Risolvi le equazioni esponenziali

Nota che 27, 9 e 3 possono essere scritti come potenze di 3 come segue:

$$ 27 = 3^3, \quad 9 = 3^2, \quad \text{e} \quad 3 = 3^1 $$

Usando quanto sopra e la formula per gli esponenti negativi $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$, riscriviamo l'equazione data:

$$ (3^3)^{2x} \cdot (3^{-2})^{x - 2} = (3^2)^{-x} \cdot (3^{-1})^{2 - x} $$

Ora usiamo la formula $(x^m)^n = x^{mn}$:

$$ 3^{6x} \cdot 3^{-2x + 4} = 3^{-2x} \cdot 3^{-2 + x} $$

Usa la formula $x^m \cdot x^n = x^{m + n}$ per combinare gli esponenti su ciascun lato:

$$ 3^{6x - 2x + 4} = 3^{-2x - 2 + x} $$

Semplifica gli esponenti per ottenere:

$$ 3^{4x + 4} = 3^{-x - 2} $$

Usiamo il fatto che una funzione esponenziale è una funzione iniettiva (uno-a-uno). Se $3^m = 3^n$, allora $m = n$. Possiamo uguagliare gli esponenti:

$$ 4x + 4 = -x - 2 $$

Risolvi quanto sopra rispetto a $x$:

$$ 5x = -6 \implies x = \dfrac{-6}{5} = -1.2 $$

Di seguito è mostrato il grafico del lato sinistro dell'equazione data quando viene scritto con il lato destro uguale a zero. L'intercetta con l'asse $x$ è un'approssimazione della soluzione analitica.

Nota che $\sqrt{16^x} = (16^x)^{1/2} = 16^{(1/2)x}$ e usalo per riscrivere l'equazione data:

$$ 16^{(1/2)x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 1} $$

Nota che $\dfrac{1}{2} = 2^{-1}$ e $16 = 2^4$. Usali per riscrivere l'equazione in base 2:

$$ (2^4)^{(1/2)x} = (2^{-1})^{x^2 - 1} $$

Usa la formula $(x^m)^n = x^{mn}$ per semplificare:

$$ 2^{2x} = 2^{-x^2 + 1} $$

Poiché le basi sono identiche, possiamo uguagliare gli esponenti:

$$ 2x = -x^2 + 1 $$

Riscrivi in forma quadratica standard e risolvi:

$$ x^2 + 2x - 1 = 0 $$

Usando la formula quadratica, $\Delta = 2^2 - 4(1)(-1) = 8$. Questo produce due soluzioni:

$$ x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.41 \quad \text{e} \quad x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.41 $$

Sia $u = 2^x$. Questo significa che $2^{-x} = \dfrac{1}{2^x} = \dfrac{1}{u}$. Riscrivi l'equazione in termini di $u$:

$$ u - \dfrac{6}{u} = 6 $$

$u$ non può essere zero (poiché $2^x > 0$). Moltiplica tutti i termini per $u$ e semplifica:

$$ u \left( u - \dfrac{6}{u} \right) = 6u $$ $$ u^2 - 6 = 6u $$ $$ u^2 - 6u - 6 = 0 $$

Risolvi l'equazione quadratica rispetto a $u$ usando la formula quadratica:

$$ u_1 = 3 + \sqrt{15} \quad \text{e} \quad u_2 = 3 - \sqrt{15} $$

Ora risolviamo rispetto a $x$ usando la sostituzione $u = 2^x$.

Prima equazione: $2^x = 3 + \sqrt{15}$

$$ \ln(2^x) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x \ln(2) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x = \dfrac{\ln(3 + \sqrt{15})}{\ln 2} \approx 2.78 $$

Seconda equazione: $2^x = 3 - \sqrt{15}$. Questa non ha soluzione perché $3 - \sqrt{15}$ è un numero negativo e $2^x$ deve essere strettamente positivo.

Prendi il logaritmo naturale ($\ln$) di entrambi i lati dell'equazione data:

$$ \ln(5^{x + 1}) = \ln(100 \cdot 3^x) $$

Usa le regole dei logaritmi per semplificare e abbassare gli esponenti:

$$ (x + 1) \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$

Sviluppa il lato sinistro e raggruppa tutti i termini contenenti $x$ su un lato:

$$ x \ln 5 + \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$ $$ x \ln 5 - x \ln 3 = \ln 100 - \ln 5 $$

Raccogli a fattor comune $x$ e risolvi:

$$ x (\ln 5 - \ln 3) = \ln 100 - \ln 5 $$ $$ x = \dfrac{\ln 100 - \ln 5}{\ln 5 - \ln 3} \approx 5.86 $$

Sia $u = e^x$, il che dà $e^{-x} = \dfrac{1}{u}$. Sostituisci questo nell'equazione:

$$ \dfrac{u - \dfrac{1}{u}}{2} = 3 $$

Moltiplica entrambi i lati per 2 e semplifica:

$$ u - \dfrac{1}{u} = 6 $$

Moltiplica l'intera equazione per $u$ per eliminare la frazione:

$$ u^2 - 1 = 6u \implies u^2 - 6u - 1 = 0 $$

Risolvi rispetto a $u$ usando la formula quadratica:

$$ u_1 = 3 + \sqrt{10} \quad \text{e} \quad u_2 = 3 - \sqrt{10} $$

Ora risostituisci $u = e^x$.

Prima equazione: $e^x = 3 + \sqrt{10}$

$$ \ln(e^x) = \ln(3 + \sqrt{10}) \implies x = \ln(3 + \sqrt{10}) \approx 1.82 $$

Seconda equazione: $e^x = 3 - \sqrt{10}$. Questa non ha soluzione poiché $3 - \sqrt{10} < 0$.

Prendi il logaritmo naturale ($\ln$) di entrambi i lati:

$$ \ln(3^{2 - 3x}) = \ln(4^{2x + 1}) $$

Usa le regole dei logaritmi per portare gli esponenti davanti:

$$ (2 - 3x)\ln 3 = (2x + 1)\ln 4 $$

Sviluppa entrambi i lati dell'equazione e raggruppa i termini con $x$:

$$ 2\ln 3 - 3x\ln 3 = 2x\ln 4 + \ln 4 $$ $$ 2\ln 3 - \ln 4 = 3x\ln 3 + 2x\ln 4 $$ $$ x(3\ln 3 + 2\ln 4) = 2\ln 3 - \ln 4 $$ $$ x = \dfrac{2\ln 3 - \ln 4}{3\ln 3 + 2\ln 4} \approx 0.13 $$

Nota che $9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2$. Riscrivi l'equazione data usando questo ed espandi $3^{x+1}$ come $3 \cdot 3^x$:

$$ (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x + 2 = 0 $$

Sia $u = 3^x$ e riscrivi l'equazione come un'equazione quadratica standard in $u$:

$$ u^2 - 3u + 2 = 0 $$

Risolvi rispetto a $u$ scomponendo in fattori:

$$ (u - 2)(u - 1) = 0 $$

Questo dà due soluzioni per $u$: $u_1 = 2$ e $u_2 = 1$. Ora sostituisci $3^x$.

Prima equazione: $3^x = 2$

$$ \ln(3^x) = \ln 2 \implies x \ln 3 = \ln 2 \implies x = \dfrac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0.63 $$

Seconda equazione: $3^x = 1$. L'unico esponente che produce 1 è 0, quindi $x = 0$.

1. Standardizza la base:
Esprimi $4^x$ come $(2^2)^x = (2^x)^2$. Espandi $2^{x+2}$ usando le regole degli esponenti: $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$.

$$ (2^x)^2 - 4(2^x) - 32 = 0 $$

2. Sostituisci:
Sia $u = 2^x$. L'equazione diventa una semplice equazione quadratica:

$$ u^2 - 4u - 32 = 0 $$

3. Scomponi in fattori e risolvi rispetto a $u$:
Abbiamo bisogno di due numeri che moltiplicati diano $-32$ e sommati diano $-4$. Questi sono $-8$ e $+4$.

$$ (u - 8)(u + 4) = 0 $$

Questo ci dà $u = 8$ oppure $u = -4$.

4. Risolvi rispetto a $x$:
Sostituisci $2^x$ al posto di $u$.

• Caso 1: $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies \mathbf{x = 3}$
• Caso 2: $2^x = -4$. Questa non ha soluzione poiché $2^x$ deve essere strettamente positivo.

L'unica soluzione è $\mathbf{x = 3}$.

Per un'equazione della forma $A^B = 1$, ci sono tre distinte condizioni matematiche in cui ciò è vero. Useremo una tabella per verificare sistematicamente tutti e tre i casi.

Condizione per $A^B = 1$	Applicazione a $x^{x^2 - 5x + 6} = 1$
Caso 1: La base è 1 ($A = 1$, $B$ può essere qualsiasi valore)	Poni la base uguale a 1: $x = 1$. (Verifica: $1^{(1-5+6)} = 1^2 = 1$. Valido.) Soluzione: $x = 1$
Caso 2: L'esponente è 0 ($B = 0$, $A \neq 0$)	Poni l'esponente uguale a 0: $x^2 - 5x + 6 = 0$ $(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. (Verifica delle basi: nessuna base è 0. Valido.) Soluzioni: $x = 2, x = 3$
Caso 3: La base è -1 ($A = -1$, e $B$ deve essere un numero intero pari)	Poni la base uguale a -1: $x = -1$. Ora verifica se l'esponente è pari quando $x = -1$: $B = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12$. Poiché 12 è pari, $(-1)^{12} = 1$. Valido. Soluzione: $x = -1$

Insieme delle soluzioni finali:
L'insieme completo delle soluzioni reali è $\mathbf{x \in \{-1, 1, 2, 3\}}$.

1. Combina il lato sinistro:
Poiché sia $2$ che $5$ sono elevati esattamente allo stesso esponente, possiamo usare la regola $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ per combinarli:

$$ (2 \cdot 5)^{3x} = 10000^{x-1} $$ $$ 10^{3x} = 10000^{x-1} $$

2. Crea una base comune:
Riconosci che $10000$ è una potenza di 10. Nello specifico, $10000 = 10^4$. Sostituisci questo nel lato destro:

$$ 10^{3x} = (10^4)^{x-1} $$

3. Distribuisci l'esponente:
Usa la regola delle potenze $(x^m)^n = x^{mn}$:

$$ 10^{3x} = 10^{4(x-1)} $$ $$ 10^{3x} = 10^{4x - 4} $$

4. Uguaglia e risolvi:
Poiché le basi sono uguali, gli esponenti devono essere uguali:

$$ 3x = 4x - 4 $$ $$ 3x - 4x = -4 $$ $$ -x = -4 \implies \mathbf{x = 4} $$