Domande sulle funzioni inverse con soluzioni

Di seguito è mostrato il grafico di $f(x) = 2 x^3 - 1$.
1) Disegna il grafico dell'inversa di $f$ nello stesso sistema di assi.
2) Trova l'inversa di $f$ e verifica la tua risposta usando alcuni punti.

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1) Soluzione grafica: Individua i punti le cui coordinate $(a, b)$ possono essere facilmente determinate dal grafico di $f$:
$$ (1 , 1), \quad (0 , -1), \quad (-1 , -3) $$

Sul grafico della funzione inversa, questi punti avranno coordinate scambiate $(b, a)$:
$$ (1 , 1), \quad (-1 , 0), \quad (-3 , -1) $$

Traccia i punti e disegna il grafico dell'inversa di $f$ in modo che i due grafici siano riflessi rispetto a $y = x$.

2) Soluzione analitica: Scrivi la funzione come un'equazione in due variabili:
$$ y = 2x^3 - 1 $$

Risolvi rispetto a $x$:
$$ 2x^3 = y + 1 $$
$$ x^3 = \dfrac{y + 1}{2} $$
$$ x = \sqrt[3]{\dfrac{y + 1}{2}} $$

Scambia $x$ e $y$ per scrivere la funzione inversa:
$$ f^{-1} (x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} $$

Verifica: Verifica che i punti $(-1, 0)$ e $(-3, -1)$ si trovino su $f^{-1}$:
$$ f^{-1} (-1) = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + 1}{2}} = 0 $$
$$ f^{-1} (-3) = \sqrt[3]{\dfrac{-3 + 1}{2}} = -1 $$
Entrambi i punti funzionano perfettamente.

Passo 1: Determina la corrispondenza tra dominio e insieme immagine.
Ci viene data una funzione quadratica con un dominio limitato: $x \leq 2$. Scriviamo la funzione in forma canonica completando il quadrato:
$$ f(x) = (x - 2)^2 + 1, \quad x \leq 2 $$

Il vertice è $(2, 1)$ e la parabola rivolge la sua concavità verso l'alto. Poiché il dominio ci limita alla metà sinistra ($x \leq 2$), l'insieme immagine di $f$ è $y \geq 1$.
Pertanto, per $f^{-1}$:
Dominio di $f^{-1}$: $[1, \infty)$
Insieme immagine di $f^{-1}$: $(-\infty, 2]$

Passo 2: Scrivi come equazione e risolvi rispetto a $x$.
$$ y = (x - 2)^2 + 1 $$
$$ (x - 2)^2 = y - 1 $$

Prendendo la radice quadrata si ottengono due soluzioni:
$$ x - 2 = \pm \sqrt{y - 1} $$
$$ x = 2 + \sqrt{y - 1} \quad \text{oppure} \quad x = 2 - \sqrt{y - 1} $$

Passo 3: Seleziona il ramo corretto usando il vincolo dell'insieme immagine.
Poiché l'insieme immagine dell'inversa deve essere $x \leq 2$ (dal dominio originale), dobbiamo selezionare il ramo con la radice quadrata negativa:
$$ x = 2 - \sqrt{y - 1} $$

Passo 4: Scambia $x$ e $y$.
$$ f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1} $$
Risposta finale: $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1}$ con dominio $[1, \infty)$ e insieme immagine $(-\infty, 2]$.

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1) Soluzione grafica: Individua alcuni punti sul grafico di $f(x)$. Un possibile elenco di coordinate $(a, b)$ è:
$$ (1.5, 0), \quad (2, 1), \quad (6, 3) $$

Scambia le coordinate in $(b, a)$ per il grafico dell'inversa:
$$ (0, 1.5), \quad (1, 2), \quad (3, 6) $$

Traccia questi punti per disegnare $f^{-1}$ riflettendo rispetto a $y = x$.

2) Soluzione analitica:
Impostazione di dominio e insieme immagine: Dal grafico (o algebricamente $2x-3 \geq 0$), il dominio di $f$ è $x \geq 1.5$ e l'insieme immagine è $y \geq 0$. Pertanto, il dominio di $f^{-1}$ sarà $x \geq 0$.

Scrivi come un'equazione:
$$ y = \sqrt{2x - 3} $$

Eleva al quadrato entrambi i lati e risolvi rispetto a $x$:
$$ y^2 = 2x - 3 $$
$$ 2x = y^2 + 3 $$
$$ x = \dfrac{y^2 + 3}{2} $$

Scambia $x$ e $y$ e applica il vincolo di dominio:
$$ f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2}, \quad x \geq 0 $$

Disegna il grafico di $f^{-1}$ utilizzando il grafico dato di $y = f(x)$ e determina la sua equazione in modo analitico.

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1) Soluzione grafica: Estrai i vertici chiave dalla funzione a tratti $f(x)$:
$$ (0 , 3) , \quad (2 , -1) , \quad (5 , -3) $$

Scambia le coordinate per trovare i vertici di $f^{-1}(x)$:
$$ (3 , 0) , \quad (-1 , 2) , \quad (-3 , 5) $$

2) Determinazione analitica di $f^{-1}(x)$: Dobbiamo trovare le equazioni dei due segmenti lineari per il grafico inverso.

Segmento 1: Tra i valori di $x$ compresi tra $-3$ e $-1$. Passa per $(-3, 5)$ e $(-1, 2)$.
Coefficiente angolare $m_1$:
$$ m_1 = \dfrac{5 - 2}{-3 - (-1)} = \dfrac{3}{-2} = -\dfrac{3}{2} $$
Equazione (usando la forma punto-pendenza con $(-1,2)$):
$$ y - 2 = -\dfrac{3}{2}(x - (-1)) \Rightarrow y = -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 $$

Segmento 2: Tra i valori di $x$ compresi tra $-1$ e $3$. Passa per $(-1, 2)$ e $(3, 0)$.
Coefficiente angolare $m_2$:
$$ m_2 = \dfrac{0 - 2}{3 - (-1)} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} $$
Equazione (usando la forma punto-pendenza con $(3,0)$):
$$ y - 0 = -\dfrac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}(x - 3) $$
(Nota: Questo è algebricamente equivalente a $-\dfrac{1}{2}(x+1)+2$).

Conclusione (Inversa a tratti):
$$ f^{-1}(x) = \begin{cases} -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 & -3 \leq x \leq -1 \\ -\dfrac{1}{2}(x - 3) & -1 < x \leq 3 \end{cases} $$

Passo 1: Determina il dominio e l'insieme immagine.
$f(x)$ è definita se il radicando è $\geq 0$ e il denominatore $\neq 0$:
$$ \dfrac{2}{x} - 1 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{2 - x}{x} \geq 0 $$
Analizzando i segni ai valori critici $x=0$ e $x=2$ si ottiene il dominio:
Dominio di $f$: $(0, 2]$

Poiché il radicale restituisce un numero positivo (o zero) ed è moltiplicato per un segno negativo, l'insieme immagine è costituito da tutti i numeri non positivi.
Insieme immagine di $f$: $(-\infty, 0]$

Pertanto, per la funzione inversa:
Dominio di $f^{-1}$: $(-\infty, 0]$
Insieme immagine di $f^{-1}$: $(0, 2]$

Passo 2: Traccia il grafico.
Punti su $f$: $(2 , 0)$ e $(1 , -1)$.
Punti su $f^{-1}$: $(0 , 2)$ e $(-1 , 1)$.

Passo 3: Trova $f^{-1}(x)$ in modo analitico.
$$ y = -\sqrt{\dfrac{2}{x} - 1} $$

Eleva al quadrato entrambi i lati (questo richiede di tracciare il nostro dominio per evitare soluzioni estranee):
$$ y^2 = \dfrac{2}{x} - 1 $$
$$ \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 $$
$$ x = \dfrac{2}{y^2 + 1} $$

Scambia $x$ e $y$ e indica la restrizione di dominio richiesta:
$$ f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1}, \quad x \leq 0 $$

Di seguito sono mostrati i grafici di 6 funzioni. Disegna il grafico dell'inversa di ciascuna funzione.

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Soluzione: Per ciascun grafico, seleziona i punti le cui coordinate sono facili da determinare. Usa questi punti e il principio di riflessione rispetto alla retta $y = x$ per disegnare le funzioni inverse.

Passo 1: Determina il dominio e l'insieme immagine.
Affinché il logaritmo sia definito, l'argomento deve essere positivo: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
I logaritmi restituiscono tutti i numeri reali, quindi l'insieme immagine non ha restrizioni.
Dominio di $f$: $(-2, \infty)$
Insieme immagine di $f$: $(-\infty, \infty)$

Pertanto, per la funzione inversa:
Dominio di $f^{-1}$: $(-\infty, \infty)$
Insieme immagine di $f^{-1}$: $(-2, \infty)$

Passo 2: Risolvi algebricamente.
$$ y = \log_4(x + 2) - 5 $$
$$ \log_4(x + 2) = y + 5 $$

Converti in forma esponenziale:
$$ x + 2 = 4^{(y + 5)} $$
$$ x = 4^{(y + 5)} - 2 $$

Passo 3: Scambia $x$ e $y$.
$$ f^{-1}(x) = 4^{(x + 5)} - 2 $$

Se $f(x) = \ln(x) + 4x - 8$, qual è il valore di $f^{-1}(-4)$?

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Soluzione: Non abbiamo bisogno di trovare l'equazione completa dell'inversa. Sia $a = f^{-1}(-4)$. Usando la proprietà di composizione delle inverse, $f(f^{-1}(x)) = x$, sappiamo che:
$$ f(a) = f(f^{-1}(-4)) = -4 $$

Dobbiamo trovare un $a$ tale che $f(a) = -4$:
$$ \ln(a) + 4a - 8 = -4 $$
$$ \ln(a) = 4 - 4a $$

Questa equazione trascendente non può essere risolta puramente in modo algebrico, ma la sua soluzione può essere approssimata graficamente come la coordinata $x$ del punto di intersezione tra $y = \ln(x)$ e $y = 4 - 4x$.

L'intersezione si trova esattamente in $a = 1$. Possiamo verificarlo algebricamente:
$$ \ln(1) = 4 - 4(1) \Rightarrow 0 = 0 $$

Risposta finale:
$$ f^{-1}(-4) = 1 $$