Trova le funzioni trigonometriche dati i loro grafici (Sfasamento)

1. Ampiezza (\(a\)):
Il valore y massimo è 2. Pertanto, \( |a| = 2 \). Usiamo \( a = 2 \).

2. Periodo (\(b\)):
Osservando la scala del grafico, 4 divisioni orizzontali piccole equivalgono a \( \pi \), quindi 1 divisione piccola = \( \dfrac{\pi}{4} \).
Un ciclo d'onda completo si estende esattamente per 16 divisioni piccole.
Periodo \( P = 16 \times \dfrac{\pi}{4} = 4\pi \).
Usando \( P = \dfrac{2\pi}{b} \), risolviamo: \( 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = \dfrac{1}{2} \).

3. Sfasamento (\(c\)):
Un'onda sinusoidale standard attraversa l'origine \( (0,0) \) andando verso l'alto. Il nostro grafico attraversa l'asse x andando verso l'alto a 1 divisione piccola a sinistra dell'asse y.
Sfasamento = \( -\dfrac{\pi}{4} \) (traslazione a sinistra).
La formula per lo sfasamento è \( -\dfrac{c}{b} \). Sostituisci i dati noti:
\( -\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{c}{1/2} \implies c = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8} \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = 2 \sin \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{8} \right)} \]

1. Ampiezza (\(a\)):
Il valore massimo si trova a metà strada tra 1 e 2. Pertanto, \( |a| = 1.5 \). Sia \( a = 1.5 \).

2. Periodo (\(b\)):
Un intero ciclo (ad esempio, da picco a picco) si estende esattamente per 4 unità sull'asse x.
Periodo \( P = 4 \).
\( 4 = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4b = 2\pi \implies b = \dfrac{\pi}{2} \).

3. Sfasamento (\(c\)):
Il grafico attraversa l'asse x andando verso l'alto in \( x = 1 \). Questa è una traslazione di 1 unità verso destra.
Sfasamento = \( 1 \).
\( 1 = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b \).
Sostituisci \( b \): \( c = -\dfrac{\pi}{2} \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = 1.5 \sin\left( \dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{2} \right)} \]

1. Ampiezza (\(a\)):
Il valore y massimo è 10. \( |a| = 10 \). Sia \( a = 10 \).

2. Periodo (\(b\)):
5 divisioni piccole equivalgono a \( \pi \), quindi 1 divisione piccola = \( \dfrac{\pi}{5} \).
Un periodo completo si estende per 8 divisioni piccole.
Periodo \( P = \dfrac{8\pi}{5} \).
\( \dfrac{8\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8\pi b = 10\pi \implies b = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4} \).

3. Sfasamento (\(c\)):
Il grafico attraversa l'asse centrale andando verso l'alto a 2 divisioni a destra dell'asse y.
Sfasamento = \( 2 \times \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{5} \) (traslazione a destra).
\( \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) \).
Sostituisci \( b \): \( c = -\left(\dfrac{5}{4}\right)\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) = -\dfrac{2\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{2} \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = 10 \sin\left(\dfrac{5x}{4} - \dfrac{\pi}{2}\right)} \]

1. Ampiezza (\(a\)):
Il valore massimo è 2. \( |a| = 2 \). Sia \( a = 2 \).

2. Periodo (\(b\)):
12 divisioni piccole equivalgono a \( \pi \), quindi 1 divisione piccola = \( \dfrac{\pi}{12} \).
Un periodo completo si estende per 8 divisioni.
Periodo \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{3} \).
\( \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies \mathbf{b = 3} \).

3. Sfasamento (\(c\)):
Il grafico inizia il suo attraversamento verso l'alto a 1 divisione verso destra.
Sfasamento = \( \dfrac{\pi}{12} \).
\( \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = -3\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = -\dfrac{\pi}{4} \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = 2 \sin \left( 3x - \dfrac{\pi}{4} \right)} \]

1. Ampiezza (\(a\)):
Il valore y massimo è 4. \( |a| = 4 \). Sia \( a = 4 \).

2. Periodo (\(b\)):
4 divisioni piccole equivalgono a \( \dfrac{\pi}{2} \), quindi 1 divisione piccola = \( \dfrac{\pi}{8} \).
Un ciclo completo si estende per 12 divisioni piccole.
Periodo \( P = 12 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{2} \).
\( \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 3\pi b = 4\pi \implies b = \dfrac{4}{3} \).

3. Sfasamento (\(c\)):
Una funzione coseno standard parte da un massimo quando \( x = 0 \). Il massimo del nostro grafico è traslato di 3 divisioni piccole verso destra.

Sfasamento = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \).
\( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \).
Sostituisci \( b \): \( c = -\left(\dfrac{4}{3}\right)\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = -\dfrac{12\pi}{24} = -\dfrac{\pi}{2} \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = 4 \cos\left(\dfrac{4x}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right)} \]

1. Ampiezza (\(a\)):
Il valore massimo è 3. \( |a| = 3 \). Sia \( a = 3 \).

2. Periodo (\(b\)):
La lunghezza di un ciclo completo sull'asse x è esattamente 1 unità.
Periodo \( P = 1 \).
\( 1 = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = 2\pi \).

3. Sfasamento (\(c\)):
Il massimo è traslato verso destra di 0.5 unità.
Sfasamento = \( \dfrac{1}{2} \).
\( \dfrac{1}{2} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -\dfrac{b}{2} \).
Sostituisci \( b \): \( c = -\dfrac{2\pi}{2} = -\pi \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = 3 \cos(2\pi x - \pi)} \]

1. Ampiezza (\(a\)):
Il valore y massimo è 40. \( |a| = 40 \). Sia \( a = 40 \).

2. Periodo (\(b\)):
4 divisioni piccole equivalgono a \( \dfrac{\pi}{2} \), quindi 1 divisione piccola = \( \dfrac{\pi}{8} \).
Un periodo completo si estende per 8 divisioni.
Periodo \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{8} = \pi \).
\( \pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies \pi b = 2\pi \implies \mathbf{b = 2} \).

3. Sfasamento (\(c\)):
Il massimo è traslato di 3 divisioni verso destra.
Sfasamento = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \).
\( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \).
Sostituisci \( b = 2 \): \( c = -2\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = -\dfrac{6\pi}{8} = -\dfrac{3\pi}{4} \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = 40 \cos\left(2x - \dfrac{3\pi}{4}\right)} \]

a) Trovare il periodo:
Per un'onda sinusoidale standard, la distanza orizzontale tra un'intercetta x (dove attraversa l'asse andando verso l'alto) e il massimo immediatamente successivo è esattamente un quarto di un periodo completo.
Un quarto di periodo = \( \dfrac{11\pi}{5} - \dfrac{6\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \).
Pertanto, il periodo completo \( P = 4 \times \pi = \mathbf{4\pi} \).

b) Trovare \(b\), \(c\) e l'equazione:
Usa la formula del periodo per trovare \(b\):
\( P = \dfrac{2\pi}{|b|} \implies 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 2\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{1}{2}} \).

Trova lo sfasamento \(c\):
L'intercetta x con attraversamento verso l'alto rappresenta l'"inizio" del ciclo del seno. Ciò si verifica in \( x = \dfrac{6\pi}{5} \), che è una traslazione verso destra.
Sfasamento = \( \dfrac{6\pi}{5} \).
\( \dfrac{6\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) \).
Sostituisci \(b\): \( c = -\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) = \mathbf{-\dfrac{3\pi}{5}} \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = \sin\left( \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3\pi}{5} \right)} \]

1. Ampiezza (\(a\)):
L'ampiezza è \( \dfrac{5 - (-5)}{2} = 5 \). Poiché il problema richiede \( a < 0 \), dobbiamo usare un'onda di coseno riflessa. Pertanto, \( a = -5 \).

2. Periodo (\(b\)):
La distanza orizzontale tra un minimo e il massimo successivo è esattamente mezzo periodo.
Mezzo periodo = \( \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3} \).
Periodo completo \( P = 2 \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \).
\( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies b = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \).

3. Sfasamento (\(c\)):
Un'onda di coseno riflessa \( (- \cos) \) parte naturalmente dal suo minimo. Poiché il minimo del nostro grafico si verifica in \( x = \dfrac{\pi}{6} \), il grafico è traslato a destra di \( \dfrac{\pi}{6} \).
Sfasamento = \( \dfrac{\pi}{6} \).
\( \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \).
Sostituisci \( b = \dfrac{3}{2} \): \( c = -\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{3\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{4} \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = -5\cos\left(\dfrac{3}{2}x - \dfrac{\pi}{4}\right)} \]

1. Comprendi l'identità di co-funzione:
La funzione seno è semplicemente la funzione coseno traslata orizzontalmente. Conosciamo l'identità:
\( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).

2. Sostituisci l'argomento:
Considera l'intera espressione interna \( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \) come \( \theta \).
\( y = 3\cos\left( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) \).

3. Semplifica lo sfasamento:
Trova un denominatore comune per le costanti (che è 6).
\( -\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{2\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{5\pi}{6} \).

Conclusione:
La funzione coseno equivalente è:
\[ \mathbf{y = 3\cos\left(2x - \dfrac{5\pi}{6}\right)} \]

1. Metti in relazione il massimo con la funzione coseno:
La funzione \( y = 8\cos(\theta) \) raggiunge il suo massimo quando l'argomento interno \( \theta \) è uguale a \( 0, 2\pi, 4\pi, -2\pi \), ecc.
Pertanto, nel punto di massimo, possiamo porre l'argomento interno uguale a \( 2k\pi \):
\[ 4x + c = 2k\pi \]

2. Sostituisci il valore x noto:
Sappiamo che un massimo si verifica in \( x = \dfrac{\pi}{12} \):
\[ 4\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + c = 2k\pi \] \[ \dfrac{\pi}{3} + c = 2k\pi \] \[ c = 2k\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

3. Trova i valori positivi per \( c \):
Possiamo testare valori interi per \( k \) per trovare risultati positivi per \( c \).
Se \( k = 0 \): \( c = - \dfrac{\pi}{3} \) (Negativo, scartato).
Se \( k = 1 \): \( c = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{5\pi}{3}} \).
Se \( k = 2 \): \( c = 4\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{12\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{11\pi}{3}} \).

Conclusione:
Due possibili valori positivi per \( c \) sono \( \dfrac{5\pi}{3} \) e \( \dfrac{11\pi}{3} \). Entrambi creano un'equazione valida che descrive esattamente lo stesso grafico.