Domande sui grafici di polinomi con soluzioni

Impara a usare le proprietà dei grafici di polinomi per identificare e abbinare i polinomi alle loro equazioni. Queste domande di matematica per il 12º anno offrono soluzioni dettagliate e interpretazioni grafiche incentrate su radici, molteplicità e comportamento agli estremi.

Proprietà chiave dei grafici di polinomi

Comportamento agli estremi (Grado pari): Se il coefficiente guida $a > 0$, entrambi gli estremi salgono. Se $a < 0$, entrambi gli estremi scendono.

Comportamento agli estremi (Grado dispari): Se $a > 0$, il lato sinistro scende e il destro sale. Se $a < 0$, il lato sinistro sale e il destro scende.

Molteplicità 1: Il grafico attraversa l'asse x intersecandolo direttamente.

Molteplicità pari (2, 4, 6...): Il grafico tocca l'asse x e inverte la direzione (tangente).

Molteplicità dispari > 1 (3, 5...): Il grafico attraversa l'asse x ma si appiattisce mentre lo attraversa.

🔍 Controllo analitico: L'intercetta con l'asse y

Quando abbini un grafico a un'equazione, verifica sempre l'intercetta con l'asse y calcolando $p(0)$. Il termine noto del polinomio sviluppato indica immediatamente dove il grafico deve intersecare l'asse y, il che rappresenta spesso il modo più rapido per eliminare le opzioni errate.

Domande: Associa e identifica i polinomi

Domanda 1: Elimina i grafici errati

Fornisci quattro motivi differenti per cui il grafico sottostante non può assolutamente essere il grafico della funzione polinomiale $$ p(x) = x^4-x^2+1 $$

grafico del polinomio nella domanda 1

Soluzione: I quattro motivi sono:

  1. Simmetria: La funzione polinomiale data $p(x) = x^4-x^2+1$ contiene solo potenze pari, il che la rende una funzione pari. Pertanto, il suo grafico deve essere simmetrico rispetto all'asse y. Il grafico fornito non è simmetrico rispetto all'asse y.
  2. Zeri reali: Il polinomio $p(x)$ può essere analizzato sostituendo $u = x^2$. Il discriminante di $u^2 - u + 1$ è $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$. Poiché il discriminante è negativo, il polinomio non ha zeri reali. Tuttavia, il grafico fornito mostra chiaramente delle intercette con l'asse x.
  3. Intercetta con l'asse y: L'intercetta con l'asse y si calcola valutando $p(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1$, che è positiva. L'intercetta con l'asse y del grafico fornito è chiaramente negativa.
  4. Comportamento agli estremi: Avendo un coefficiente guida positivo ($a = 1$) e un grado pari ($n = 4$), il polinomio deve avere un grafico in cui entrambi i lati (sinistro e destro) salgono ($y \to \infty$). Nel grafico fornito, entrambi i lati scendono.
Domanda 2: Associa le equazioni a grafici complessi

Associa le funzioni polinomiali ai loro grafici in cui vengono mostrate tutte le intercette con l'asse x.

$$ f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2 $$

$$ g(x) = -(x+1)(x-1)^4 $$

$$ h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3) $$

$$ i(x) = (x+1)^2(x-2)^3 $$

$$ j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2 $$

$$ k(x) = -(x+1)^2(x-1)^2(x-3) $$

grafico del polinomio nella domanda 2

Soluzione:

In base alle loro equazioni, tutte e 6 le funzioni polinomiali date sono di grado 5 (somma degli esponenti dei fattori). Tuttavia, i loro coefficienti guida hanno segni differenti. Classifichiamo i polinomi in due gruppi:

Gruppo I: Coefficienti guida positivi

I polinomi $f$, $h$ e $i$ hanno coefficienti guida positivi.

$$ f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 $$

$$ h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) $$

$$ i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 $$

Avendo grado 5 (dispari) e coefficienti guida positivi, questi grafici presentano il seguente comportamento agli estremi:
Mentre $x \to \infty$, $y \to \infty$ (il lato destro sale).
Mentre $x \to -\infty$, $y \to -\infty$ (il lato sinistro scende).

I grafici forniti alle lettere a), c) ed e) corrispondono a questo comportamento. Li abbiniamo usando le loro radici e molteplicità:

  1. Il polinomio $f(x)$ ha uno zero di molteplicità 1 in $x = -1$ (attraversa), molteplicità 2 in $x = 1$ (tocca) e molteplicità 2 in $x = -2$ (tocca). Questo corrisponde al grafico e).
  2. Il polinomio $h(x)$ ha uno zero di molteplicità 1 in $x = -1$ (attraversa), molteplicità 3 in $x = 1$ (attraversa e si appiattisce) e molteplicità 1 in $x = 3$ (attraversa). Questo corrisponde al grafico a).
  3. Il polinomio $i(x)$ ha uno zero di molteplicità 2 in $x = -1$ (tocca) e molteplicità 3 in $x = 2$ (attraversa e si appiattisce). Questo corrisponde al grafico c).

Gruppo II: Coefficienti guida negativi

I polinomi $g$, $j$ e $k$, se sviluppati, presentano coefficienti guida negativi (Nota: per $j(x)$, il termine $(1-x)$ genera il coefficiente negativo).

$$ g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 $$

$$ j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 $$

$$ k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) $$

Avendo grado 5 (dispari) e coefficienti guida negativi, questi grafici presentano il seguente comportamento agli estremi:
Mentre $x \to \infty$, $y \to -\infty$ (il lato destro scende).
Mentre $x \to -\infty$, $y \to \infty$ (il lato sinistro sale).

I grafici forniti alle lettere b), d) ed f) corrispondono a questo comportamento. Li abbiniamo usando le loro radici:

  1. Il polinomio $g(x)$ ha uno zero di molteplicità 1 in $x = -1$ (attraversa) e molteplicità 4 in $x = 1$ (tocca). Questo corrisponde al grafico f).
  2. Il polinomio $j(x)$ ha uno zero di molteplicità 2 in $x = -1$ (tocca), molteplicità 1 in $x = 1$ (attraversa) e molteplicità 2 in $x = 2$ (tocca). Questo corrisponde al grafico d).
  3. Il polinomio $k(x)$ ha uno zero di molteplicità 2 in $x = -1$ (tocca), molteplicità 2 in $x = 1$ (tocca) e molteplicità 1 in $x = 3$ (attraversa). Questo corrisponde al grafico b).

Problemi di sfida per ulteriore pratica

Metti alla prova la tua comprensione del comportamento agli estremi, delle molteplicità e della rappresentazione grafica dei polinomi:

  1. Sfida 1: Un polinomio di grado 4 ha una radice doppia in $x=2$, una radice semplice in $x=-1$ e una radice semplice in $x=4$. La sua intercetta con l'asse y si trova in $(0, 16)$. Scrivi l'equazione del polinomio in forma fattorizzata.
  2. Sfida 2: Determina il comportamento agli estremi del polinomio $P(x) = -3x^2(x-4)^3(2x+1)^2$. (Suggerimento: Quali sono il grado e il coefficiente guida?)
  3. Sfida 3: Vero o Falso: Se il grafico di un polinomio attraversa l'asse x in $x=c$ senza appiattirsi, il fattore $(x-c)$ deve avere una molteplicità esattamente pari a 1.
Clicca qui per rivelare le risposte finali
  • Risposta 1: $P(x) = -1(x-2)^2(x+1)(x-4)$. (Il coefficiente $a=-1$ si trova ponendo $P(0) = a(-2)^2(1)(-4) = -16a = 16$).
  • Risposta 2: Il grado è $2 + 3 + 2 = 7$ (dispari). Il coefficiente guida è negativo ($-3 \times 1^3 \times 2^2 = -12$). Pertanto, mentre $x \to -\infty$, $y \to \infty$; e mentre $x \to \infty$, $y \to -\infty$.
  • Risposta 3: Vero. Una molteplicità pari a 3 o superiore (dispari) attraversa l'asse ma si appiattisce visibilmente (punto di flesso) in corrispondenza della radice.

Link e riferimenti