Quali sono i valori esatti di seno e coseno di \( \frac{11\pi}{6} \)?

\( \cos(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \)

Trova il valore esatto di \( \cos(-\frac{3\pi}{4}) \) senza calcolatrice.

L'angolo \( -\frac{3\pi}{4} \) è coterminale con \( \frac{5\pi}{4} \) nel 3º Quadrante. Pertanto, \( \cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Trova seno e coseno esatti di \( \frac{16\pi}{3} \).

Sottraendo \( 4\pi \) si ottiene l'angolo coterminale \( \frac{4\pi}{3} \) nel 3º Quadrante. \( \cos(\frac{16\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \) e \( \sin(\frac{16\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Quali sono gli angoli speciali sulla circonferenza trigonometrica?

I principali angoli speciali nel primo quadrante sono 0, \( \frac{\pi}{6} \) (30 gradi), \( \frac{\pi}{4} \) (45 gradi), \( \frac{\pi}{3} \) (60 gradi) e \( \frac{\pi}{2} \) (90 gradi). Tutti gli altri angoli speciali attorno alla circonferenza sono riflessioni di questi angoli di riferimento.

Come funziona la simmetria della circonferenza trigonometrica?

Gli angoli che si riflettono rispetto all'asse y, all'asse x o all'origine condividono gli stessi valori assoluti per seno e coseno del loro angolo di riferimento nel primo quadrante. Solo il segno positivo o negativo cambia a seconda del quadrante in cui cade l'angolo.

Quale quadrante ha un seno negativo e un coseno positivo?

Il 4º Quadrante. Poiché il coseno corrisponde alla coordinata x (che è positiva a destra dell'asse y) e il seno corrisponde alla coordinata y (che è negativa sotto l'asse x).

Angoli speciali della circonferenza trigonometrica | Simmetria e valori trigonometrici

Comprendere la simmetria della circonferenza trigonometrica

Qualsiasi linea passante per il centro di un cerchio è una linea di simmetria. Consideriamo una circonferenza trigonometrica con il suo centro nell'origine \( (0,0) \). Siamo interessati a tre tipi specifici di simmetria:

Simmetria rispetto all'asse y: Mette in relazione il 1º Quadrante con il 2º Quadrante.
Simmetria rispetto all'origine: Mette in relazione il 1º Quadrante con il 3º Quadrante.
Simmetria rispetto all'asse x: Mette in relazione il 1º Quadrante con il 4º Quadrante.

La circonferenza trigonometrica sottostante mostra il coseno (coordinata x) e il seno (coordinata y) per gli angoli speciali in radianti e gradi: \( 0, \dfrac{\pi}{6} (30^\circ), \dfrac{\pi}{4} (45^\circ), \dfrac{\pi}{3} (60^\circ) \) e \( \dfrac{\pi}{2} (90^\circ) \).

Circonferenza trigonometrica che mostra gli angoli speciali nel 1º quadrante — Figura 1. La circonferenza trigonometrica e gli angoli speciali del 1º quadrante

Angoli correlati a \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°)

Considera gli angoli: \( \dfrac{2\pi}{3} \), \( \dfrac{4\pi}{3} \) e \( \dfrac{5\pi}{3} \). Hanno tutti un angolo di riferimento pari a \( \dfrac{\pi}{3} \).

Valori di base: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

1. Simmetria rispetto all'asse y (2º Quadrante)

\[ \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} \]

Nel 2º Quadrante, x è negativo e y è positivo.

\[ \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

2. Simmetria rispetto all'origine (3º Quadrante)

\[ \dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} \]

Nel 3º Quadrante, sia x che y sono negativi.

\[ \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

3. Simmetria rispetto all'asse x (4º Quadrante)

\[ \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

Nel 4º Quadrante, x è positivo e y è negativo.

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

Angoli correlati a \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°)

Considera gli angoli: \( \dfrac{5\pi}{6} \), \( \dfrac{7\pi}{6} \) e \( \dfrac{11\pi}{6} \). Hanno tutti un angolo di riferimento pari a \( \dfrac{\pi}{6} \).

Valori di base: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \)

1. Simmetria rispetto all'asse y (2º Quadrante)

\[ \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}} \]

2. Simmetria rispetto all'origine (3º Quadrante)

\[ \dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

3. Simmetria rispetto all'asse x (4º Quadrante)

\[ \dfrac{11\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} \]

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \]

Angoli correlati a \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°)

Considera gli angoli: \( \dfrac{3\pi}{4} \), \( \dfrac{5\pi}{4} \) e \( \dfrac{7\pi}{4} \). Hanno tutti un angolo di riferimento pari a \( \dfrac{\pi}{4} \).

Valori di base: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

1. Simmetria rispetto all'asse y (2º Quadrante)

\[ \dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

2. Simmetria rispetto all'origine (3º Quadrante)

\[ \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

3. Simmetria rispetto all'asse x (4º Quadrante)

\[ \dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} \]

\[ \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \]

Domande di sfida

Applica la tua conoscenza della circonferenza trigonometrica, degli angoli di riferimento e degli angoli coterminali per risolvere i seguenti problemi senza l'ausilio di una calcolatrice.

Domanda 1 (Angoli negativi): Trova il valore esatto di \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \) e \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \).

Mostra la soluzione

Passo 1: Un angolo negativo significa una rotazione in senso orario. Per trovare un angolo coterminale positivo, aggiungi \( 2\pi \).

\[ -\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} \]

Passo 2: L'angolo \( \dfrac{5\pi}{4} \) si trova nel 3º Quadrante. Sia il seno che il coseno sono negativi.

Risposta: \( \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) e \( \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \)

Domanda 2 (Angoli maggiori di \( 2\pi \)): Trova il seno e il coseno esatti di \( \dfrac{16\pi}{3} \).

Mostra la soluzione

Passo 1: Trova un angolo coterminale compreso tra \( 0 \) e \( 2\pi \) sottraendo ripetutamente cerchi completi (\( 2\pi \) o \( \dfrac{6\pi}{3} \)).

\[ \dfrac{16\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{10\pi}{3} \]

\[ \dfrac{10\pi}{3} - \dfrac{6\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Passo 2: L'angolo \( \dfrac{4\pi}{3} \) si trova nel 3º Quadrante con un angolo di riferimento di \( \dfrac{\pi}{3} \).

Risposta: \( \cos\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}} \) e \( \sin\left(\dfrac{16\pi}{3}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \)

Domanda 3 (Funzioni reciproche): Trova il valore esatto di \( \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \) e \( \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) \).

Mostra la soluzione

Passo 1: Identifica i valori di base di seno e coseno. L'angolo \( \dfrac{11\pi}{6} \) si trova nel 4º Quadrante.

\[ \cos\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{e} \quad \sin\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} \]

Passo 2: Usa le identità reciproche: \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \) e \( \csc(\theta) = \dfrac{1}{\sin(\theta)} \).

\[ \sec\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \]

\[ \csc\left(\dfrac{11\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{-1/2} = \mathbf{-2} \]

Angoli speciali della circonferenza trigonometrica

Comprendere la simmetria della circonferenza trigonometrica

Angoli correlati a \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°)

Angoli correlati a \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°)

Angoli correlati a \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°)

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