Problemi di geometria con soluzioni per il 12º anno

Il triangolo $ABC$ ha due lati di uguale lunghezza e pertanto è un triangolo isoscele con base $AC$. La misura dell'angolo $\angle BAC$ è data da:

$$ \angle BAC = \dfrac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ $$

L'angolo $\angle BOC$ è un angolo al centro e $\angle BAC$ è un angolo alla circonferenza, ed entrambi gli angoli intercettano lo stesso arco $BC$. Secondo il teorema dell'angolo alla circonferenza:

$$ \text{Misura di } \angle BOC = 2 \times \text{Misura di } \angle BAC = 2 \times 72^\circ = \mathbf{144^\circ} $$

Siano $R_1, R_2$ e $R_3$ i raggi dei cerchi $C_1, C_2$ e $C_3$ con $R_1 = R_2 = R$.

Sia $C_3O$ la distanza verticale dal centro di $C_3$ al segmento di retta orizzontale che collega i centri $C_1$ e $C_2$. Da ciò: $$ h = C_3O + R \quad (I) $$

Applica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $C_3 O C_1$: $$ C_3O^2 + \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = (R + R_3)^2 $$

Risolvi rispetto a $C_3O$: $$ C_3O = \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} $$

Usando l'equazione (I), sostituiamo $C_3O$ per ottenere l'altezza finale $h$: $$ \mathbf{h = R + \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2}} $$

Siano $r, R_2$ e $R_3$ i raggi rispettivamente dei cerchi $C_1, C_2$ e $C_3$, con $R_2 = R_3 = R$. Nota che $r = 10$ cm.

Applica il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $M C_1 C_3$: $$ C_1C_3^2 = MC_3^2 + MC_1^2 \quad (I) $$

Dalla geometria della figura, possiamo sostituire le lunghezze dei lati con i loro equivalenti in termini di raggio: $C_1C_3 = r + R$ $MC_3 = R$ $MC_1 = R - r$

Sostituisci questi valori nell'equazione (I): $$ (r + R)^2 = R^2 + (R - r)^2 $$

Sviluppa e semplifica l'equazione: $$ r^2 + 2rR + R^2 = R^2 + R^2 - 2rR + r^2 $$ $$ 2rR = R^2 - 2rR $$ $$ 4rR = R^2 $$

Poiché $R > 0$, dividi entrambi i lati per $R$: $$ R = 4r $$

Sostituisci $r = 10$ cm: $$ \mathbf{R = 4(10) = 40 \text{ cm}} $$

Gli angoli $\angle BtA$ e $\angle CtD$ sono angoli opposti al vertice e pertanto: $$ \angle BtA = 90^\circ $$

Poiché $\angle BtA = 90^\circ$ ed è un angolo alla circonferenza, $AB$ deve essere il diametro del cerchio (per il converso del teorema di Talete).

Poiché $CD$ è parallelo ad $AB$, il triangolo $BtA$ e il triangolo $CtD$ sono triangoli simili. La proporzionalità delle loro altezze e basi corrispondenti dà: $$ \dfrac{3}{5} = \dfrac{AB}{x} $$

Risolvi rispetto al diametro $AB$: $$ AB = \dfrac{3x}{5} $$

Il raggio è la metà del diametro: $$ \text{Raggio} = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{3x}{10} $$

Infine, calcola l'area del cerchio: $$ \text{Area} = \pi \times \text{Raggio}^2 = \pi \left(\dfrac{3x}{10}\right)^2 = \mathbf{0.09\pi x^2} $$

Dividiamo il quadrato grande in quattro quadrati più piccoli tracciando linee orizzontali e verticali passanti per il centro.

Consideriamo un quadratino (ad esempio, quello in basso a sinistra). Questo quadrato ha un lato di lunghezza $2x$ (la metà di $4x$). Una parte di questo quadrato è colorata, mentre l'altra parte è bianca (non colorata). La parte colorata è delimitata da un quarto di cerchio. Concentriamoci prima sulla parte bianca.

L'area dell'angolo non colorato (bianco) in un quadratino è l'area del quadratino meno l'area del quarto di cerchio: $$ \text{Area di una regione bianca} = (2x)^2 - \dfrac{1}{4}\pi(2x)^2 = 4x^2 - \pi x^2 $$

Osservando l'intero quadrato grande, ci sono 8 regioni bianche identiche (2 in ciascuno dei 4 quadratini).

L'area $A$ della parte colorata dell'intera figura è l'area totale del quadrato grande meno le 8 aree non colorate: $$ A = (4x)^2 - 8 \left[ (2x)^2 - \dfrac{1}{4}\pi(2x)^2 \right] $$ $$ A = 16x^2 - 8 \left[ 4x^2 - \pi x^2 \right] $$ $$ A = 16x^2 - 32x^2 + 8\pi x^2 $$ $$ A = 8\pi x^2 - 16x^2 $$ $$ \mathbf{A = 16x^2 \left( \dfrac{\pi}{2} - 1 \right)} $$

Traccia un raggio fino al punto di tangenza (che forma un angolo retto) e un raggio fino all'estremità della corda. Questo forma un triangolo rettangolo.

Il triangolo rettangolo ha un'ipotenusa di lunghezza $R$, un cateto di lunghezza $r$, e il secondo cateto è esattamente la metà della lunghezza della corda ($20 / 2 = 10$ mm). Usa il teorema di Pitagora:

$$ R^2 = r^2 + 10^2 \quad (I) $$ $$ R^2 - r^2 = 100 $$

L'area $A$ della corona circolare si trova sottraendo l'area del cerchio piccolo da quella del cerchio grande: $$ A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \quad (II) $$

Sostituisci $R^2 - r^2 = 100$ nella formula dell'area: $$ \mathbf{A = 100\pi \text{ mm}^2} $$

L'area di un parallelogramma può essere calcolata usando il modulo del prodotto vettoriale tra i vettori $\mathbf{AB}$ e $\mathbf{AD}$:

$$ \text{Area} = | \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} | $$

Innanzitutto, calcola i vettori dai punti dati $A(-2, -2), B(2, b), D(4, 2)$: $$ \mathbf{AB} = \langle 2 - (-2), b - (-2), 0 \rangle = \langle 4, b + 2, 0 \rangle $$ $$ \mathbf{AD} = \langle 4 - (-2), 2 - (-2), 0 \rangle = \langle 6, 4, 0 \rangle $$

Calcola la forma a determinante del prodotto vettoriale: $$ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & b+2 & 0 \\ 6 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}((4)(4) - (6)(b+2)) $$ $$ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = (16 - 6b - 12)\mathbf{k} = (4 - 6b)\mathbf{k} $$

Prendendo il modulo e ponendolo uguale a 80: $$ |4 - 6b| = 80 $$ $$ 4 - 6b = 80 \quad \text{oppure} \quad 4 - 6b = -80 $$ $$ -6b = 76 \implies b = -\dfrac{38}{3} $$ $$ -6b = -84 \implies b = 14 $$

Poiché il punto $B(2, b)$ si trova chiaramente nel primo quadrante sul grafico, scegliamo $b = 14$.

Poiché $ABCD$ è un parallelogramma, i vettori opposti sono uguali: $\mathbf{AB} = \mathbf{DC}$. $$ \mathbf{AB} = \langle 4, 14 + 2, 0 \rangle = \langle 4, 16, 0 \rangle $$ $$ \mathbf{DC} = \langle c - 4, d - 2, 0 \rangle $$

Uguagliando le componenti corrispondenti: $c - 4 = 4 \implies c = 8$ $d - 2 = 16 \implies d = 18$

Conclusione: $$ \mathbf{b = 14, \; c = 8, \; d = 18} $$

Ci sono 3 triangoli rettangoli. Usa il teorema di Pitagora per scrivere un'equazione per ciascuno:

$$ y^2 + z^2 = 12^2 \quad (I) $$ $$ x^2 + z^2 = 9^2 \quad (II) $$ $$ (x + y)^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \quad (III) $$

Risolvi l'equazione (III) estraendo la radice quadrata (poiché le lunghezze devono essere positive): $$ x + y = 15 $$

Sottrai l'equazione (II) dall'equazione (I) per eliminare $z^2$: $$ (y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) = 144 - 81 $$ $$ y^2 - x^2 = 63 $$

Scomponi la differenza di quadrati: $$ (y - x)(y + x) = 63 $$

Sostituisci $x + y = 15$ nell'equazione scomposta: $$ (y - x)(15) = 63 \implies y - x = \dfrac{63}{15} = \dfrac{21}{5} $$

Ora, risolvi il sistema di equazioni lineari: $$ y + x = 15 = \dfrac{75}{5} $$ $$ y - x = \dfrac{21}{5} $$ Sommandole si ottiene: $2y = \dfrac{96}{5} \implies \mathbf{y = \dfrac{48}{5}}$. Sottraendole si ottiene: $2x = \dfrac{54}{5} \implies \mathbf{x = \dfrac{27}{5}}$.

Usa l'equazione (I) per trovare $z$: $$ \left(\dfrac{48}{5}\right)^2 + z^2 = 144 \implies z^2 = 144 - \dfrac{2304}{25} = \dfrac{3600 - 2304}{25} = \dfrac{1296}{25} $$ $$ \mathbf{z = \dfrac{36}{5}} $$

Dividi il rettangolo in 4 rettangoli più piccoli tracciando linee verticali e orizzontali passanti per il punto interno.

Applica il teorema di Pitagora ai quattro triangoli rettangoli formati agli angoli (sia i cateti $a, b, c, d$ come mostrato nel diagramma):

$$ a^2 + c^2 = 4^2 \quad (I) \text{ (In alto a sinistra)} $$ $$ b^2 + c^2 = x^2 \quad (II) \text{ (In basso a sinistra)} $$ $$ b^2 + d^2 = 5^2 \quad (III) \text{ (In basso a destra)} $$ $$ a^2 + d^2 = 6^2 \quad (IV) \text{ (In alto a destra)} $$

Sottrai l'equazione (II) da (I): $$ a^2 - b^2 = 4^2 - x^2 $$

Sottrai l'equazione (III) da (IV): $$ a^2 - b^2 = 6^2 - 5^2 $$

Poni le due espressioni per $(a^2 - b^2)$ uguali tra loro: $$ 4^2 - x^2 = 6^2 - 5^2 $$ $$ 16 - x^2 = 36 - 25 $$ $$ 16 - x^2 = 11 $$ $$ x^2 = 5 $$ $$ \mathbf{x = \sqrt{5}} $$

Per simmetria, la regione colorata può essere divisa in due metà uguali, destra e sinistra. Calcoliamo l'area della metà sinistra.

La metà sinistra della regione di sovrapposizione è l'area del settore circolare $BOC$ meno l'area del triangolo $BOC$. Poiché la distanza tra i centri è $6$, la lunghezza di $OM$ (metà della distanza) è $3$.

Il triangolo $BOM$ è un triangolo rettangolo, quindi possiamo trovare l'angolo $BOM$: $$ \cos(\angle BOM) = \dfrac{OM}{OB} = \dfrac{3}{4} $$ $$ \angle BOM = \arccos(0.75) $$

L'angolo al centro completo $BOC$ è il doppio di $\angle BOM$. Pertanto:

1. Area del settore $BOC = \dfrac{1}{2} (2 \angle BOM) r^2$ (in radianti)

2. Area del triangolo $BOC = \dfrac{1}{2} \sin(2 \angle BOM) r^2$

L'area totale colorata è il doppio della metà sinistra: $$ \text{Area Totale} = 2 \left[ \dfrac{1}{2}(2 \angle BOM)r^2 - \dfrac{1}{2}\sin(2 \angle BOM)r^2 \right] $$ $$ \text{Area Totale} = r^2 \left( 2 \angle BOM - \sin(2 \angle BOM) \right) $$

Sostituisci $r = 4$ e $\angle BOM = \arccos(0.75)$: $$ \text{Area Totale} = 4^2 \left( 2\arccos(0.75) - \sin(2\arccos(0.75)) \right) $$ $$ \text{Area Totale} = 16 \left( 1.445 - 0.992 \right) \approx \mathbf{7.25 \text{ unità quadrate}} $$

1. Identifica il teorema:
Questo problema richiede il teorema delle corde che si intersecano. Esso afferma che quando due corde si intersecano all'interno di un cerchio, il prodotto dei segmenti di una corda è uguale al prodotto dei segmenti dell'altra corda.

2. Imposta l'equazione:
$$ AP \times PB = CP \times PD $$

3. Sostituisci e risolvi:
$$ 4 \times 6 = 3 \times PD $$ $$ 24 = 3 \times PD $$ $$ \mathbf{PD = 8} $$

1. Scomponi l'esagono:
Un esagono regolare inscritto in un cerchio può essere diviso in esattamente 6 triangoli equilateri identici tracciando linee dal centro del cerchio ai 6 vertici. Poiché è un esagono regolare, la lunghezza del lato dell'esagono è esattamente uguale al raggio del cerchio circoscritto ($s = R = 10$).

2. Area di un triangolo equilatero:
La formula per l'area di un triangolo equilatero con lato $s$ è: $$ A_{\text{triangolo}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2 $$ Sostituisci $s = 10$: $$ A_{\text{triangolo}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(100) = 25\sqrt{3} $$

3. Area totale:
Moltiplica per i 6 triangoli che compongono l'esagono: $$ A_{\text{totale}} = 6 \times 25\sqrt{3} = \mathbf{150\sqrt{3}} $$

1. Identifica il teorema:
Per trovare la lunghezza di una mediana conoscendo tutti e tre i lati di un triangolo, utilizziamo il teorema di Apollonio, che mette in relazione la lunghezza di una mediana con le lunghezze dei suoi lati: $$ AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) $$

2. Determina i segmenti:
Poiché $AM$ è una mediana, $M$ divide $BC$ esattamente a metà. $$ BM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{9}{2} = 4.5 $$

3. Sostituisci e risolvi:
$$ 7^2 + 8^2 = 2\left(AM^2 + 4.5^2\right) $$ $$ 49 + 64 = 2(AM^2 + 20.25) $$ $$ 113 = 2AM^2 + 40.5 $$ $$ 72.5 = 2AM^2 $$ $$ AM^2 = 36.25 = \dfrac{145}{4} $$ $$ \mathbf{AM = \dfrac{\sqrt{145}}{2}} \approx 6.02 $$