Esempi passo dopo passo che utilizzano la circonferenza trigonometrica e le identità
La risoluzione delle equazioni trigonometriche richiede di isolare la funzione trigonometrica, trovare l'angolo di riferimento e utilizzare la circonferenza trigonometrica per determinare gli angoli nei quadranti corretti. Quando le equazioni sono più complesse, si utilizzano le identità trigonometriche per semplificarle prima. Esploriamo esempi che vanno dalle forme lineari di base a quelle quadratiche stimolanti.
Trova tutte le soluzioni dell'equazione trigonometrica: \[ \sqrt{3} \sec(\theta) + 2 = 0 \]
Usando l'identità reciproca \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \), possiamo riscrivere l'equazione per isolare il coseno:
\[ \cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]
Trova l'angolo di riferimento \( \theta_r \) prendendo il valore assoluto: \( \cos(\theta_r) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \):
\[ \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \]
Poiché \( \cos(\theta) \) è negativo, gli angoli effettivi devono trovarsi nel 2º o 3º Quadrante.
\[ \text{2º Quadrante: } \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]
\[ \text{3º Quadrante: } \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]
Soluzioni generali: Aggiungi \( 2n\pi \) per tenere conto della natura periodica del coseno (dove \(n\) è un numero intero).
\[ \theta = \mathbf{\dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{e} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \]
Risolvi l'equazione trigonometrica: \[ 2 \sin(\theta) = -1 \]
Isola la funzione seno dividendo entrambi i lati per 2:
\[ \sin(\theta) = -\dfrac{1}{2} \]
L'angolo di riferimento in cui il seno è \( 1/2 \) è \( \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \). Poiché il valore del seno è negativo, gli angoli devono trovarsi nel 3º e 4º Quadrante.
\[ \text{3º Quadrante: } \theta_1 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]
\[ \text{4º Quadrante: } \theta_2 = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6} \]
Soluzioni generali:
\[ \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{e} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]
Risolvi la seguente equazione che coinvolge uno sfasamento e un angolo multiplo: \[ \sqrt{2} \cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \]
Prima, sostituisci l'argomento interno con una variabile temporanea. Sia \( \theta = 3x + \dfrac{\pi}{4} \). Isola il coseno:
\[ \cos(\theta) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
L'angolo di riferimento è \( \theta_r = \dfrac{\pi}{4} \). Il coseno è negativo nel 2º e 3º Quadrante. Trova le soluzioni per \(\theta\):
\[ \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]
Ora, risostituisci \( 3x + \dfrac{\pi}{4} \) al posto di \(\theta\) e risolvi rispetto a \(x\).
Prima equazione:
\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ 3x = \dfrac{2\pi}{4} + 2n\pi = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi \]
\[ x_1 = \mathbf{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]
Seconda equazione:
\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]
\[ 3x = \dfrac{4\pi}{4} + 2n\pi = \pi + 2n\pi \]
\[ x_2 = \mathbf{\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]
Risolvi l'equazione trigonometrica quadratica: \[ - 2 \sin^2 x - \cos x = - 1 \]
Quando un'equazione contiene sia il quadrato del seno che il coseno, usa l'identità pitagorica \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) per convertire tutto in termini di coseno.
\[ -2(1 - \cos^2 x) - \cos x = -1 \]
\[ -2 + 2\cos^2 x - \cos x = -1 \]
Sposta tutto su un lato per formare un'equazione quadratica standard (\(ax^2+bx+c=0\)):
\[ 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0 \]
Scomponi in fattori l'equazione quadratica (trattando \(\cos x\) come una variabile \(u\)):
\[ (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0 \]
Risolvi ciascun fattore indipendentemente:
Caso 1: \( 2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \)
\[ x = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3} + 2n\pi} \quad \text{e} \quad x = \mathbf{\dfrac{4\pi}{3} + 2n\pi} \]
Caso 2: \( \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \)
Il coseno è 1 a 0 radianti.
\[ x = 0 + 2n\pi \Rightarrow \mathbf{x = 2n\pi} \]
Sfida 1 (Identità dell'angolo doppio): Risolvi rispetto a \(x\): \[ \sin(2x) + \cos(x) = 0 \]
Passo 1: Applica l'identità dell'angolo doppio per il seno: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).
\[ 2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0 \]
Passo 2: Raccogli a fattor comune il termine \( \cos(x) \).
\[ \cos(x)(2\sin(x) + 1) = 0 \]
Passo 3: Poni ciascun fattore uguale a zero e risolvi.
Fattore 1: \( \cos(x) = 0 \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi} \)
Fattore 2: \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\dfrac{1}{2} \)
\[ \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{e} \quad \mathbf{x = \dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]
Sfida 2 (Identità pitagorica): Risolvi rispetto a \(x\): \[ \tan^2(x) - \sec(x) = 1 \]
Passo 1: Usa l'identità \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \) per esprimere tutto in termini di secante.
\[ (\sec^2(x) - 1) - \sec(x) = 1 \]
Passo 2: Riordina in un'equazione quadratica posta uguale a zero.
\[ \sec^2(x) - \sec(x) - 2 = 0 \]
Passo 3: Scomponi in fattori l'equazione quadratica.
\[ (\sec(x) - 2)(\sec(x) + 1) = 0 \]
Passo 4: Risolvi rispetto al coseno usando le identità reciproche.
Fattore 1: \( \sec(x) = 2 \Rightarrow \cos(x) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{3} + 2n\pi, \dfrac{5\pi}{3} + 2n\pi} \)
Fattore 2: \( \sec(x) = -1 \Rightarrow \cos(x) = -1 \Rightarrow \mathbf{x = \pi + 2n\pi} \)
Sfida 3 (Soluzioni estranee): Risolvi rispetto a \(x\) nell'intervallo \( [0, 2\pi) \): \[ \sin(x) - \cos(x) = 1 \]
Passo 1: Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione. Attenzione: l'elevamento al quadrato può introdurre soluzioni estranee, quindi devi verificare le tue risposte finali.
\[ (\sin(x) - \cos(x))^2 = 1^2 \]
\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 1 \]
Passo 2: Usa le identità \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) e \( 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \).
\[ 1 - \sin(2x) = 1 \]
\[ \sin(2x) = 0 \]
Passo 3: Risolvi rispetto a \( 2x \). Il seno è zero nei multipli interi di \( \pi \).
\[ 2x = n\pi \Rightarrow x = \dfrac{n\pi}{2} \]
Nell'intervallo \( [0, 2\pi) \), i possibili angoli sono \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} \).
Passo 4: Verifica la presenza di soluzioni estranee nell'equazione originale \( \sin(x) - \cos(x) = 1 \).
Risposta: \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}} \) e \( \mathbf{x = \pi} \)