Trova un'equazione polinomiale dato il suo grafico: domande con soluzioni

Passo 1: Identifica zeri e molteplicità
Il grafico della funzione attraversa pulitamente l'asse x in \( x = -1 \). Ciò indica uno zero di molteplicità 1, corrispondente al fattore \( (x + 1) \).
Il grafico tocca l'asse x e inverte la direzione in \( x = 3 \). Ciò indica uno zero di molteplicità 2 (una forma parabolica), corrispondente al fattore \( (x - 3)^2 \).

Passo 2: Imposta l'equazione
Sulla base dei fattori, la funzione \( g \) ha la forma generale:
\[ g(x) = k(x + 1)(x - 3)^2 \] dove \( k \) è un moltiplicatore costante sconosciuto.

Passo 3: Risolvi rispetto a \( k \)
Possiamo trovare \( k \) usando il punto segnato sul grafico con coordinate \( (1, 3) \):
\[ g(1) = k(1 + 1)(1 - 3)^2 = 3 \] \[ k(2)(-2)^2 = 3 \] \[ 8k = 3 \implies k = \dfrac{3}{8} \]

Conclusione:
L'equazione esatta per \( g(x) \) è:
\[ g(x) = \dfrac{3}{8}(x + 1)(x - 3)^2 \]

Passo 1: Identifica zeri e molteplicità
Analizzando le intercette x, troviamo tre distinti punti di interazione:
* Un attraversamento diretto in \( x = 2 \), che significa una molteplicità di 1, dando il fattore \( (x - 2) \).
* Un attraversamento diretto in \( x = -2 \), che significa una molteplicità di 1, dando il fattore \( (x + 2) \).
* Un punto di contatto e inversione in \( x = -1 \), che significa una molteplicità di 2, dando il fattore \( (x + 1)^2 \).

Passo 2: Imposta l'equazione
Moltiplicando questi fattori otteniamo il nostro polinomio di base del 4º grado:
\[ f(x) = k(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \] dove \( k \) è una costante.

Passo 3: Risolvi rispetto a \( k \)
Il grafico rivela una chiara intercetta y in \( (0, -1) \). Sostituisci \( x = 0 \) e \( y = -1 \):
\[ f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)^2 = -1 \] \[ k(-2)(2)(1)^2 = -1 \] \[ -4k = -1 \implies k = \dfrac{1}{4} \]

Conclusione:
L'equazione è:
\[ f(x) = \dfrac{1}{4}(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]

Passo 1: Identifica zeri e molteplicità
Il grafico ha intercette x in \( x = 0 \) e \( x = \dfrac{5}{2} \). Poiché il grafico attraversa l'asse x in entrambi i punti, entrambi gli zeri devono avere una molteplicità dispari.
* In \( x = 0 \), il grafico mostra una forma a "S" o cubica schiacciata. Ciò indica una molteplicità di 3, producendo il fattore \( x^3 \).
* In \( x = \dfrac{5}{2} \), l'attraversamento è diretto e relativamente lineare, indicando una molteplicità di 1, producendo il fattore \( \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \).

Passo 2: Imposta l'equazione
Usando queste osservazioni, scriviamo la forma generale:
\[ f(x) = k(x)^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

Passo 3: Risolvi rispetto a \( k \)
Usiamo il punto di riferimento dato \( (2, -4) \) per trovare \( k \):
\[ -4 = k(2)^3 \left(2 - \dfrac{5}{2}\right) \] \[ -4 = k(8) \left(-\dfrac{1}{2}\right) \] \[ -4 = -4k \implies k = 1 \]

Conclusione:
L'equazione del polinomio è:
\[ f(x) = x^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

Passo 1: Impostazione in forma fattorizzata
Il polinomio è di grado 3. Il grafico mostra uno zero di molteplicità 1 in \( x = -2 \) (fattore: \( x + 2 \)), e uno zero di molteplicità 2 in \( x = 1 \) (fattore: \( (x - 1)^2 \)).
\[ y = k(x + 2)(x - 1)^2 \]

Passo 2: Trova \( k \)
Usa la chiara intercetta y in \( (0, 1) \):
\[ 1 = k(0 + 2)(0 - 1)^2 \] \[ 1 = 2k \implies k = \dfrac{1}{2} = 0.5 \]

Passo 3: Sviluppa in forma standard
Ora, sviluppa il polinomio fattorizzato per rivelare i singoli coefficienti:
\[ y = 0.5(x + 2)(x^2 - 2x + 1) \] \[ y = 0.5(x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2) \] \[ y = 0.5(x^3 - 3x + 2) \] \[ y = 0.5x^3 - 1.5x + 1 \]

Conclusione:
Confrontando questo con \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), deduciamo:
\[ a = 0.5, \quad b = 0, \quad c = -1.5, \quad d = 1 \]

Passo 1: Sfrutta i concetti di simmetria
Poiché il grafico è perfettamente simmetrico rispetto all'asse y, la funzione deve essere una funzione pari (dove \( f(x) = f(-x) \)).
Affinché un polinomio sia una funzione pari, può contenere solo potenze pari di \( x \). I termini \( bx^3 \) e \( dx \) sono funzioni dispari. Affinché il polinomio complessivo rimanga pari, i loro coefficienti devono essere zero:
\[ b = 0, \quad d = 0 \]

Passo 2: Trova la costante \( e \)
Il polinomio si semplifica in \( y = a x^4 + c x^2 + e \).
Il coefficiente \( e \) rappresenta l'intercetta y. Esaminando il grafico, l'intercetta y è chiaramente in \( (0, -2) \):
\[ -2 = a(0)^4 + c(0)^2 + e \] \[ e = -2 \]

Conclusione:
I coefficienti richiesti sono:
\[ b = 0, \quad d = 0, \quad e = -2 \]

Passo 1: Costruzione dei fattori
* Attraversa direttamente in \( x = -2 \implies \) Molteplicità 1: fattore \( (x + 2) \).
* Tangente in \( x = 1 \implies \) Molteplicità 2: fattore \( (x - 1)^2 \).
* Tangente in \( x = 4 \implies \) Molteplicità 2: fattore \( (x - 4)^2 \).
(Controlla il grado: 1 + 2 + 2 = 5. Ciò si allinea perfettamente con il grado dichiarato.)

Passo 2: Impostazione dell'equazione
\[ P(x) = k(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

Passo 3: Risoluzione rispetto a \( k \)
Usa l'intercetta y \( (0, -16) \):
\[ -16 = k(0 + 2)(0 - 1)^2(0 - 4)^2 \] \[ -16 = k(2)(-1)^2(-4)^2 \] \[ -16 = k(2)(1)(16) \] \[ -16 = 32k \implies k = -\dfrac{1}{2} \]

Conclusione:
\[ P(x) = -0.5(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

Passo 1: Comprendere la simmetria dispari
Una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine (\( Q(-x) = -Q(x) \)). Ciò significa che qualsiasi comportamento grafico che si verifica sull'asse x positivo deve essere rispecchiato (diagonalmente) sull'asse x negativo.
* Tangente in \( x = 2 \implies \) Tangente in \( x = -2 \).
* Passa per l'origine \( \implies \) Radice in \( x = 0 \).

Passo 2: Costruzione dei fattori (Grado minimo)
* Radice in \( 0 \) che attraversa \( \implies \) Molteplicità 1: fattore \( (x) \).
* Tangente in \( 2 \implies \) Molteplicità 2: fattore \( (x - 2)^2 \).
* Tangente in \( -2 \implies \) Molteplicità 2: fattore \( (x + 2)^2 \).
(Il grado minimo è 1 + 2 + 2 = 5).

Passo 3: Risoluzione rispetto a \( k \)
\[ Q(x) = k(x)(x - 2)^2(x + 2)^2 \]
Usa il punto \( (1, -9) \):
\[ -9 = k(1)(1 - 2)^2(1 + 2)^2 \] \[ -9 = k(1)(-1)^2(3)^2 \] \[ -9 = k(1)(1)(9) \] \[ 9k = -9 \implies k = -1 \]

Conclusione:
\[ Q(x) = -x(x - 2)^2(x + 2)^2 \]

Passo 1: Tradurre la forma in molteplicità
* Contatto parabolico in \( x = -3 \implies \) Molteplicità pari. Grado minimo = 2. Fattore: \( (x + 3)^2 \).
* Attraversamento in linea retta in \( x = 2 \implies \) Molteplicità 1. Fattore: \( (x - 2) \).
* Attraversamento a forma di "S" piatta in \( x = 5 \implies \) Molteplicità dispari maggiore di 1. Grado minimo = 3. Fattore: \( (x - 5)^3 \).

Passo 2: Impostazione dell'equazione
Moltiplicando questi fattori si crea un polinomio di 6º grado:
\[ H(x) = k(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]

Passo 3: Risoluzione rispetto a \( k \)
Sostituisci il punto \( (3, -72) \):
\[ -72 = k(3 + 3)^2(3 - 2)(3 - 5)^3 \] \[ -72 = k(6)^2(1)(-2)^3 \] \[ -72 = k(36)(-8) \] \[ -72 = -288k \]
\[ k = \dfrac{-72}{-288} = \dfrac{1}{4} \]

Conclusione:
\[ H(x) = 0.25(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]