Domande e risposte su logaritmi ed esponenti con soluzioni - 12º anno

Passo 1: Riscrivi l'equazione in modo che entrambi i lati abbiano la stessa base. Sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero elevato alla potenza di $0$ fa $1$:
$$ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x + 1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 $$

Passo 2: Uguaglia gli esponenti:
$$ 2x + 1 = 0 $$

Passo 3: Risolvi rispetto a $x$:
$$ 2x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2} $$

Risposta finale: $x = -\dfrac{1}{2}$

Passo 1: Dividi tutti i termini dell'equazione data per $x y$ (supponendo $x \neq 0$ e $y \neq 0$):
$$ \dfrac{x y^m}{x y} = \dfrac{y x^3}{x y} $$

Passo 2: Semplifica gli esponenti usando le regole del quoziente:
$$ y^{m - 1} = x^2 $$

Passo 3: Prendi il logaritmo naturale ($\ln$) di entrambi i lati per isolare l'esponente contenente $m$:
$$ \ln(y^{m - 1}) = \ln(x^2) $$

Passo 4: Applica la regola della potenza dei logaritmi ($ \ln(A^n) = n \ln A $):
$$ (m - 1) \ln y = 2 \ln x $$

Passo 5: Risolvi rispetto a $m$ (supponendo $\ln y \neq 0$, ovvero $y \neq 1$):
$$ m - 1 = \dfrac{2 \ln x}{\ln y} $$
$$ m = 1 + \dfrac{2 \ln x}{\ln y} $$

Passo 1: Usa la regola del prodotto dei logaritmi per scomporre $\log_4(10)$:
$$ \log_4(10) = \log_4(2 \cdot 5) = \log_4(2) + \log_4(5) $$

Passo 2: Semplifica il primo termine:
$$ \log_4(2) = \log_4(4^{1/2}) = \dfrac{1}{2} $$

Passo 3: Usa la formula del cambiamento di base sul secondo termine per collegarlo alla base 8 data:
$$ \log_4(5) = \dfrac{\log_8(5)}{\log_8(4)} $$

Passo 4: Sostituisci il valore noto $b$ e semplifica $\log_8(4)$:
Sappiamo che $\log_8(4) = \dfrac{2}{3}$ (perché $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$).
$$ \log_4(5) = \dfrac{b}{2/3} = \dfrac{3b}{2} $$

Passo 5: Unisci le parti:
$$ \log_4(10) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3b}{2} = \dfrac{1 + 3b}{2} $$

Passo 1: Semplifica il primo termine riconoscendo che $216 = 6^3$:
$$ \log_6(216) = \log_6(6^3) = 3 $$

Passo 2: Usa le regole del quoziente dei logaritmi per semplificare il numeratore della frazione:
$$ \log(42) - \log(6) = \log\left(\dfrac{42}{6}\right) = \log(7) $$

Passo 3: Riscrivi il denominatore usando gli esponenti:
$$ \log(49) = \log(7^2) = 2 \log(7) $$

Passo 4: Combina tutto nell'espressione originale:
$$ 3 + \dfrac{\log(7)}{2 \log(7)} $$

Passo 5: Semplifica $\log(7)$ e calcola il risultato finale:
$$ 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} = 3.5 $$

Passo 1: Converti gli esponenti negativi in frazioni all'interno delle parentesi:
$$ \left( \dfrac{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}}{6} \right)^{1/3} $$

Passo 2: Trova un denominatore comune per sottrarre le frazioni al numeratore:
$$ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{9} $$

Passo 3: Sostituisci e semplifica la frazione complessa:
$$ \left( \dfrac{\dfrac{2}{9}}{6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{2}{9 \cdot 6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{2}{54} \right)^{1/3} $$

Passo 4: Riduci la frazione e applica la radice cubica (potenza di $1/3$):
$$ \left( \dfrac{1}{27} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{1}{3^3} \right)^{1/3} = \dfrac{1}{3} $$

Passo 1: Usa la formula del cambiamento di base sul secondo termine per scriverlo in base $x$:
$$ \log_a b = \dfrac{\log_x b}{\log_x a} $$

Passo 2: Sostituisci questo nell'espressione originale:
$$ (\log_x a) \left( \dfrac{\log_x b}{\log_x a} \right) $$

Passo 3: Semplifica il termine comune $\log_x a$ (supponendo $a \neq 1, x \neq 1$):
$$ \log_x b $$

Passo 1: Sostituisci le coordinate $(x=e, y=2)$ nell'equazione:
$$ 2 = \log_a e $$

Passo 2: Riscrivi l'equazione logaritmica nella sua forma esponenziale:
$$ a^2 = e $$

Passo 3: Isola $a$. Prendi la radice quadrata (poiché le basi dei logaritmi devono essere positive, teniamo solo la radice positiva):
$$ a = e^{1/2} = \sqrt{e} $$

Passo 1: Usa la formula del cambiamento di base (convertendo entrambi in logaritmi naturali) per riscrivere l'equazione:
$$ \dfrac{\ln x}{\ln 3} = A \dfrac{\ln x}{\ln 5} $$

Passo 2: Poiché $x > 0$ e assumiamo $x \neq 1$ per risolvere per un'identità generale, $\ln x \neq 0$. Dividi entrambi i lati per $\ln x$:
$$ \dfrac{1}{\ln 3} = \dfrac{A}{\ln 5} $$

Passo 3: Moltiplica entrambi i lati per $\ln 5$ per isolare $A$:
$$ A = \dfrac{\ln 5}{\ln 3} $$

Passo 1: Parti dal logaritmo più esterno (base 10) e riscrivilo in forma esponenziale:
$$ \log(2 + \log_2(x + 1)) = 10^0 = 1 $$

Passo 2: Fallo di nuovo per il logaritmo successivo (base 10):
$$ 2 + \log_2(x + 1) = 10^1 = 10 $$

Passo 3: Isola il termine logaritmico rimanente:
$$ \log_2(x + 1) = 10 - 2 = 8 $$

Passo 4: Riscrivi in forma esponenziale (base 2):
$$ x + 1 = 2^8 $$

Passo 5: Risolvi rispetto a $x$:
$$ x = 256 - 1 = 255 $$

Verifica: Sostituendo 255 si ottengono argomenti positivi per tutti i logaritmi, quindi la soluzione è valida.

Passo 1: Concentrati sulla semplificazione del termine esponenziale. Usa la regola della potenza di una potenza al contrario: $a^{bc} = (a^b)^c$.
$$ b^{4 \log_b x} = \left(b^{\log_b x}\right)^4 $$

Passo 2: Usa la proprietà inversa $b^{\log_b x} = x$ per semplificare:
$$ \left(b^{\log_b x}\right)^4 = x^4 $$

Passo 3: Sostituisci questo nell'equazione originale:
$$ 2x \cdot x^4 = 486 $$

Passo 4: Semplifica e risolvi rispetto a $x$:
$$ 2x^5 = 486 $$
$$ x^5 = 243 $$
$$ x = 243^{1/5} = \sqrt[5]{243} = 3 $$

Passo 1: Determina il dominio.
Tutti gli argomenti dei logaritmi devono essere strettamente positivi:
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0.5$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
L'intersezione di queste condizioni è $x > 1$. Pertanto, il dominio è $(1, \infty)$.

Passo 2: Usa le regole della potenza e del prodotto dei logaritmi per condensare entrambi i lati:
$$ \ln((x - 1)(2x - 1)) = \ln((x + 1)^2) $$

Passo 3: Poiché il logaritmo naturale è iniettivo, possiamo eliminare i logaritmi eguagliando gli argomenti:
$$ (x - 1)(2x - 1) = (x + 1)^2 $$

Passo 4: Sviluppa entrambi i lati:
$$ 2x^2 - 3x + 1 = x^2 + 2x + 1 $$

Passo 5: Raggruppa i termini e risolvi l'equazione quadratica:
$$ x^2 - 5x = 0 $$
$$ x(x - 5) = 0 $$
Soluzioni: $x = 0$ e $x = 5$.

Passo 6: Verifica rispetto al dominio.
$x = 0$ non è maggiore di 1, quindi crea argomenti negativi (soluzione estranea). Solo $x = 5$ rientra nel dominio.
Risposta finale: $x = 5$

Passo 1: Determina il dominio.
All'interno della radice quadrata: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
All'interno del logaritmo: $\sqrt{x - 1} - 2 > 0 \Rightarrow \sqrt{x - 1} > 2 \Rightarrow x - 1 > 4 \Rightarrow x > 5$.
Il dominio è $x > 5$.

Passo 2: L'intercetta con l'asse $x$ si verifica quando $y = 0$:
$$ 0 = 2 \log(\sqrt{x - 1} - 2) $$

Passo 3: Dividi per 2 e riscrivi in forma esponenziale (base 10):
$$ \log(\sqrt{x - 1} - 2) = 0 $$
$$ \sqrt{x - 1} - 2 = 10^0 = 1 $$

Passo 4: Isola la radice quadrata e risolvi rispetto a $x$:
$$ \sqrt{x - 1} = 3 $$
$$ x - 1 = 3^2 = 9 $$
$$ x = 10 $$

Passo 5: Verifica.
$x = 10$ è strettamente maggiore di 5, quindi è nel dominio.
Risposta finale: L'intercetta con l'asse $x$ si trova in $(10, 0)$.

Passo 1: Riconosci che questa è un'equazione quadratica camuffata. Riscrivi $9^x$ in termini di base 3:
$$ 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 $$
Quindi, l'equazione diventa:
$$ (3^x)^2 - 3^x - 8 = 0 $$

Passo 2: Sia $y = 3^x$ e riscrivi l'equazione:
$$ y^2 - y - 8 = 0 $$

Passo 3: Risolvi rispetto a $y$ usando la formula quadratica ($a=1, b=-1, c=-8$):
$$ y = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} $$
$$ y = \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{2} $$

Passo 4: Risostituisci $y = 3^x$. Poiché una funzione esponenziale $3^x$ deve essere strettamente positiva, dobbiamo scartare la radice negativa $\left(\dfrac{1 - \sqrt{33}}{2}\right)$.
$$ 3^x = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} $$

Passo 5: Prendi il logaritmo naturale ($\ln$) di entrambi i lati per risolvere rispetto a $x$:
$$ \ln(3^x) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x \ln(3) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x = \dfrac{ \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) }{ \ln(3) } $$

Passo 1: Prendi il logaritmo naturale ($\ln$) di entrambi i lati:
$$ \ln\left(4^{x - 2}\right) = \ln\left(3^{x + 4}\right) $$

Passo 2: Abbassa gli esponenti usando la regola della potenza:
$$ (x - 2)\ln(4) = (x + 4)\ln(3) $$

Passo 3: Sviluppa entrambi i lati:
$$ x \ln(4) - 2 \ln(4) = x \ln(3) + 4 \ln(3) $$

Passo 4: Raggruppa i termini contenenti $x$ da un lato e le costanti dall'altro:
$$ x \ln(4) - x \ln(3) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$

Passo 5: Raccogli $x$ a fattor comune e risolvi:
$$ x (\ln(4) - \ln(3)) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$
$$ x = \dfrac{4 \ln(3) + 2 \ln(4)}{\ln(4) - \ln(3)} $$

Passo 6 (Opzionale): Condensa il logaritmo per una risposta finale più pulita:
Numeratore: $\ln(3^4) + \ln(4^2) = \ln(81) + \ln(16) = \ln(81 \cdot 16) = \ln(1296)$. Nota: $1296 = 6^4$, quindi questo è $4\ln(6)$.
Denominatore: $\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)$.
$$ x = \dfrac{4 \ln(6)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} $$

Passo 1: Riscrivi l'equazione logaritmica in forma esponenziale:
$$ x^{-3/4} = \dfrac{1}{8} $$

Passo 2: Per isolare $x$, eleva entrambi i lati dell'equazione alla potenza del reciproco, $-\dfrac{4}{3}$:
$$ \left(x^{-3/4}\right)^{-4/3} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-4/3} $$
$$ x^1 = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-4/3} $$

Passo 3: Semplifica il lato destro. L'esponente negativo inverte la frazione:
$$ x = 8^{4/3} $$

Passo 4: Valuta $8^{4/3}$ (prima la radice cubica, poi la quarta potenza):
$$ x = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16 $$

Risposta finale: $x = 16$