} \quad (-1 - \sqrt{2},\ -2 - \sqrt{2}) \]Trova l'area del triangolo delimitato dall'asse x e dalle rette \( y = x \) e \( y = -2x + 3 \).
Risolvendo il sistema \( y = x \) e \( y = -2x + 3 \) si ottiene l'intersezione (vertice) in \( (1, 1) \). L'altezza è \( h = 1 \).
La base si trova sull'asse x da \( x = 0 \) all'intercetta di \( y = -2x + 3 \), che è \( x = 1.5 \).
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 1.5 \times 1 = 0.75 \text{ o } \frac{3}{4} \]Trova la lunghezza del terzo lato di un triangolo se l'area è 18 e due lati hanno lunghezze pari a 5 e 10.
Usando la formula del seno per l'area:
\[ 18 = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 \times \sin(A) \Rightarrow \sin(A) = \frac{18}{25} \]Ora applica il teorema del coseno per il lato \( x \):
\[ x^2 = 5^2 + 10^2 - 2(5)(10)\cos(A) \]Poiché \( \cos(A) = \sqrt{1 - (18/25)^2} \approx 0.692 \):
\[ x = \sqrt{125 - 100(0.692)} \approx 7.46 \]In un cerchio, le corde AC e BD si intersecano in O. Se Area(BOC) = 15, AO = 10 e OB = 5, trova l'area del triangolo AOD.
Per il teorema delle corde che si intersecano, \( AO \cdot OC = BO \cdot OD \). Questo dà il rapporto:
\[ \frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} = \frac{10}{5} = 2 \]I triangoli condividono angoli opposti al vertice. Il rapporto delle loro aree è il prodotto dei rapporti dei loro lati:
\[ \text{Area}_{\triangle AOD} = \text{Area}_{\triangle BOC} \times 2 \times 2 = 15 \times 4 = 60 \]
Due cerchi concentrici hanno raggi 10 e 6. Qual è la lunghezza della corda AB del cerchio più grande che è tangente al cerchio più piccolo?
Tracciando un raggio fino al punto di tangenza si forma un triangolo rettangolo con la corda.
Usando il teorema di Pitagora per la semi-corda \( x \):
\[ 6^2 + x^2 = 10^2 \Rightarrow x = \sqrt{100 - 36} = 8 \]Lunghezza totale \( AB = 2x = 16 \).
Il punto A si trova all'interno del quadrato BCDE (lato = 20). AB = 9 e AE = 13. Trova la lunghezza AC.
Usa il teorema del coseno in \(\triangle ABE\):
\[ 13^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(T) \]Usa il teorema del coseno in \(\triangle ACB\):
\[ x^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(90^\circ - T) \]
Nota che \( \cos(90^\circ - T) = \sin(T) \). Risolvendo la prima equazione si ottiene \( \cos(T) = \frac{13}{15} \).
Usando l'identità \( \sin(T) = \sqrt{1 - (13/15)^2} = \frac{2\sqrt{14}}{15} \):
\[ AC = \sqrt{481 - 48\sqrt{14}} \approx 17.4 \]Un oggetto metallico combina un emisfero sopra un cilindro. Raggio \( r = 5 \text{ cm} \), altezza del cilindro \( h = 12 \text{ cm} \). La densità è \( 7.8 \text{ g/cm}^3 \).
a) Volume totale:
\[ V_{cyl} = \pi(5)^2(12) = 300\pi \] \[ V_{hemi} = \frac{2}{3}\pi(5)^3 = \frac{250}{3}\pi \] \[ V_{total} = \frac{1150}{3}\pi \text{ cm}^3 \]b) Massa:
\[ \text{Massa} = 7.8 \times \text{Volume} \approx 9396.66 \text{ g} \]Un giardino è un rettangolo di \( 12 \times 8 \text{ m} \) con un semicerchio attaccato a un lato di 8 m.
a) Area totale:
\[ A_{rect} = 12 \times 8 = 96, \quad A_{semi} = \frac{1}{2}\pi(4)^2 = 8\pi \] \[ A_{total} = 96 + 8\pi \approx 121.13 \text{ m}^2 \]b) Perimetro: Escludiamo il confine interno.
\[ P = 12 + 8 + 12 (\text{lati del rettangolo}) + \pi(4) (\text{arco}) \approx 44.57 \text{ m} \]Esplora di più sulle corde che si intersecano, sull'equazione del cerchio e sulla matematica delle superiori.