Esempi svolti passo dopo passo
Esempio 1: Insieme di coppie ordinate
Trova l'inversa di \( f = \{( -2 , 0) , (0 , 1) , (2 , 3) , (3 , 4)\} \).
Visualizza la soluzione
Per trovare l'inversa di un insieme di punti, basta scambiare le coordinate x e y:
\[ f^{-1} = \{(0 , -2) , (1 , 0) , (3 , 2) , (4 , 3)\} \]Dominio di \( f^{-1} \): \(\{0, 1, 3, 4\}\)
Codominio di \( f^{-1} \): \(\{-2, 0, 2, 3\}\)
Esempio 2: Funzione lineare
Trova l'inversa di \( f(x) = 2x + 2 \).
Visualizza la soluzione
- Sostituisci \( f(x) \) con \( y \): \( y = 2x + 2 \)
- Scambia \( x \) e \( y \): \( x = 2y + 2 \)
- Risolvi rispetto a \( y \):
\( x - 2 = 2y \)
\( y = \dfrac{1}{2}x - 1 \)
Risultato: \( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2}x - 1 \)
Esempio 3: Funzione radice cubica
Trova l'inversa di \( g(x) = \sqrt[3]{x - 1} \).
Visualizza la soluzione
- Scambia le variabili: \( x = \sqrt[3]{y - 1} \)
- Eleva al cubo entrambi i lati: \( x^3 = y - 1 \)
- Risolvi rispetto a \( y \): \( y = x^3 + 1 \)
Risultato: \( g^{-1}(x) = x^3 + 1 \)
Esempio 4: Funzione logaritmica
Trova l'inversa di \( h(x) = \ln(x - 1) \).
Visualizza la soluzione
- Scambia le variabili: \( x = \ln(y - 1) \)
- Converti in forma esponenziale: \( e^x = y - 1 \)
- Risolvi rispetto a \( y \): \( y = e^x + 1 \)
Risultato: \( h^{-1}(x) = e^x + 1 \)
Esempio 5: Funzione radice quadrata
Trova l'inversa di \( m(x) = \sqrt{x + 2} \).
Visualizza la soluzione
- Scambia le variabili: \( x = \sqrt{y + 2} \)
- Eleva al quadrato entrambi i lati: \( x^2 = y + 2 \)
- Risolvi rispetto a \( y \): \( y = x^2 - 2 \)
Nota critica: Poiché il codominio della funzione originale è \( y \ge 0 \), il dominio dell'inversa deve essere limitato.
Risultato: \( m^{-1}(x) = x^2 - 2 \text{ per } x \ge 0 \)
Esempio 6: Funzione razionale
Trova l'inversa di \( t(x) = \dfrac{1}{x-1} \).
Visualizza la soluzione
- Scambia le variabili: \( x = \dfrac{1}{y-1} \)
- Moltiplica entrambi i lati per \((y-1)\): \( x(y-1) = 1 \)
- Sviluppa e isola \( y \):
\( xy - x = 1 \)
\( xy = 1 + x \)
\( y = \dfrac{x+1}{x} \)
Risultato: \( t^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x} \)
