Problemi di matematica per l'11º anno con soluzioni

Passo 1: Identifica le restrizioni. I denominatori non possono essere zero, quindi \( x \ne 2 \) e \( x \ne -4 \).

Passo 2: Moltiplica in croce. Per eliminare le frazioni, moltiplica il numeratore di ciascun lato per il denominatore dell'altro lato:
\[ (x+2)(x+4) = (3x - 4)(x - 2) \]

Passo 3: Sviluppa entrambi i lati. Usa il metodo FOIL:
\[ x^2 + 4x + 2x + 8 = 3x^2 - 6x - 4x + 8 \]
\[ x^2 + 6x + 8 = 3x^2 - 10x + 8 \]

Passo 4: Raggruppa i termini per formare un'equazione quadratica standard. Sottrai \( x^2 + 6x + 8 \) da entrambi i lati:
\[ 0 = 2x^2 - 16x \]

Passo 5: Scomponi in fattori e risolvi. Raccogli a fattor comune il termine \( 2x \):
\[ 2x(x - 8) = 0 \]

Poni ciascun fattore uguale a zero per ottenere \( x = 0 \) e \( x = 8 \). Entrambi sono validi poiché nessuno dei due è uguale ai nostri valori restrittivi.

Soluzioni finali: { 0 , 8 }.

Passo 1: Usa il teorema delle radici razionali. Le possibili radici razionali sono il rapporto tra i fattori del termine noto (10) e i fattori del coefficiente principale (1).

Fattori del termine noto (\(p\)): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\)
Fattori del coefficiente principale (\(q\)): \(\pm 1\)

Elenco delle possibili radici (\(\dfrac{p}{q}\)): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\).

Testiamo \( x = 1 \):
\( P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0 \).
Poiché \( P(1) = 0 \), allora \( (x - 1) \) è un fattore del polinomio.

Passo 2: Esegui la divisione polinomiale. Dividi \( P(x) \) per \( (x - 1) \) usando la divisione sintetica o lunga:
\[ \dfrac{x^3 - 4x^2 - 7x + 10}{x-1} = x^2 - 3x - 10 \]

Passo 3: Scomponi il trinomio risultante. Trova due numeri che diano come prodotto -10 e come somma -3. Questi numeri sono -5 e 2:
\[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \]

Passo 4: Combina tutti i fattori.
Scomposizione: \( (x - 1)(x - 5)(x + 2) \).

Passo 1: Isola il termine esponenziale. Dividi entrambi i lati per 6:
\[ 3^x = \dfrac{162}{6} \]
\[ 3^x = 27 \]

Passo 2: Esprimi entrambi i lati con la stessa base. Riconosci che 27 è una potenza di 3:
\[ 3^x = 3^3 \]

Passo 3: Uguaglia gli esponenti. Poiché le basi sono uguali, gli esponenti devono essere uguali.
x = 3.

Passo 1: Ricorda la formula per una successione aritmetica.
\[ a_n = a + (n-1)d \]

Passo 2: Trova la ragione (differenza comune) (\( d \)). Sostituisci i valori noti per il 15º termine:
\[ -35 = 7 + (15 - 1)d \]
\[ -35 = 7 + 14d \]
\[ -42 = 14d \Rightarrow d = -3 \]

Passo 3: Calcola il 30º termine. Usa nuovamente la formula con \( n = 30 \) e \( d = -3 \):
\[ a_{30} = 7 + (30 - 1)(-3) \]
\[ a_{30} = 7 + 29(-3) = 7 - 87 = \mathbf{-80} \].

Passo 1: Traduci il problema verbale in un'equazione.
\[ N + \dfrac{1}{N} = \dfrac{78}{15} \]

Passo 2: Elimina le frazioni. Moltiplica l'intera equazione per il denominatore comune, \( 15N \):
\[ 15N(N) + 15N\left(\dfrac{1}{N}\right) = 15N\left(\dfrac{78}{15}\right) \]
\[ 15N^2 + 15 = 78N \]

Passo 3: Semplifica e poni uguale a zero. Sposta tutti i termini su un lato:
\[ 15N^2 - 78N + 15 = 0 \]
Dividi per 3 per semplificare:
\[ 5N^2 - 26N + 5 = 0 \]

Passo 4: Scomponi in fattori l'equazione quadratica.
\[ (5N - 1)(N - 5) = 0 \]

Passo 5: Risolvi. Questo dà \( N = 1/5 \) e \( N = 5 \). Poiché il problema richiede un numero intero, scartiamo la frazione.
Soluzione: N = 5.

Passo 1: Moltiplica in croce per eliminare le frazioni.
\[ 128 \cdot 4^m = 125 \cdot 5^n \]

Passo 2: Esprimi tutti i numeri come basi prime. Sappiamo che \( 128 = 2^7 \), \( 4 = 2^2 \) e \( 125 = 5^3 \).
\[ 2^7 \cdot (2^2)^m = 5^3 \cdot 5^n \]

Passo 3: Applica le regole degli esponenti. Combina i termini con base 2 e base 5:
\[ 2^{7 + 2m} = 5^{3 + n} \]

Passo 4: Risolvi rispetto a m e n. Poiché 2 e 5 sono numeri primi distinti, l'unico modo in cui una potenza di 2 può essere uguale a una potenza di 5 è se entrambe valgono 1 (cioè \( 2^0 = 5^0 \)). Pertanto, entrambi gli esponenti devono essere uguali a zero:
\[ 7 + 2m = 0 \Rightarrow 2m = -7 \Rightarrow \mathbf{m = -3.5} \]
\[ 3 + n = 0 \Rightarrow \mathbf{n = -3} \]

Passo 1: Determina le restrizioni del dominio. I logaritmi sono definiti solo per argomenti positivi, quindi \( x > 0 \) e \( x - 2 > 0 \). Combinando queste condizioni, la nostra soluzione deve soddisfare \( x > 2 \).

Passo 2: Condensa i logaritmi. Usa la regola del prodotto dei logaritmi (\( \log(a) + \log(b) = \log(ab) \)):
\[ \log_2[x(x - 2)] = 3 \]

Passo 3: Converti in forma esponenziale. Per definizione di logaritmo:
\[ x(x - 2) = 2^3 \]
\[ x^2 - 2x = 8 \]

Passo 4: Risolvi l'equazione quadratica.
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
\[ (x - 4)(x + 2) = 0 \]

Questo dà le potenziali soluzioni \( x = 4 \) e \( x = -2 \). Verificando la nostra restrizione di dominio (\( x > 2 \)), vediamo che \( -2 \) è una soluzione estranea.
Soluzione finale: x = 4.

Passo 1: Riconosci l'addizione ripetuta. Aggiungere tre termini identici equivale a moltiplicare quel termine per 3:
\[ 3 \cdot \left(3^{n + 4001}\right) \]

Passo 2: Applica le regole degli esponenti. Il numero 3 può essere scritto come \( 3^1 \). Quando si moltiplicano termini con la stessa base, si sommano gli esponenti:
\[ 3^1 \cdot 3^{n + 4001} = 3^{1 + n + 4001} \]

Forma semplificata: \( 3^{n + 4002} \)

Passo 1: Sostituisci \( f(x) \) con \( y \).
\[ y = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \]

Passo 2: Scambia \( x \) e \( y \). Questo è il passaggio fondamentale per trovare una funzione inversa:
\[ x = \dfrac{2y - 1}{y + 3} \]

Passo 3: Isola la nuova \( y \). Moltiplica entrambi i lati per \( y + 3 \):
\[ x(y + 3) = 2y - 1 \]
\[ xy + 3x = 2y - 1 \]

Sposta tutti i termini contenenti \( y \) su un lato e tutti gli altri termini sull'altro lato:
\[ xy - 2y = -3x - 1 \]

Raccogli \( y \) a fattor comune:
\[ y(x - 2) = -3x - 1 \]

Dividi per \( x - 2 \):
\[ y = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \]

Funzione inversa: \( f^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \).

Passo 1: Poni le equazioni uguali tra loro. Poiché entrambe le equazioni sono uguali a \( y \):
\[ x^2 - 4x + 3 = 2x - 1 \]

Passo 2: Semplifica nella forma quadratica standard. Sposta tutti i termini sul lato sinistro:
\[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]

Passo 3: Risolvi usando la formula quadratica. (\( a=1, b=-6, c=4 \))
\[ x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \]
\[ x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} \]

Semplifica il radicale (\( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)):
\[ x = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]

Passo 4: Trova i valori di y corrispondenti. Sostituisci i valori di x nell'equazione lineare più semplice \( y = 2x - 1 \):
Se \( x = 3 + \sqrt{5} \): \( y = 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 6 + 2\sqrt{5} - 1 = 5 + 2\sqrt{5} \).
Se \( x = 3 - \sqrt{5} \): \( y = 2(3 - \sqrt{5}) - 1 = 6 - 2\sqrt{5} - 1 = 5 - 2\sqrt{5} \).

Soluzioni: \( (3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5}) \) e \( (3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5}) \).

Passo 1: Scrivi la forma del vertice di una parabola.
\[ y = a(x - h)^2 + k \]
Sostituisci il vertice \( (h, k) = (2, -1) \):
\[ y = a(x - 2)^2 - 1 \]

Passo 2: Trova il fattore di dilatazione verticale (\( a \)). Sostituisci il punto noto \( (x, y) = (4, 7) \) nell'equazione:
\[ 7 = a(4 - 2)^2 - 1 \]
\[ 7 = a(2)^2 - 1 \]
\[ 7 = 4a - 1 \]
\[ 8 = 4a \Rightarrow a = 2 \]

Passo 3: Scrivi l'equazione finale.
\( y = 2(x - 2)^2 - 1 \).

Passo 1: Imposta le equazioni del perimetro e dell'area. Sia \( x \) la larghezza (i due lati perpendicolari al muro) e \( y \) la lunghezza (il lato parallelo al muro).
Recinzione totale: \( 2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x \).
Area: \( A = x \cdot y \).

Passo 2: Esprimi l'area come funzione di \( x \). Sostituisci \( y \) nell'equazione dell'area:
\[ A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2 \]

Passo 3: Trova il massimo. Questa è una parabola rivolta verso il basso (\( a = -2 \)). Il massimo si trova nel vertice, dove \( x = \dfrac{-b}{2a} \):
\[ x = \dfrac{-100}{2(-2)} = \dfrac{-100}{-4} = 25 \]

Passo 4: Trova le dimensioni rimanenti e l'area.
Se \( x = 25 \), allora \( y = 100 - 2(25) = 50 \).
Dimensioni: 25 m per 50 m.
Area massima: \( 25 \cdot 50 = \) 1250 m².

Passo 1: Scomponi in fattori numeratore e denominatore.
Numeratore: \( x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) \)
Denominatore (differenza di quadrati): \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
\[ f(x) = \dfrac{(x - 3)(x - 1)}{(x - 3)(x + 3)} \]

Passo 2: Identifica i punti di discontinuità eliminabili (fori). Il fattore \( (x - 3) \) si semplifica, il che significa che c'è un foro in \( x = 3 \).
Per trovare la coordinata y del foro, sostituisci \( x = 3 \) nella funzione semplificata \( \dfrac{x - 1}{x + 3} \):
\( y = \dfrac{3 - 1}{3 + 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).
Il foro si trova in (3, 1/3).

Passo 3: Identifica gli asintoti verticali (AV). Poni il denominatore rimanente uguale a zero:
\( x + 3 = 0 \Rightarrow \) AV in x = -3.

Passo 4: Identifica gli asintoti orizzontali (AO). Poiché il grado del numeratore (2) è uguale al grado del denominatore (2), l'AO è il rapporto dei loro coefficienti principali:
\( y = \dfrac{1x^2}{1x^2} \Rightarrow \) AO in y = 1.

Passo 1: Trova il coefficiente angolare della seconda retta (\( m_2 \)).
\[ m_2 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{-6 - 3}{4 - (-2)} = \dfrac{-9}{6} = -1.5 \]

Passo 2: Determina il coefficiente angolare richiesto per la prima retta (\( m_1 \)). Le rette perpendicolari hanno coefficienti angolari reciproci e opposti (\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)).
\[ m_1 = \dfrac{-1}{-1.5} = \dfrac{2}{3} \]

Passo 3: Imposta l'equazione del coefficiente angolare per la prima retta per trovare \( k \).
\[ \dfrac{7 - 2}{-5 - k} = \dfrac{2}{3} \]
\[ \dfrac{5}{-5 - k} = \dfrac{2}{3} \]

Passo 4: Moltiplica in croce e risolvi.
\( 15 = 2(-5 - k) \)
\( 15 = -10 - 2k \)
\( 25 = -2k \Rightarrow \) k = -12.5.

Passo 1: Sostituisci l'equazione della parabola nell'equazione del cerchio. Dalla parabola, possiamo isolare \( x^2 \):
\( x^2 = y + 4 \)

Sostituisci \( (y+4) \) a \( x^2 \) nell'equazione del cerchio:
\[ (y + 4) + y^2 = 25 \]

Passo 2: Risolvi l'equazione quadratica risultante.
\[ y^2 + y - 21 = 0 \]

Usa la formula quadratica:
\[ y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-21)}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} \]

Passo 3: Trova i valori di x corrispondenti. Sostituisci questi valori di y in \( x^2 = y + 4 \):
\[ x^2 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{85}}{2} + \dfrac{8}{2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{85}}{2} \]
\[ x = \pm \sqrt{\dfrac{7 \pm \sqrt{85}}{2}} \]

Nota: \( 7 - \sqrt{85} \) produce un numero negativo, e poiché \( x^2 \) deve essere positivo, scartiamo il caso col meno all'interno della radice.
Punti di intersezione:
\( \left( \sqrt{\dfrac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \) e \( \left( -\sqrt{\dfrac{7 + \sqrt{85}}{2}}, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \).

Passo 1: Trova il raggio del primo cerchio completando il quadrato.
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -1 + 1 + 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 \).
Il quadrato del raggio è \( r_1^2 = 4 \), quindi \( r_1 = 2 \).

Passo 2: Trova il raggio del secondo cerchio.
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 11 + 1 + 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16 \).
Il quadrato del raggio è \( r_2^2 = 16 \), quindi \( r_2 = 4 \).

Passo 3: Sottrai l'area più piccola dall'area più grande.
Area = \( \pi(r_2)^2 - \pi(r_1)^2 \)
Area = \( 16\pi - 4\pi = \mathbf{12\pi} \).

Passo 1: Isola y nell'equazione della retta e sostituisci.
\( y = r - x \).
Sostituisci nel cerchio:
\[ x^2 + (r - x)^2 = 4 \]
\[ x^2 + r^2 - 2rx + x^2 = 4 \]
\[ 2x^2 - 2rx + (r^2 - 4) = 0 \]

Passo 2: Usa la condizione del discriminante per la tangenza. Una retta è tangente a un cerchio se si intersecano in esattamente un punto, il che significa che il discriminante (\( \Delta = b^2 - 4ac \)) di questa quadratica deve essere zero.
Qui, \( a = 2 \), \( b = -2r \), \( c = r^2 - 4 \).
\[ (-2r)^2 - 4(2)(r^2 - 4) = 0 \]
\[ 4r^2 - 8r^2 + 32 = 0 \]
\[ -4r^2 = -32 \Rightarrow r^2 = 8 \]

Risultato: \( r = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \).

Passo 1: Imposta due triangoli rettangoli. Sia \( h = 80\text{m} \) l'altezza della falesia. Gli angoli di depressione sono uguali agli angoli di elevazione dalle barche alla cima della falesia.

Passo 2: Trova la distanza dalla barca più vicina (\( d_1 \)).
Usando la tangente (opposto/adiacente):
\( \tan(28^\circ) = \dfrac{80}{d_1} \Rightarrow d_1 = \dfrac{80}{\tan(28^\circ)} \approx 150.44\text{m} \)

Passo 3: Trova la distanza dalla barca più lontana (\( d_2 \)).
\( \tan(18^\circ) = \dfrac{80}{d_2} \Rightarrow d_2 = \dfrac{80}{\tan(18^\circ)} \approx 246.30\text{m} \)

Passo 4: Trova la differenza.
\[ \text{Distanza di separazione} = d_2 - d_1 \approx 246.30 - 150.44 = \mathbf{95.86 \text{ m}} \]

Passo 1: Usa l'identità pitagorica. Sostituisci \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) per ottenere un'equazione interamente in termini di seno:
\[ 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 3 \]
\[ 2 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 3 \]

Passo 2: Riordina in un'equazione quadratica standard. Sposta tutti i termini sul lato destro per mantenere positivo il termine al quadrato:
\[ 0 = 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 \]

Passo 3: Scomponi in fattori la quadratica. Tratta \( \sin x \) come una variabile \( u \) (\( 2u^2 - 3u + 1 = 0 \)):
\[ (2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0 \]

Passo 4: Risolvi rispetto a x.
Caso 1: \( 2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \). L'angolo di riferimento è 30°. Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, quindi \( x = 30^\circ \) e \( x = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \).
Caso 2: \( \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \). Questo si verifica in \( x = 90^\circ \).

Soluzioni: 30°, 90°, 150°.