Padroneggia la matematica del 12º anno: problemi su circonferenze e trigonometria

Passo 1: Determina il raggio.
Il punto A si trova sull'asse x in \( (8,0) \). Poiché il centro della circonferenza è nell'origine \( (0,0) \), la distanza dall'origine al punto A è esattamente il raggio. Pertanto, \( R = 8 \).

Passo 2: Trova l'angolo al centro \( \theta \).
Usiamo la formula della lunghezza d'arco \( s = R \theta \). Ci viene dato \( s = 20 \) e sappiamo che \( R = 8 \). Sostituisci questi valori per risolvere rispetto a \( \theta \) in radianti:

\[ 20 = 8 \theta \implies \theta = \dfrac{20}{8} = 2.5 \text{ radianti} \]

Passo 3: Calcola le coordinate di P.
Usa le formule standard delle coordinate circolari \( x = R \cos(\theta) \) e \( y = R \sin(\theta) \). Assicurati che la tua calcolatrice sia impostata in modalità Radianti!

\[ x = 8 \cos(2.5) \approx 8(-0.8011) \approx -6.40 \] \[ y = 8 \sin(2.5) \approx 8(0.5984) \approx 4.79 \]

Conclusione:
Le coordinate del punto \( P \) sono approssimativamente \( (-6.40, 4.79) \). (Ciò ha senso logico poiché il punto si trova nel secondo quadrante, dove x è negativo e y è positivo).

Passo 1: Trova il raggio \( R \).
Il raggio è la distanza dall'origine \( (0,0) \) al punto P. Usiamo la formula della distanza (o il teorema di Pitagora):

\[ R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} \] \[ R = \sqrt{(16 \cdot 2) + (25 \cdot 2)} = \sqrt{32 + 50} = \sqrt{82} \]

Passo 2: Trova l'angolo al centro \( \theta \).
Usiamo la definizione della tangente per trovare l'angolo. Poiché sia x che y sono positivi, il punto si trova nel Quadrante I, quindi non dobbiamo regolare l'angolo.

\[ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{5}{4} = 1.25 \] \[ \theta = \arctan(1.25) \approx 0.8960 \text{ radianti} \]

Passo 3: Calcola la lunghezza d'arco \( S \).
Usando la formula \( S = R\theta \):

\[ S = \sqrt{82} \cdot \arctan(1.25) \approx 9.055 \cdot 0.8960 \approx 8.11 \text{ unità} \]

Passo 1: Determina il tempo trascorso.
Dalle 23:10 alle 23:50, il tempo trascorso è esattamente di 40 minuti.

Passo 2: Trova lo spostamento angolare.
Un orologio è un cerchio completo (\( 360^\circ \) o \( 2\pi \) radianti), che rappresenta 60 minuti di tempo. Dobbiamo trovare la frazione di cerchio percorsa dalla lancetta dei minuti.

\[ \text{Frazione di cerchio} = \dfrac{40 \text{ min}}{60 \text{ min}} = \dfrac{2}{3} \text{ di una rotazione completa} \]

Ora, converti questa frazione direttamente in radianti. Una rotazione completa è \( 2\pi \):

\[ \theta = \dfrac{2}{3} \times 2\pi = \dfrac{4\pi}{3} \text{ radianti} \]

Passo 3: Calcola la lunghezza d'arco.
Il raggio \( R \) è la lunghezza della lancetta dei minuti, che è 4.5 cm. Applica la formula della lunghezza d'arco \( S = R \theta \):

\[ S = 4.5 \times \left( \dfrac{4\pi}{3} \right) = \dfrac{18\pi}{3} = \mathbf{6\pi \text{ cm}} \]

a) Trova le coordinate di P:
Usando il raggio \( R = 5 \) e l'angolo \( 35^\circ \), usiamo le formule standard (assicurati che la calcolatrice sia in modalità Gradi per questo passaggio):

\[ a = x = 5 \cos(35^\circ) \approx 4.096 \] \[ b = y = 5 \sin(35^\circ) \approx 2.868 \] \[ P(4.096, 2.868) \]

b) Trova la lunghezza d'arco PQ:
Innanzitutto, dobbiamo convertire l'angolo da gradi a radianti perché la formula \( S=R\theta \) richiede i radianti.

\[ \theta \text{ in radianti} = 35^\circ \times \left(\dfrac{\pi}{180^\circ}\right) = \dfrac{35\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{36} \] \[ \text{Arco } PQ = R\theta = 5 \cdot \left(\dfrac{7\pi}{36}\right) = \dfrac{35\pi}{36} \approx 3.05 \text{ unità} \]

c) Trova la coordinata x di M:
Il punto M è \( (c, -1) \). Poiché M si trova sulla circonferenza, la sua distanza dall'origine deve essere uguale al raggio (5).

\[ x^2 + y^2 = R^2 \implies c^2 + (-1)^2 = 5^2 \] \[ c^2 + 1 = 25 \implies c^2 = 24 \implies c = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6} \]

Osserva il diagramma. Il punto M si trova nel Terzo Quadrante, dove le coordinate x devono essere negative. Pertanto, scartiamo la radice positiva:

\[ c = -2\sqrt{6} \approx -4.899 \]

d) Trova l'angolo \( \theta \):
Sia \( \alpha \) l'angolo totale dal semiasse positivo delle x fino a M. Secondo il diagramma, \( \alpha = \theta + 35^\circ \).

Troviamo \( \alpha \) usando la tangente del punto M \( (-2\sqrt{6}, -1) \):

\[ \tan(\alpha) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{-1}{-2\sqrt{6}} = \dfrac{1}{2\sqrt{6}} \]

Poiché il punto si trova nel terzo quadrante, la funzione \( \arctan \) della calcolatrice (che restituisce un angolo del Quadrante I) sarà errata di \( 180^\circ \). Dobbiamo aggiungere \( 180^\circ \):

\[ \alpha = 180^\circ + \arctan\left(\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\right) \approx 180^\circ + 11.54^\circ = 191.54^\circ \]

Ora, sottrai lo sfasamento di \( 35^\circ \) per risolvere rispetto a \( \theta \):

\[ \theta = \alpha - 35^\circ = 191.54^\circ - 35^\circ = \mathbf{156.54^\circ} \]

a) Calcola la lunghezza d'arco DP:
Converti l'angolo in radianti: \( \theta = 130^\circ \times (\dfrac{\pi}{180^\circ}) = \dfrac{130\pi}{180} = \dfrac{13\pi}{18} \).

\[ \text{Arco } DP = R \cdot \theta = 4 \cdot \dfrac{13\pi}{18} = \dfrac{26\pi}{9} \approx 9.08 \text{ unità} \]

b) Trova le coordinate di P:
Usando le definizioni standard della trigonometria con \( R = 4 \) e \( \theta = 130^\circ \):

\[ a = 4 \cos(130^\circ) \approx -2.57 \] \[ b = 4 \sin(130^\circ) \approx 3.06 \] \[ P(-2.57, 3.06) \]

c) Trova la lunghezza del segmento di retta PD:
Il punto D si trova sul semiasse positivo delle x a distanza R, quindi le sue coordinate sono \( D(4, 0) \). Usa la formula della distanza in 2D \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \):

\[ PD = \sqrt{(4 \cos(130^\circ) - 4)^2 + (4 \sin(130^\circ) - 0)^2} \] \[ PD = \sqrt{(-2.57 - 4)^2 + (3.06)^2} = \sqrt{(-6.57)^2 + 9.36} \] \[ PD = \sqrt{43.16 + 9.36} = \sqrt{52.52} \approx \mathbf{7.25 \text{ unità}} \]

(In alternativa, potresti usare il Teorema dei Coseni sul triangolo OPD: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\theta) \implies PD^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4)\cos(130^\circ) \). Questo produce esattamente lo stesso risultato!)

Passo 1: Trova l'angolo \( \theta \) in radianti.
Riordina la formula della lunghezza d'arco \( S = R\theta \) per risolvere rispetto a \( \theta \):

\[ \theta = \dfrac{S}{R} = \dfrac{12.5}{3} \approx 4.167 \text{ radianti} \]

(Nota: Poiché \( \pi \approx 3.14 \) e \( \dfrac{3\pi}{2} \approx 4.71 \), un angolo di 4.167 radianti cade perfettamente nel terzo quadrante. Questo corrisponde al nostro diagramma).

Passo 2: Trova le coordinate.
Applica direttamente le formule delle coordinate usando la misura in radianti. Assicurati che la tua calcolatrice sia in modalità Radianti.

\[ a = x = 3 \cos\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.523) \approx -1.57 \] \[ b = y = 3 \sin\left(\dfrac{12.5}{3}\right) \approx 3(-0.852) \approx -2.56 \]

Le coordinate di B sono \( (-1.57, -2.56) \).

Passo 1: Trova l'angolo \( \theta \).
Ci viene data la coordinata x (\( 4.1 \)) e il raggio (\( 5 \)). Usiamo la relazione del coseno:

\[ \cos(\theta) = \dfrac{x}{R} = \dfrac{4.1}{5} = 0.82 \]

Poiché il punto P si trova esplicitamente nel Quadrante I, l'angolo \( \theta \) è acuto (compreso tra 0 e \( \pi/2 \)). Possiamo usare direttamente la funzione arccoseno per trovare l'angolo in radianti:

\[ \theta = \arccos(0.82) \approx 0.6094 \text{ radianti} \]

Passo 2: Calcola la lunghezza d'arco.
Sostituisci l'angolo in radianti nella formula della lunghezza d'arco:

\[ S = R \theta = 5 \cdot \arccos(0.82) \approx 5 \cdot 0.6094 \approx \mathbf{3.05 \text{ unità}} \]

Passo 1: Imposta le equazioni.
Il perimetro di un settore è costituito da due raggi e dalla lunghezza d'arco \( S \). Pertanto, \( P = 2R + S \). Poiché \( S = R\theta \), possiamo scrivere l'equazione del perimetro come:

\[ 100 = 2R + R\theta \]

L'area di un settore è data da \( A = \dfrac{1}{2}R^2\theta \).

Passo 2: Esprimi l'Area in funzione di una sola variabile.
Dall'equazione del perimetro, ricava \( \theta \):

\[ R\theta = 100 - 2R \implies \theta = \dfrac{100 - 2R}{R} \]

Sostituisci questo \( \theta \) nell'equazione dell'Area per creare una funzione unicamente in termini di \( R \):

\[ A(R) = \dfrac{1}{2}R^2 \left( \dfrac{100 - 2R}{R} \right) = \dfrac{1}{2}R(100 - 2R) = 50R - R^2 \]

Passo 3: Massimizza la funzione Area.
L'equazione dell'area \( A(R) = -R^2 + 50R \) è una parabola rivolta verso il basso. Il massimo si verifica nel vertice. Usando la formula del vertice \( R = \dfrac{-b}{2a} \):

\[ R = \dfrac{-50}{2(-1)} = 25 \text{ cm} \]

(In alternativa, calcola la derivata: \( A'(R) = 50 - 2R = 0 \implies R = 25 \)).

Passo 4: Trova l'angolo corrispondente \( \theta \).
Sostituisci \( R = 25 \) nuovamente nella nostra equazione per \( \theta \):

\[ \theta = \dfrac{100 - 2(25)}{25} = \dfrac{50}{25} = \mathbf{2 \text{ radianti}} \]

Sorprendentemente, per qualsiasi perimetro fisso, l'area di un settore viene sempre massimizzata quando l'angolo al centro è esattamente pari a 2 radianti!

Passo 1: Trova la lunghezza dei segmenti rettilinei.
Traccia una linea parallela al segmento di cinghia rettilineo passante per il centro del cerchio più piccolo. Questo crea un triangolo rettangolo con un'ipotenusa pari alla distanza tra i centri (\( d = 13 \)) e un cateto pari alla differenza dei raggi (\( r_2 - r_1 = 8 - 3 = 5 \)).
Sia \( L \) la lunghezza di un segmento rettilineo della cinghia. Usando il teorema di Pitagora:

\[ L^2 + 5^2 = 13^2 \implies L^2 + 25 = 169 \implies L^2 = 144 \implies L = 12 \text{ cm} \]

Poiché ci sono due segmenti rettilinei (superiore e inferiore), la loro lunghezza combinata è \( 2 \times 12 = 24 \text{ cm} \).

Passo 2: Trova l'angolo al centro dei punti di contatto.
Sia \( \alpha \) l'angolo nel triangolo rettangolo adiacente ai centri.
\( \cos(\alpha) = \dfrac{\text{adiacente}}{\text{ipotenusa}} = \dfrac{5}{13} \). Pertanto, \( \alpha = \arccos(\dfrac{5}{13}) \approx 1.176 \text{ radianti} \).

Passo 3: Calcola le lunghezze d'arco attorno alle pulegge.
Per deduzione geometrica, l'angolo in cui la cinghia tocca la puleggia più piccola è \( 2\alpha \).
Arco sulla piccola puleggia: \( S_1 = r_1(2\alpha) = 3(2 \times 1.176) = 3(2.352) = 7.056 \text{ cm} \).

L'angolo in cui la cinghia tocca la puleggia più grande è l'arco maggiore, che è \( 2\pi - 2\alpha \).
Angolo maggiore: \( 2\pi - 2.352 \approx 6.283 - 2.352 = 3.931 \text{ radianti} \).
Arco sulla grande puleggia: \( S_2 = r_2(3.931) = 8(3.931) = 31.448 \text{ cm} \).

Passo 4: Somma le parti.
Lunghezza Totale = Segmenti Rettilinei + Arco Piccolo + Arco Grande
\[ \text{Lunghezza Totale} \approx 24 + 7.056 + 31.448 = \mathbf{62.5 \text{ cm}} \]

Passo 1: Trova i punti di intersezione.
Sostituisci l'equazione lineare nell'equazione della circonferenza:

\[ x^2 + (2x + 5)^2 = 25 \] \[ x^2 + (4x^2 + 20x + 25) = 25 \] \[ 5x^2 + 20x = 0 \]

Raccogli a fattor comune \( 5x \):

\[ 5x(x + 4) = 0 \implies x = 0 \text{ oppure } x = -4 \]

Trova i valori di y corrispondenti usando \( y = 2x+5 \):
Se \( x = 0, y = 5 \). Punto 1: \( (0, 5) \).
Se \( x = -4, y = -3 \). Punto 2: \( (-4, -3) \).

Passo 2: Trova l'angolo al centro tra questi punti.
Siano i vettori \( \vec{A} = (0, 5) \) e \( \vec{B} = (-4, -3) \). Possiamo trovare l'angolo \( \theta \) tra di essi usando la formula del prodotto scalare: \( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos(\theta) \).

Prodotto scalare: \( (0)(-4) + (5)(-3) = -15 \)
Moduli (entrambi sono il raggio): \( |\vec{A}| = 5 \), \( |\vec{B}| = 5 \).

\[ -15 = (5)(5) \cos(\theta) \implies \cos(\theta) = \dfrac{-15}{25} = -\dfrac{3}{5} \] \[ \theta = \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 2.214 \text{ radianti} \]

Passo 3: Calcola la lunghezza dell'arco.
Sappiamo che il raggio è \( R = 5 \). Usando \( S = R\theta \):

\[ S = 5 \cdot \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 5 \cdot 2.214 \approx \mathbf{11.07 \text{ unità}} \]