Trova le funzioni trigonometriche dati i loro grafici (Traslazione verticale)

a) Trovare il massimo e il minimo:
Sappiamo che il codominio standard della funzione seno di base è compreso tra -1 e 1:
\[ -1 \leq \sin(bx + c) \leq 1 \]

Moltiplica tutte le parti per l'ampiezza \( a \) (supponendo \( a > 0 \)):
\[ -a \leq a \sin(bx + c) \leq a \]

Aggiungi la traslazione verticale \( d \) a tutte le parti:
\[ -a + d \leq a \sin(bx + c) + d \leq a + d \]

Questo ci indica i punti assolutamente più alto e più basso della funzione:
\[ \mathbf{\text{max} = d + a \quad \text{e} \quad \text{min} = d - a} \]

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b) Ricavare \( a \) e \( d \):
Tratta le equazioni della parte (a) come un sistema di equazioni lineari:
1) \( d + a = \text{max} \)
2) \( d - a = \text{min} \)

Per trovare \( d \): Somma le due equazioni:
\( (d + a) + (d - a) = \text{max} + \text{min} \)
\( 2d = \text{max} + \text{min} \implies \mathbf{d = \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}} \)

Per trovare \( a \): Sottrai l'equazione 2 dall'equazione 1:
\( (d + a) - (d - a) = \text{max} - \text{min} \)
\( 2a = \text{max} - \text{min} \implies \mathbf{a = \dfrac{\text{max} - \text{min}}{2}} \)

1. Trova l'ampiezza (\(a\)) e la traslazione verticale (\(d\)):
Leggi i valori estremi dall'asse y: \( \text{max} = 0 \) e \( \text{min} = -4 \).
\[ d = \dfrac{0 + (-4)}{2} = \mathbf{-2} \]
\[ a = \dfrac{0 - (-4)}{2} = \mathbf{2} \]

2. Trova il periodo (\(b\)):
Osservando il grafico, un ciclo completo si completa esattamente in \( x = \dfrac{4\pi}{3} \).
Periodo \( P = \dfrac{4\pi}{3} \).
Usando la formula: \( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{3}{2}} \).

3. Trova lo sfasamento (\(c\)) algebricamente:
La nostra equazione parziale è: \( y = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}x + c \right) - 2 \).
Abbiamo bisogno di un punto chiaro dal grafico da sostituire. All'intercetta y, il grafico tocca il picco: \( (0, 0) \).
Sostituisci \( x = 0 \) e \( y = 0 \):
\[ 0 = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}(0) + c \right) - 2 \]
\[ 2 = 2 \sin(c) \implies \sin(c) = 1 \]

La funzione seno è uguale a 1 in \( \dfrac{\pi}{2} \) (più qualsiasi multiplo di \( 2\pi \)). Scegliamo il valore positivo più semplice: \( \mathbf{c = \dfrac{\pi}{2}} \).

Conclusione:
\[ \mathbf{y = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) - 2} \]

1. Trova l'ampiezza (\(a\)) e la traslazione verticale (\(d\)):
Dal grafico, \( \text{max} = \dfrac{18}{5} \) e \( \text{min} = -\dfrac{6}{5} \).
\[ d = \dfrac{\dfrac{18}{5} + \left(-\dfrac{6}{5}\right)}{2} = \dfrac{\dfrac{12}{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{6}{5}} \]
\[ a = \dfrac{\dfrac{18}{5} - \left(-\dfrac{6}{5}\right)}{2} = \dfrac{\dfrac{24}{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{12}{5}} \]

2. Trova il periodo (\(b\)):
I punti dati \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \) (un massimo) e \( \left( \dfrac{7}{5}, -\dfrac{6}{5} \right) \) (un minimo) rappresentano esattamente metà di un ciclo d'onda.
Mezzo periodo = \( \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5} \).
Periodo completo \( P = 2 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5} \).
Usando la formula: \( \dfrac{8}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8b = 10\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{5\pi}{4}} \).

3. Trova lo sfasamento (\(c\)) algebricamente:
La nostra equazione parziale è: \( y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}x + c \right) + \dfrac{6}{5} \).
Sostituisci il punto di massimo \( x = \dfrac{3}{5}, y = \dfrac{18}{5} \):
\[ \dfrac{18}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}\left(\dfrac{3}{5}\right) + c \right) + \dfrac{6}{5} \]
Sottrai \( \dfrac{6}{5} \) da entrambi i lati:
\[ \dfrac{12}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) \]
Dividi per \( \dfrac{12}{5} \):
\[ 1 = \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) \]

Il seno è uguale a 1 in \( \dfrac{\pi}{2} \). Pertanto:
\[ \dfrac{3\pi}{4} + c = \dfrac{\pi}{2} \implies c = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{2\pi}{4} - \dfrac{3\pi}{4} = \mathbf{-\dfrac{\pi}{4}} \]

Conclusione:
\[ \mathbf{y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} - \dfrac{\pi}{4} \right) + \dfrac{6}{5}} \]

a) Trovare il periodo:
Il parametro \( b \) all'interno del coseno è \( \dfrac{\pi}{12} \).
Periodo \( P = \dfrac{2\pi}{\pi/12} = 2\pi \times \dfrac{12}{\pi} = \mathbf{24 \text{ ore}} \).
(Questo ha perfettamente senso logico per un ciclo di temperatura giornaliero.)

b) Trovare la temperatura massima:
La funzione è nel formato \( a\cos(bt) + d \). Sappiamo che \( \text{max} = d + |a| \).
Traslazione verticale \( d = 30 \) e ampiezza \( |a| = |-8| = 8 \).
\( \text{max} = 30 + 8 = \mathbf{38^\circ C} \).

c) Valutare tempi specifici:
• 12:00 AM (\(t = 0\)):
\( T(0) = -8\cos(0) + 30 = -8(1) + 30 = \mathbf{22^\circ C} \)
• 6:00 AM (\(t = 6\)):
\( T(6) = -8\cos\left(\dfrac{6\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)
• 12:00 PM (\(t = 12\)):
\( T(12) = -8\cos\left(\dfrac{12\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos(\pi) + 30 = -8(-1) + 30 = 8 + 30 = \mathbf{38^\circ C} \)
• 6:00 PM (\(t = 18\)):
\( T(18) = -8\cos\left(\dfrac{18\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)

1. Trova l'ampiezza (\(a\)) e la traslazione verticale (\(d\)):
Max = 120, Min = 40.
\( d = \dfrac{120 + 40}{2} = 80 \)
\( a = \dfrac{120 - 40}{2} = 40 \)

2. Trova il periodo (\(b\)):
Se compie 5 rimbalzi al secondo, la sua frequenza è 5 Hz. Il periodo è il tempo impiegato per un rimbalzo.
Periodo \( P = \dfrac{1}{5} = 0.2 \) secondi.
\( 0.2 = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = \dfrac{2\pi}{0.2} = 10\pi \).

3. Determina la funzione e lo sfasamento:
Poiché parte alla sua altezza massima a \( t = 0 \), si comporta perfettamente come un'onda di coseno positiva. Non è necessario alcuno sfasamento (\( c = 0 \)).

Conclusione:
\[ \mathbf{h(t) = 40\cos(10\pi t) + 80} \]

1. Usa il punto di origine:
La funzione passa per \( (0,0) \).
\( f(0) = A \sin(B \cdot 0) + D \)
\( 0 = A(0) + D \implies \mathbf{D = 0} \).
Poiché \( D = 0 \), il grafico non è traslato verticalmente. La linea centrale è l'asse x.

2. Usa il punto di massimo:
Il valore massimo è 6. Poiché la linea centrale è 0, l'ampiezza è esattamente la distanza dal centro al picco.
Pertanto, \( \mathbf{A = 6} \).

3. Trova il periodo:
Per un'onda sinusoidale non sfasata (\( D=0 \), nessuno sfasamento), il primo massimo si verifica esattamente a un quarto del suo periodo.
Il picco si verifica in \( x = \dfrac{\pi}{4} \).
Pertanto, \( \dfrac{1}{4} \times P = \dfrac{\pi}{4} \implies P = \pi \).
Usando la formula del periodo: \( \pi = \dfrac{2\pi}{B} \implies \mathbf{B = 2} \).

Conclusione:
\( A = 6, \quad B = 2, \quad D = 0 \)
L'equazione è \( \mathbf{f(x) = 6\sin(2x)} \).

1. Identifica i parametri costanti:
La traslazione verticale \( D \) e il moltiplicatore di frequenza \( B \) non cambiano tra le forme equivalenti di seno e coseno.
\( D = 5 \)
\( B = 4 \)

2. Gestisci il segno dell'ampiezza:
La funzione originale ha un'ampiezza negativa (\( -3 \)). Abbiamo bisogno di \( A > 0 \), quindi \( A = 3 \).
Per assorbire il segno negativo, possiamo usare la proprietà \( -\sin(\theta) = \sin(\theta \pm \pi) \).
Aggiungiamo \( \pi \) all'interno:
\( y = 3 \sin\left(4x - \dfrac{\pi}{2} + \pi\right) + 5 \)
\( y = 3 \sin\left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 5 \)

3. Converti dal seno al coseno:
Usa l'identità di co-funzione: \( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).
Sostituisci l'intera espressione interna come \( \theta \):
\( y = 3 \cos\left( \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) + 5 \)
I termini \( \dfrac{\pi}{2} \) e \( -\dfrac{\pi}{2} \) si eliminano a vicenda perfettamente.

Conclusione:
La funzione equivalente semplificata è: \[ \mathbf{y = 3 \cos(4x) + 5} \]