Problemi sulle rette nello spazio 3D con soluzioni dettagliate

Scrivi l'equazione della retta data in forma vettoriale da $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -2, 3, 0 \rangle + t \langle 3, 2, 5 \rangle $$ in forma parametrica e simmetrica.

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Soluzione:

L'uguaglianza delle componenti vettoriali dell'equazione vettoriale precedente fornisce la forma parametrica:

$$ x = -2 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 0 + 5t $$

Risolvi rispetto a $t$ da ciascuna delle precedenti:

$$ t = \frac{x + 2}{3}, \quad t = \frac{y - 3}{2}, \quad t = \frac{z}{5} $$

Tutte uguali a $t$, quindi la forma simmetrica dell'equazione:

$$ \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z}{5} $$

Trova la forma simmetrica dell'equazione della retta passante per il punto $P(1, -2, 3)$ e parallela al vettore $\vec{n} = \langle 2, 0, -3 \rangle$.

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Soluzione:

Equazione vettoriale: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 2, 0, -3 \rangle $$

Uguaglianza delle componenti vettoriali: $$ x = 1 + 2t, \quad y = -2, \quad z = 3 - 3t $$

Risolvi rispetto a $t$: $$ t = \frac{x - 1}{2}, \quad t = \frac{z - 3}{-3} $$

Poiché la direzione lungo $y$ è $0$, $y$ è costantemente $-2$. La forma simmetrica è:

$$ \frac{x - 1}{2} = \frac{z - 3}{-3}, \quad y = -2 $$

Trova le equazioni parametriche della retta passante per i due punti $P(1, 2, 3)$ e $Q(0, -2, 1)$.

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Soluzione:

Vettore direttore $\vec{PQ} = \langle 0 - 1 , -2 - 2 , 1 - 3 \rangle = \langle -1 , -4 , -2 \rangle$

Equazione vettoriale: $$ \langle x , y , z \rangle = \langle 1 , 2 , 3 \rangle + t \langle -1 , -4 , -2 \rangle $$

L'uguaglianza delle componenti vettoriali dell'equazione vettoriale precedente fornisce:

$$ x = 1 - t, \quad y = 2 - 4t, \quad z = 3 - 2t $$

Trova le equazioni parametriche della retta che passa per il punto $P(-3, 5, 2)$ ed è parallela alla retta con equazioni: $$ x = 2t + 5, \quad y = -4t, \quad z = -t + 3 $$

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Soluzione:

Riscrivi la retta data in forma simmetrica:

$$ \frac{x - 5}{2} = \frac{y}{-4} = \frac{z - 3}{-1} $$

Il vettore direttore è: $\langle 2, -4, -1 \rangle$

La retta passante per il punto $P(-3, 5, 2)$ è parallela alla retta data e quindi ha lo stesso vettore direttore. Le equazioni parametriche della retta passante per $P$ sono:

$$ x = -3 + 2t, \quad y = 5 - 4t, \quad z = 2 - t $$

Trova l'equazione di una retta passante per $P(1 , -2 , 3)$ e perpendicolare alle due rette $L_1$ e $L_2$ date da:

Retta $L_1$: $$ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z + 9}{4} $$

Retta $L_2$: $$ x = 3t - 4, \quad y = -t + 6, \quad z = 5t $$

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Soluzione:

La retta $L$ (da trovare) è perpendicolare alle rette $L_1$ e $L_2$, ed è quindi perpendicolare ai loro vettori direttori $\vec{d}_1$ e $\vec{d}_2$. Pertanto, il prodotto vettoriale di $\vec{d}_1$ e $\vec{d}_2$ fornisce il vettore direttore della retta $L$.

Dalla forma simmetrica di $L_1$, il vettore direttore è: $$ \vec{d}_1 = \langle 3, -4, 4 \rangle $$

Il vettore direttore di $L_2$ è: $$ \vec{d}_2 = \langle 3, -1, 5 \rangle $$

Il vettore direttore della retta $L$ può essere assunto come il prodotto vettoriale:

$$ \vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \langle 3, -4, 4 \rangle \times \langle 3, -1, 5 \rangle = \langle -16, -3, 9 \rangle $$

L'equazione della retta $L$ passante per il punto $P(1, -2, 3)$ e parallela al vettore $\vec{d}$ è data da:

$$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle -16, -3, 9 \rangle $$

Trova il punto di intersezione delle rette $L_1$ e $L_2$ nello spazio 3D definite da:

Retta $L_1$: $$ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 $$

Retta $L_2$: $$ \frac{x - 7}{4} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 2}{-3} $$

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Soluzione:

Riscrivi le equazioni della retta $L_2$ in forma parametrica usando un parametro diverso $s$:

$$ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 $$

Sia $A(x, y, z)$ il punto di intersezione. Eguagliando le coordinate si ottiene il sistema:

$$ 2t - 1 = 4s + 7 \quad (1) $$

$$ -3t + 2 = 2s - 2 \quad (2) $$

$$ 4t - 3 = -3s + 2 \quad (3) $$

Riscrivi le equazioni (1) e (2):

$$ 2t - 4s = 8 \quad \text{e} \quad -3t - 2s = -4 $$

Risolvi rispetto a $t$ e $s$: $$ t = 2 \quad \text{e} \quad s = -1 $$

Verifica questi valori nell'equazione (3):

Membro sinistro: $4(2) - 3 = 5$. Membro destro: $-3(-1) + 2 = 5$. Coincidono, quindi si intersecano.

Sostituisci $t=2$ nelle equazioni di $L_1$ per trovare il punto di intersezione:

$$ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 $$

Trova l'angolo tra le rette $L_1$ e $L_2$ con equazioni simmetriche:

$$ L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{-4} $$

$$ L_2: \frac{x + 3}{6} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{2} $$

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Soluzione:

Siano $\mathbf{d}_1$ e $\mathbf{d}_2$ i vettori direttori delle rette $L_1$ e $L_2$.

$$ \mathbf{d}_1 = \langle 2, -2, -4 \rangle \quad \text{e} \quad \mathbf{d}_2 = \langle 6, 2, 2 \rangle $$

L'angolo $\theta$ tra le rette $L_1$ e $L_2$ è uguale all'angolo tra i loro vettori direttori, dato da:

$$ \theta = \arccos\left( \frac{ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 }{ |\mathbf{d}_1| \, |\mathbf{d}_2| } \right) $$

Calcola il prodotto scalare:

$$ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 12 - 4 - 8 = 0 $$

Poiché il prodotto scalare è $0$ e i moduli sono diversi da zero:

$$ \theta = \arccos(0) = 90^\circ $$

Mostra che le equazioni simmetriche fornite di seguito rappresentano la stessa retta.

Retta $L_1$: $$ \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{4} $$

Retta $L_2$: $$ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{8} $$

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Soluzione:

Possiamo mostrare che le due rette hanno due punti in comune. Riscrivi le due equazioni in forma parametrica come:

$$ L_1: \quad x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + 4t $$

$$ L_2: \quad x = 1 - 2s, \quad y = 2 + 4s, \quad z = 3 + 8s $$

Punto $P_1$ su $L_1$: $(2, 0, -1)$

Punto $P_2$ su $L_2$: $(1, 2, 3)$

Verifica che $P_1(2, 0, -1)$ si trovi su $L_2$ usando le equazioni simmetriche di $L_2$:

$$ \frac{2 - 1}{-2} = \frac{0 - 2}{4} = \frac{-1 - 3}{8} = -\frac{1}{2} $$

Tutti i termini sono uguali, quindi $P_1$ è su $L_2$.

Verifica che $P_2(1, 2, 3)$ si trovi su $L_1$ usando le equazioni simmetriche di $L_1$:

$$ \frac{1 - 2}{-1} = \frac{2}{2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$

Tutti i termini sono uguali, quindi $P_2$ è su $L_1$.

Poiché condividono almeno due punti distinti, le due equazioni rappresentano la stessa retta.

Trova la distanza tra il punto $P_0(1, -2, 3)$ e la retta data dall'equazione vettoriale: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 3, 0 \rangle + t \langle -2, 3, 1 \rangle $$

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Soluzione:

Secondo l'equazione, il punto $P(2, 3, 0)$ giace sulla retta. Il vettore direttore è $\vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle$.

La distanza $D$ dalla retta al punto $P_0$ è data da:

$$ D = \frac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} $$

Sia $\vec{P_0P} = \langle 2-1, 3-(-2), 0-3 \rangle = \langle 1, 5, -3 \rangle$.

Quindi, $\vec{P_0P} \times \vec{d} = \langle 1, 5, -3 \rangle \times \langle -2, 3, 1 \rangle = \langle 14, 5, 13 \rangle$.

$$ |\vec{P_0P} \times \vec{d}| = \sqrt{14^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{196 + 25 + 169} = \sqrt{390} $$

$$ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} $$

$$ D = \frac{\sqrt{390}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{195}}{\sqrt{7}} $$

Trova la distanza minima tra le due rette $L_1$ e $L_2$ definite dalle loro equazioni:

$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle -1, 4, -4 \rangle $$

$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$

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Soluzione:

I punti $P_1(2, 0, -1)$ e $P_2(1, -2, 3)$ sono punti rispettivamente sulle rette $L_1$ e $L_2$. I vettori direttori sono:

$$ \mathbf{d}_1 = \langle -1, 4, -4 \rangle \quad \text{e} \quad \mathbf{d}_2 = \langle -5, 2, -2 \rangle $$

La distanza minima $D$ tra le due rette è data dalla formula:

$$ D = \frac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\mathbf{n}|} $$

dove $\mathbf{n}$ è il prodotto vettoriale di $\mathbf{d}_1$ e $\mathbf{d}_2$.

$$ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \langle -1, 4, -4 \rangle \times \langle -5, 2, -2 \rangle = \langle 0, 18, 18 \rangle $$

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \langle 1-2, -2-0, 3-(-1) \rangle = \langle -1, -2, 4 \rangle $$

$$ D = \frac{| \langle 0, 18, 18 \rangle \cdot \langle -1, -2, 4 \rangle |}{\sqrt{0^2 + 18^2 + 18^2}} = \frac{| -36 + 72 |}{18\sqrt{2}} = \frac{36}{18\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$

Trova il valore di $b$ affinché le rette $L_1$ e $L_2$ date dalle loro equazioni sottostanti siano parallele.

$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle 10, b, 4 \rangle $$

$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$

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Soluzione:

I vettori direttori devono essere proporzionali: $$ \langle 10, b, 4 \rangle = k \langle -5, 2, -2 \rangle $$

Dalla prima componente: $$ 10 = -5k \implies k = -2 $$

Dalla terza componente (per verifica): $$ 4 = k(-2) \implies k = -2 $$

Dalla seconda componente: $$ b = k(2) = -2 \times 2 = -4 $$

Trova l'equazione di una retta passante per il punto $P(1, -2, 3)$ che interseca ed è perpendicolare alla retta data dalle equazioni parametriche $$ x = -3 + t, \quad y = 3 + t, \quad z = -1 + t $$ Inoltre, trova il punto di intersezione delle due rette.

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Soluzione:

Equazione della retta da trovare: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle a, b, c \rangle $$

Perpendicolare a: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + t \langle 1, 1, 1 \rangle $$

L'intersezione richiede di trovare un punto specifico $M(x_0, y_0, z_0)$ sulla retta data tale che $\vec{PM}$ sia perpendicolare alla direzione della retta data $\langle 1,1,1 \rangle$.

$\vec{PM} = \langle -3+t - 1, 3+t - (-2), -1+t - 3 \rangle = \langle t-4, t+5, t-4 \rangle$.

Poiché $\vec{PM}$ è perpendicolare a $\langle 1,1,1 \rangle$, il loro prodotto scalare è zero:

$$ (t-4)(1) + (t+5)(1) + (t-4)(1) = 0 $$

$$ 3t - 3 = 0 \implies t = 1 $$

Il punto di intersezione $M$ (quando $t=1$) è: $$ M(-3+1, 3+1, -1+1) = (-2, 4, 0) $$

Il vettore direttore $\vec{PM}$ è $\langle 1-4, 1+5, 1-4 \rangle = \langle -3, 6, -3 \rangle$. Questo può essere riscalato in $\langle 1, -2, 1 \rangle$.

Equazione della nuova retta: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle 1, -2, 1 \rangle $$

Quali dei punti $A(3, 4, 4)$, $B(0, 5, 3)$ e $C(6, 3, 7)$ giacciono sulla retta definita dalle equazioni parametriche $$ x = 3t + 3, \quad y = -t + 4, \quad z = 2t + 5 $$

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Soluzione:

Scrivi la forma delle equazioni simmetriche della retta: $$ \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 5}{2} $$

Il punto A $(3, 4, 4)$: $$ \frac{3 - 3}{3} = 0, \quad \frac{4 - 4}{-1} = 0, \quad \frac{4 - 5}{2} = -\frac{1}{2} $$
L'ultima espressione non è uguale alle prime due, quindi $A$ non si trova sulla retta.

Il punto B $(0, 5, 3)$: $$ \frac{0 - 3}{3} = -1, \quad \frac{5 - 4}{-1} = -1, \quad \frac{3 - 5}{2} = -1 $$
Tutte le espressioni sono uguali, quindi $B$ si trova sulla retta.

Il punto C $(6, 3, 7)$: $$ \frac{6 - 3}{3} = 1, \quad \frac{3 - 4}{-1} = 1, \quad \frac{7 - 5}{2} = 1 $$
Tutte le espressioni sono uguali, quindi $C$ si trova sulla retta.