Problemi sui numeri complessi con soluzioni - 12º anno

a) \( (3 + 2i) - (8 - 5i) \)

Distribuisci il segno meno e raggruppa le parti reali e immaginarie insieme:

\[ = 3 + 2i - 8 + 5i \]

\[ = (3 - 8) + (2 + 5)i = \mathbf{-5 + 7i} \]

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b) \( (4 - 2i)(1 - 5i) \)

Usa il metodo FOIL per sviluppare i binomi e ricorda che \( i^2 = -1 \):

\[ = 4(1) + 4(-5i) - 2i(1) - 2i(-5i) \]

\[ = 4 - 20i - 2i + 10i^2 \]

\[ = 4 - 22i + 10(-1) \]

\[ = (4 - 10) - 22i = \mathbf{-6 - 22i} \]

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c) \( \dfrac{-2 - 4i}{i} \)

Per rimuovere l'unità immaginaria dal denominatore, moltiplica il numeratore e il denominatore per \( -i \) (il coniugato di \( i \)):

\[ = \dfrac{(-2 - 4i)(-i)}{(i)(-i)} = \dfrac{2i + 4i^2}{-i^2} \]

Sostituisci \( i^2 = -1 \):

\[ = \dfrac{2i + 4(-1)}{-(-1)} = \dfrac{-4 + 2i}{1} = \mathbf{-4 + 2i} \]

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d) \( \dfrac{-3 + 2i}{3 - 6i} \)

Moltiplica il numeratore e il denominatore per il coniugato complesso del denominatore, che è \( 3 + 6i \):

\[ = \dfrac{(-3 + 2i)(3 + 6i)}{(3 - 6i)(3 + 6i)} \]

Sviluppa sia il numeratore che il denominatore:

Numeratore: \( -9 - 18i + 6i + 12i^2 = -9 - 12i - 12 = -21 - 12i \)

Denominatore: \( 3^2 - (6i)^2 = 9 - 36(-1) = 9 + 36 = 45 \)

Dividi entrambi i termini per 45 e semplifica le frazioni:

\[ = \dfrac{-21 - 12i}{45} = \dfrac{-21}{45} - \dfrac{12}{45}i = \mathbf{-\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15}i} \]

Innanzitutto, isoliamo il numero complesso \( x + yi \) moltiplicando entrambi i lati dell'equazione data per \( i \):

\[ \dfrac{x + yi}{i} \cdot i = (7 + 9i) \cdot i \]

\[ x + yi = 7i + 9i^2 \]

Sostituisci \( i^2 = -1 \) e scrivi in forma standard:

\[ x + yi = -9 + 7i \]

L'espressione che dobbiamo valutare è \( (x + yi)(x - yi) \). Nota che \( (x - yi) \) è semplicemente il coniugato complesso di \( (x + yi) \). Pertanto:

\[ (x + yi)(x - yi) = (-9 + 7i)(-9 - 7i) \]

Questa è una differenza di quadrati: \( (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \). Applicando questa regola:

\[ = (-9)^2 + (7)^2 = 81 + 49 = \mathbf{130} \]

Sia \( z = a + bi \) il numero complesso sconosciuto, dove \( a \) e \( b \) sono numeri reali. Il suo coniugato complesso è quindi \( z' = a - bi \).

Sostituisci \( z \) e \( z' \) nell'equazione data:

\[ (a + bi) + 3(a - bi) = 5 - 6i \]

Sviluppa e raggruppa i termini reali e i termini immaginari sul lato sinistro:

\[ a + bi + 3a - 3bi = 5 - 6i \]

\[ (a + 3a) + (b - 3b)i = 5 - 6i \]

\[ 4a - 2bi = 5 - 6i \]

Due numeri complessi sono uguali se e solo se le loro parti reali e immaginarie corrispondenti sono rigorosamente uguali. Uguagliando le parti, formiamo un sistema di due semplici equazioni lineari:

Parti reali: \( 4a = 5 \implies a = \dfrac{5}{4} \)

Parti immaginarie: \( -2b = -6 \implies b = 3 \)

Infine, sostituisci \( a \) e \( b \) nuovamente nella nostra definizione originale di \( z \):

\[ \mathbf{z = \dfrac{5}{4} + 3i} \]

Sia \( z = a + bi \), il che rende il suo coniugato \( z' = a - bi \).

Il prodotto di un numero complesso e del suo coniugato produce sempre la somma dei quadrati delle sue componenti:

\[ z z' = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2 \]

Ci viene dato che \( zz' = 25 \), quindi la nostra prima equazione è:

\[ a^2 + b^2 = 25 \]

Ci viene anche data l'equazione lineare \( a + b = 7 \). Possiamo risolvere questo sistema per sostituzione. Isola \( b \) nell'equazione lineare:

\[ b = 7 - a \]

Sostituisci questa espressione per \( b \) nell'equazione quadratica:

\[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]

Sviluppa il binomio al quadrato perfetto:

\[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \]

Combina i termini simili per formare un'equazione quadratica standard (\( Ax^2 + Bx + C = 0 \)):

\[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \]

Dividi l'intera equazione per 2 per semplificare:

\[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]

Fattorizza l'equazione quadratica:

\[ (a - 4)(a - 3) = 0 \]

Questo fornisce due possibili valori per \( a \). Usiamo \( b = 7 - a \) per trovare i valori corrispondenti per \( b \):

• Se \( a = 4 \), allora \( b = 7 - 4 = 3 \). Questo dà il numero complesso \( z_1 = 4 + 3i \).
• Se \( a = 3 \), allora \( b = 7 - 3 = 4 \). Questo dà il numero complesso \( z_2 = 3 + 4i \).

Pertanto, i numeri complessi che soddisfano entrambe le condizioni sono:

\[ \mathbf{z = 4 + 3i \quad \text{e} \quad z = 3 + 4i} \]

Metodo 1: Sostituzione diretta

a) Poiché \( x = 2 + 4i \) è una radice, sostituirla nell'equazione deve dare zero:

\[ (2 + 4i)^2 + b(2 + 4i) + c = 0 \]

Sviluppa il binomio al quadrato e distribuisci \( b \):

\[ (4 + 16i + 16i^2) + 2b + 4bi + c = 0 \]

Sostituisci \( i^2 = -1 \) e semplifica:

\[ 4 + 16i - 16 + 2b + 4bi + c = 0 \]

\[ -12 + 16i + 2b + 4bi + c = 0 \]

Raggruppa le parti reali e immaginarie insieme:

\[ (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0 \]

Affinché un numero complesso sia uguale a 0, sia la sua parte reale che quella immaginaria devono essere 0:

Parte immaginaria: \( 16 + 4b = 0 \implies 4b = -16 \implies \mathbf{b = -4} \)

Parte reale: \( -12 + 2b + c = 0 \). Sostituisci \( b = -4 \):

\[ -12 + 2(-4) + c = 0 \implies -12 - 8 + c = 0 \implies \mathbf{c = 20} \]

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b) Poiché i coefficienti del polinomio (\( 1, b, c \)) sono tutti numeri reali, il Teorema delle radici complesse coniugate afferma che le radici devono presentarsi in coppie coniugate. Pertanto, la seconda radice è \( 2 - 4i \).

Verifica: Sostituisci \( x = 2 - 4i \), \( b = -4 \) e \( c = 20 \) nell'equazione:

\[ (2 - 4i)^2 - 4(2 - 4i) + 20 \]

\[ = (4 - 16i + 16i^2) - 8 + 16i + 20 \]

\[ = (4 - 16i - 16) - 8 + 16i + 20 \]

\[ = -12 - 16i - 8 + 16i + 20 = (-12 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0 \]

(Metodo alternativo: Usa le Formule di Vieta. La somma delle radici è \( -b \), e il prodotto è \( c \). Date le radici \( 2+4i \) e \( 2-4i \), Somma = \( 4 \implies b = -4 \). Prodotto = \( (2)^2 + (4)^2 = 20 \implies c = 20 \)).

Sia \( z = a + bi \), dove \( a \) e \( b \) sono numeri reali.

Sostituisci questo nell'equazione data:

\[ (a + bi)^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]

Sviluppa il lato sinistro:

\[ a^2 + 2abi + b^2i^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]

\[ a^2 - b^2 + 2abi = -1 + 2\sqrt{6}i \]

Eguaglia le parti reale e immaginaria per formare un sistema di equazioni:

1) \( a^2 - b^2 = -1 \)

2) \( 2ab = 2\sqrt{6} \)

Dalla seconda equazione, isola \( b \):

\[ ab = \sqrt{6} \implies b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \]

Sostituisci questa espressione per \( b \) nella prima equazione:

\[ a^2 - \left( \dfrac{\sqrt{6}}{a} \right)^2 = -1 \]

\[ a^2 - \dfrac{6}{a^2} = -1 \]

Moltiplica l'intera equazione per \( a^2 \) per eliminare il denominatore:

\[ a^4 - 6 = -a^2 \]

\[ a^4 + a^2 - 6 = 0 \]

Questa è un'equazione quadratica in termini di \( a^2 \). Possiamo fattorizzarla come:

\[ (a^2 + 3)(a^2 - 2) = 0 \]

Questo dà \( a^2 = -3 \) oppure \( a^2 = 2 \). Poiché \( a \) deve essere un numero reale, \( a^2 \) non può essere negativo. Pertanto, scartiamo \( a^2 = -3 \).

Risolvendo \( a^2 = 2 \) si ottengono due radici reali: \( a = \sqrt{2} \) e \( a = -\sqrt{2} \).

Ora, usa \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \) per trovare i valori corrispondenti per \( b \):

• Se \( a = \sqrt{2} \), allora \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{6}{2}} = \sqrt{3} \).
• Se \( a = -\sqrt{2} \), allora \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{3} \).

Combinandoli nel nostro numero complesso \( z = a + bi \), otteniamo due soluzioni:

\[ \mathbf{z_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}i \quad \text{e} \quad z_2 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}i} \]

Sia \( z = a + bi \) e \( z' = a - bi \), dove \( a \) e \( b \) sono numeri reali.

Sostituisci queste espressioni nell'equazione data:

\[ (4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i \]

Sviluppa attentamente entrambi i prodotti usando FOIL:

Primo prodotto: \( 4a + 4bi + 2ai + 2bi^2 = 4a - 2b + (2a + 4b)i \)

Secondo prodotto: \( 8a - 8bi - 2ai + 2bi^2 = 8a - 2b + (-2a - 8b)i \)

Somma le espressioni sviluppate:

\[ (4a - 2b + 8a - 2b) + (2a + 4b - 2a - 8b)i = -2 + 10i \]

Semplifica raggruppando i termini simili:

\[ (12a - 4b) + (-4b)i = -2 + 10i \]

Eguaglia le parti reali e immaginarie per formare un sistema di equazioni:

Parte immaginaria: \( -4b = 10 \implies \mathbf{b = -\dfrac{5}{2}} \)

Parte reale: \( 12a - 4b = -2 \). Sostituisci il valore di \( b \):

\[ 12a - 4\left(-\dfrac{5}{2}\right) = -2 \]

\[ 12a + 10 = -2 \]

\[ 12a = -12 \implies \mathbf{a = -1} \]

Pertanto, il numero complesso \( z \) è:

\[ \mathbf{z = -1 - \dfrac{5}{2}i} \]

Poiché tutti i coefficienti del polinomio cubico (\( 1, 6, 61, 106 \)) sono numeri reali, il Teorema delle radici complesse coniugate garantisce che se \( z_1 = -2 + 7i \) è una radice, anche il suo coniugato \( z_2 = -2 - 7i \) deve essere una radice.

Se conosciamo due radici, possiamo creare il fattore quadratico che corrisponde ad esse moltiplicando \( (z - z_1)(z - z_2) \):

\[ (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i)) \]

Per moltiplicare facilmente, raggruppa i termini interni per creare una differenza di quadrati:

\[ = ((z + 2) - 7i)((z + 2) + 7i) \]

\[ = (z + 2)^2 - (7i)^2 \]

\[ = (z^2 + 4z + 4) - 49(-1) \]

\[ = z^2 + 4z + 53 \]

Questa espressione quadratica deve essere un fattore del nostro polinomio cubico originale. Sia la radice reale rimanente \( r \). Il polinomio cubico può essere fattorizzato come:

\[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = (z^2 + 4z + 53)(z - r) \]

Possiamo trovare il fattore lineare mancante \( (z - r) \) eseguendo la divisione lunga polinomiale, dividendo il polinomio cubico per il fattore quadratico. In alternativa, possiamo usare una scorciatoia osservando i termini di grado massimo e costante:

• Il termine di grado massimo \( z^3 \) diviso per \( z^2 \) lascia \( z \).
• Il termine noto \( 106 \) diviso per \( 53 \) lascia \( +2 \).

Pertanto, il fattore lineare è \( (z + 2) \). Ciò significa che l'equazione cubica completamente fattorizzata è:

\[ (z^2 + 4z + 53)(z + 2) = 0 \]

Puntando il fattore lineare a zero ci fornisce la radice reale:

\[ z + 2 = 0 \implies \mathbf{z = -2} \]

a) Per mostrare che \( 2i \) è una radice, sostituiamo \( z = 2i \) nel polinomio e verifichiamo che sia uguale a zero.

Innanzitutto, calcola le potenze di \( 2i \):

• \( (2i)^2 = 4i^2 = -4 \)
• \( (2i)^3 = 8i^3 = 8(-i) = -8i \)
• \( (2i)^4 = 16i^4 = 16(1) = 16 \)

Sostituisci questi valori nel polinomio:

\[ (2i)^4 + (2i)^3 + 2(2i)^2 + 4(2i) - 8 \]

\[ = 16 + (-8i) + 2(-4) + 8i - 8 \]

\[ = 16 - 8i - 8 + 8i - 8 \]

\[ = (16 - 8 - 8) + (-8i + 8i) = \mathbf{0} \]

Poiché il risultato è 0, \( 2i \) è effettivamente una radice.

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b) Poiché il polinomio ha coefficienti reali, il Teorema delle radici complesse coniugate afferma che anche \( -2i \) è una radice.

I fattori corrispondenti a queste due radici sono \( (z - 2i) \) e \( (z + 2i) \). Moltiplicandoli insieme si ottiene un fattore quadratico:

\[ (z - 2i)(z + 2i) = z^2 - (2i)^2 = z^2 - 4(-1) = z^2 + 4 \]

Per trovare le radici rimanenti, dividiamo il polinomio originale di quarto grado per questo fattore quadratico \( z^2 + 4 \). Puoi usare la divisione lunga polinomiale:

\[ \dfrac{z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8}{z^2 + 4} = z^2 + z - 2 \]

Quindi, il polinomio si factorizza come:

\[ (z^2 + 4)(z^2 + z - 2) = 0 \]

Le radici rimanenti provengono dalla risoluzione dell'equazione quadratica \( z^2 + z - 2 = 0 \). Fattorizzandola:

\[ (z + 2)(z - 1) = 0 \]

Questo produce \( z = -2 \) e \( z = 1 \). Pertanto, l'insieme completo delle radici dell'equazione è:

\[ \mathbf{z = 2i, \quad z = -2i, \quad z = 1, \quad z = -2} \]

Poiché il polinomio ha coefficienti strettamente reali, qualsiasi radice complessa deve presentarsi in coppie coniugate. Poiché ci vengono date due radici complesse, conosciamo immediatamente le altre due radici:

Radici date: \( 2 - i \) e \( 1 - i \)

Radici coniugate: \( 2 + i \) e \( 1 + i \)

Possiamo costruire il polinomio moltiplicando i fattori associati a queste quattro radici:

\[ P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i)) \cdot (z - (1 - i))(z - (1 + i)) \]

Moltiplichiamo prima le coppie coniugate. Questo risulterà in due quadratche a coefficienti reali. Raggruppando per usare la differenza di quadrati:

Prima coppia:

\[ ((z - 2) + i)((z - 2) - i) = (z - 2)^2 - i^2 = (z^2 - 4z + 4) + 1 = \mathbf{z^2 - 4z + 5} \]

Seconda coppia:

\[ ((z - 1) + i)((z - 1) - i) = (z - 1)^2 - i^2 = (z^2 - 2z + 1) + 1 = \mathbf{z^2 - 2z + 2} \]

Ora, moltiplica questi due polinomi quadratici insieme per ottenere \( P(z) \):

\[ P(z) = (z^2 - 4z + 5)(z^2 - 2z + 2) \]

Distribuisci ciascun termine del primo polinomio sul secondo:

\[ = z^2(z^2 - 2z + 2) - 4z(z^2 - 2z + 2) + 5(z^2 - 2z + 2) \]

\[ = (z^4 - 2z^3 + 2z^2) - (4z^3 - 8z^2 + 8z) + (5z^2 - 10z + 10) \]

Combina i termini simili:

• Termine \( z^4 \): \( z^4 \)
• Termini \( z^3 \): \( -2z^3 - 4z^3 = -6z^3 \)
• Termini \( z^2 \): \( 2z^2 + 8z^2 + 5z^2 = 15z^2 \)
• Termini \( z \): \( -8z - 10z = -18z \)
• Termine noto: \( 10 \)

\[ P(z) = z^4 - 6z^3 + 15z^2 - 18z + 10 \]

Confrontando questo con il formato dato \( z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \), troviamo i nostri coefficienti:

\[ \mathbf{a = -6, \quad b = 15, \quad c = -18, \quad d = 10} \]

Sviluppare un binomio alla sesta potenza è laborioso. Invece, possiamo convertire il numero complesso nella sua forma polare \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) e usare il Teorema di De Moivre: \( z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \).

Innanzitutto, trova il modulo \( r \) per il numero complesso \( z = \sqrt{3} + i \):

\[ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]

Successivamente, trova l'argomento (angolo) \( \theta \):

\[ \tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \]

Poiché entrambe le componenti sono positive, l'angolo si trova nel primo quadrante: \( \theta = \dfrac{\pi}{6} \) (o 30º).

Quindi, la forma polare è \( z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \).

Ora, applica il Teorema di De Moivre per \( n = 6 \):

\[ z^6 = 2^6 \left( \cos\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) \right) \]

\[ z^6 = 64 (\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \]

Sappiamo che \( \cos(\pi) = -1 \) e \( \sin(\pi) = 0 \):

\[ z^6 = 64 (-1 + 0i) = -64 \]

La forma standard è: \( -64 + 0i \).

Sia la variabile complessa \( z = x + yi \), dove \( x \) e \( y \) rappresentano le coordinate cartesiane.

Sostituisci questo nell'equazione del modulo data:

\[ |(x + yi) - 2| = |(x + yi) + 2i| \]

Raggruppa le componenti reali e immaginarie all'interno dei moduli:

\[ |(x - 2) + yi| = |x + (y + 2)i| \]

Il modulo di un numero complesso \( a+bi \) è \( \sqrt{a^2+b^2} \). Applicalo a entrambi i lati:

\[ \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} \]

Eleva al quadrato entrambi i lati per rimuovere le radici quadrate:

\[ (x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2 \]

Sviluppa i binomi al quadrato perfetto su entrambi i lati:

\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4 \]

Sottrai \( x^2 \), \( y^2 \) e \( 4 \) da entrambi i lati. Si elidono perfettamente, lasciando:

\[ -4x = 4y \]

Dividi per 4 per ottenere l'equazione cartesiana finale:

\( y = -x \)

Descrizione geometrica: Il luogo è una linea retta passante per l'origine con una pendenza di -1. (Concettualmente, \( |z - A| = |z - B| \) descrive sempre l'asse perpendicolare passante per il punto medio del segmento che collega i punti A e B nel piano complesso. Qui, A è (2, 0) e B è (0, -2). Il loro asse di simmetria è proprio la retta y = -x.)

Per trovare le radici cubiche, scriviamo innanzitutto il numero \( 8i \) in forma polare.

Il modulo è \( 8 \) e, poiché si trova sull'asse immaginario positivo, il suo angolo è \( \dfrac{\pi}{2} \). La forma polare generale è:

\[ 8i = 8 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) \]

Per trovare le radici cubiche (\( z = (8i)^{1/3} \)), usiamo la formula delle radici di De Moivre: prendi la radice cubica del modulo e dividi l'argomento per 3:

\[ z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) \right) \]

\[ z_k = 2 \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) \right) \]

Troviamo le tre radici distinte sostituendo \( k = 0, 1, 2 \):

Per k = 0:

\[ z_0 = 2 \left( \cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{\sqrt{3} + i} \]

Per k = 1:

\[ \text{Angolo} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]

\[ z_1 = 2 \left( \cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6} \right) = 2 \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{-\sqrt{3} + i} \]

Per k = 2:

\[ \text{Angolo} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{8\pi}{6} = \dfrac{9\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2} \]

\[ z_2 = 2 \left( \cos\dfrac{3\pi}{2} + i\sin\dfrac{3\pi}{2} \right) = 2(0 + (-1)i) = \mathbf{-2i} \]

Le tre radici sono: \( \sqrt{3} + i \), \( -\sqrt{3} + i \) e \( -2i \).