Identità trigonometriche e circonferenza trigonometrica

Derivazione di proprietà e dimostrazioni tramite la simmetria

Come puoi usare la circonferenza trigonometrica per trovare proprietà e identità trigonometriche per le funzioni seno e coseno?

Un cerchio ha un numero infinito di simmetrie. Qui ci interessano in particolare le simmetrie rispetto all'asse x, all'asse y, all'origine e alla retta \( y = x \). L'uso di queste simmetrie geometriche ci permette di dedurre visivamente e scrivere diverse identità fondamentali in trigonometria.

Identità dovute alla simmetria rispetto all'origine e agli assi X e Y

Quattro angoli \( \theta \), \( \pi - \theta \), \( \pi + \theta \) e \( 2\pi - \theta \) sono mostrati di seguito in una circonferenza trigonometrica. Ogni angolo corrisponde a un punto (\( A, B, C \) o \( D \)) sulla circonferenza.

Simmetria nella circonferenza trigonometrica che mostra un rettangolo formato da 4 punti

I quattro angoli hanno lo stesso angolo di riferimento pari a \( \theta \). A causa della simmetria della circonferenza trigonometrica, i quattro punti formano un rettangolo \( ABCD \). Date le coordinate \( (a, b) \) del punto \( A \), possiamo trovare le coordinate degli altri tramite riflessione:

Identità dedotte

Dai punti A e B (Simmetria rispetto all'asse Y):

\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \]

Dai punti A e C (Simmetria rispetto all'origine):

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

Dai punti A e D (Simmetria rispetto all'asse X):

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \]

Angoli negativi (Simmetria rispetto all'asse X)

Due angoli \( \theta \) e \( -\theta \) sono mostrati di seguito, corrispondenti ai punti \( A \) e \( D \).

Simmetria nella circonferenza trigonometrica che mostra angoli positivi e negativi

I punti \( A \) e \( D \) sono riflessi l'uno dell'altro rispetto all'asse x. Come visto in precedenza, le loro coordinate sono \( A(a,b) \) e \( D(a,-b) \). Ciò produce le identità trigonometriche "Pari/Dispari":

\[ \cos(-\theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(-\theta) = -\sin\theta \]

Identità dovute alla simmetria rispetto alla retta \( y = x \)

I punti \( A \) e \( B \) mostrati di seguito sono riflessi l'uno dell'altro rispetto alla retta diagonale \( y = x \). A causa di questa simmetria, gli angoli corrispondenti sono \( \theta \) e \( \dfrac{\pi}{2} - \theta \).

Simmetria nella circonferenza trigonometrica rispetto alla retta y = x

La riflessione rispetto a \( y = x \) scambia le coordinate x e y. Se \( A \) è \( (a, b) \), allora \( B \) è \( (b, a) \).

Identità di cofunzione

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\theta \]

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\theta \]

Verifica algebrica delle identità

Possiamo dimostrare algebricamente tutte le simmetrie visive appena scoperte usando le formule standard di addizione e sottrazione degli angoli:

1. Verifica: \( \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi - \theta) = \cos\pi \cos\theta + \sin\pi \sin\theta \]

Usando \( \cos\pi = -1 \) e \( \sin\pi = 0 \):

\[ = (-1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

2. Verifica: \( \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \)

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\pi \cos\theta - \cos\pi \sin\theta \]

Usando \( \sin\pi = 0 \) e \( \cos\pi = -1 \):

\[ = (0)\cos\theta - (-1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

3. Verifica: \( \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi + \theta) = \cos\pi \cos\theta - \sin\pi \sin\theta \]

\[ = (-1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

4. Verifica: \( \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(\pi + \theta) = \sin\pi \cos\theta + \cos\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

5. Verifica: \( \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \)

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos 2\pi \cos\theta + \sin 2\pi \sin\theta \]

Usando \( \cos 2\pi = 1 \) e \( \sin 2\pi = 0 \):

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

6. Verifica: \( \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(2\pi - \theta) = \sin 2\pi \cos\theta - \cos 2\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

7. Verifica: \( \cos(-\theta) = \cos\theta \)

Riscrivi come \( \cos(0 - \theta) \):

\[ \cos(0 - \theta) = \cos 0 \cos\theta + \sin 0 \sin\theta \]

Usando \( \cos 0 = 1 \) e \( \sin 0 = 0 \):

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

8. Verifica: \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \)

Riscrivi come \( \sin(0 - \theta) \):

\[ \sin(0 - \theta) = \sin 0 \cos\theta - \cos 0 \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

9. Verifica: \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \)

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} \cos\theta + \sin\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

Usando \( \cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \) e \( \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \):

\[ = (0)\cos\theta + (1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

10. Verifica: \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \)

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} \cos\theta - \cos\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

\[ = (1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

Domande di sfida

Applica la tua comprensione della simmetria, delle identità e delle formule di addizione degli angoli per risolvere i seguenti problemi di sfida.

Sfida 1 (Simmetria della tangente): Usando le simmetrie di seno e coseno appena derivate, dimostra che la funzione tangente ha un periodo di \( \pi \). Ovvero, dimostra che \( \tan(\pi + \theta) = \tan\theta \).

Mostra la dimostrazione

Passo 1: Usa l'identità del quoziente per esprimere la tangente in termini di seno e coseno.

\[ \tan(\pi + \theta) = \dfrac{\sin(\pi + \theta)}{\cos(\pi + \theta)} \]

Passo 2: Sostituisci le simmetrie per la riflessione rispetto all'origine (3º Quadrante).

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

Passo 3: Semplifica la frazione.

\[ \dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \mathbf{\tan\theta} \]

Sfida 2 (Applicazione delle simmetrie): Valuta il valore esatto della seguente espressione senza calcolatrice: \[ \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) \]

Mostra la soluzione

Passo 1: Semplifica il termine del seno.
Trova un angolo coterminale per \( \dfrac{13\pi}{4} \) sottraendo \( 2\pi \) (\( \dfrac{8\pi}{4} \)).
\( \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \).
Ci troviamo nel 3º Quadrante, correlato a \( \dfrac{\pi}{4} \). Pertanto, \( \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

Passo 2: Semplifica il termine del coseno.
Usa l'identità della funzione pari: \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \).
\( \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \).
Ci troviamo nel 2º Quadrante, correlato a \( \dfrac{\pi}{6} \). Pertanto, \( \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

Passo 3: Moltiplica i valori.

\[ \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}}{4}} \]

Sfida 3 (Cofunzioni avanzate): Usa le formule di addizione degli angoli per verificare l'identità per la riflessione rispetto all'asse y negativo (confine del 3º/4º Quadrante): \[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta \]

Mostra la dimostrazione

Passo 1: Sviluppa usando la formula di sottrazione del coseno: \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \).

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \cos\theta + \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \sin\theta \]

Passo 2: Valuta i valori trigonometrici a \( \dfrac{3\pi}{2} \) (270 gradi).

Sappiamo che nella parte inferiore della circonferenza trigonometrica le coordinate sono \( (0, -1) \). Quindi, \( \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \) e \( \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1 \).

Passo 3: Sostituisci e semplifica.

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

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