Semplificare le funzioni trigonometriche inverse

Semplifica le espressioni:

1. $\sin(\arcsin(x))$ e $\arcsin(\sin(x))$
2. $\cos(\arccos(x))$ e $\arccos(\cos(x))$
3. $\tan(\arctan(x))$ e $\arctan(\tan(x))$

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Soluzione:

1. Seno e arcoseno sono funzioni una l'inversa dell'altra. Pertanto, è possibile utilizzare le proprietà delle funzioni inverse per scrivere:

   $$ \sin(\arcsin(x)) = x, \quad \text{per } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arcsin(\sin(x)) = x, \quad \text{per } x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   NOTA: Se $x$ in $\arcsin(\sin(x))$ non si trova nell'intervallo $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, trova $\theta$ nell'intervallo $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ tale che $\sin(x) = \sin(\theta)$ e quindi semplifica: $\arcsin(\sin(x)) = \theta$

2. Coseno e arcocoseno sono funzioni una l'inversa dell'altra:

   $$ \cos(\arccos(x)) = x, \quad \text{per } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arccos(\cos(x)) = x, \quad \text{per } x \in [0, \pi] $$

   NOTA: Se $x$ in $\arccos(\cos(x))$ non si trova nell'intervallo $[0, \pi]$, trova $\theta$ nell'intervallo $[0, \pi]$ tale che $\cos(x) = \cos(\theta)$, e quindi semplifica $\arccos(\cos(x)) = \theta$.

3. Tangente e arcotangente sono funzioni una l'inversa dell'altra:

   $$ \tan(\arctan(x)) = x $$

   $$ \arctan(\tan(x)) = x \quad \text{per } x \in \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right) $$

   NOTA: Se $x$ in $\arctan(\tan(x))$ non si trova nell'intervallo $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$, trova $\theta$ nell'intervallo $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ tale che $\tan(x) = \tan(\theta)$ e quindi semplifica $\arctan(\tan(x)) = \theta$

Esprimi le seguenti come espressioni algebriche:

$$ \sin(\arccos(x)) \quad \text{e} \quad \tan(\arccos(x)) $$

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Soluzione:

Sia $A = \arccos(x)$. Pertanto,

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

Usa un triangolo rettangolo con angolo $A$ tale che $\cos(A) = x$ (o $\dfrac{x}{1}$). Trova il secondo cateto e calcola $\sin(A)$ e $\tan(A)$.

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{per } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arccos(x)) = \tan(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \quad \text{per } x \in [-1, 0) \cup (0, 1] $$

Esprimi le seguenti come espressioni algebriche:

$$ \cos(\arcsin(x)) \quad \text{e} \quad \tan(\arcsin(x)) $$

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Soluzione:

Sia $A = \arcsin(x)$. Pertanto,

$$ \sin(A) = \sin(\arcsin(x)) = x $$

Usa un triangolo rettangolo con angolo $A$ tale che $\sin(A) = x$ (o $\dfrac{x}{1}$), trova il secondo cateto e calcola $\cos(A)$ e $\tan(A)$.

$$ \cos(\arcsin(x)) = \cos(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{per } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arcsin(x)) = \tan(A) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{per } x \in (-1, 1) $$

Esprimi le seguenti come espressioni algebriche:

$$ \sin(\arctan(x)) \quad \text{e} \quad \cos(\arctan(x)) $$

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Soluzione:

Sia $A = \arctan(x)$. Pertanto,

$$ \tan(A) = \tan(\arctan(x)) = x $$

Usa un triangolo rettangolo con angolo $A$ tale che $\tan(A) = x$ (o $\dfrac{x}{1}$). Trova l'ipotenusa e calcola $\sin(A)$ e $\cos(A)$.

$$ \sin(\arctan(x)) = \sin(A) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$

$$ \cos(\arctan(x)) = \cos(A) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$

Semplifica le seguenti espressioni:

1. $\arccos(0)$, $\arcsin(-1)$, $\arctan(-1)$
2. $\sin(\arcsin(-1/2))$, $\arccos(\cos(\pi/2))$, $\arccos(\cos(-\pi/2))$
3. $\cos(\arcsin(-1/2))$, $\arcsin(\sin(\pi/3))$, $\arcsin(\tan(3\pi/4))$
4. $\arccos(\tan(7\pi/4))$, $\arcsin(\sin(13\pi/3))$, $\arctan(\tan(-17\pi/4))$, $\arcsin(\sin(9\pi/5))$

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Soluzione:

1. Usa le definizioni dirette delle funzioni inverse:

   $$ \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{poiché} \quad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{e} \quad \dfrac{\pi}{2} \in [0, \pi] $$

   $$ \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} \quad \text{poiché} \quad \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{e} \quad -\dfrac{\pi}{2} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   $$ \arctan(-1) = -\dfrac{\pi}{4} \quad \text{poiché} \quad \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \quad \text{e} \quad -\dfrac{\pi}{4} \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) $$

2. Semplifica le funzioni interne e poi le funzioni esterne usando le definizioni:

   $$ \sin\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

3. Semplifica le funzioni interne e poi le funzioni esterne:

   $$ \cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$

   $$ \arcsin\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} $$

   $$ \arcsin\left(\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right) = \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} $$

4. Regola gli angoli in modo che rientrino negli intervalli corretti prima di applicare le funzioni inverse:

   $$ \arccos\big(\tan(7\pi/4)\big) = \arccos(-1) = \pi $$

   $$ \arcsin\big(\sin(13\pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(4\pi + \pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(\pi/3)\big) = \pi/3 $$

   $$ \arctan\big(\tan(-17\pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-4\pi - \pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-\pi/4)\big) = -\pi/4 $$

   $$ \arcsin\big(\sin(9\pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(2\pi - \pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(-\pi/5)\big) = -\pi/5 $$

Siano $A = \arcsin(2/3)$ e $B = \arccos(-1/2)$. Trova il valore esatto di $\sin(A + B)$.

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Soluzione:

Usa l'identità di addizione degli angoli:

$$ \sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) $$

Sviluppa l'espressione data sostituendo $A$ e $B$:

$$ \sin(A + B) = \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) + \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) $$

Usa le identità inverse per semplificare ciascun termine individuale:

• $\sin(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \tfrac{2}{3}$
• $\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = -\tfrac{1}{2}$
• $\cos(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \sqrt{1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3}$
• $\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$

Sostituisci nuovamente questi valori nell'equazione sviluppata e calcola:

$$ \sin(A + B) = \left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{\sqrt{15}}{6} $$

Scrivi $Y = \sin(2 \arcsin(x))$ come espressione algebrica.

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Soluzione:

Sia $A = \arcsin(x)$. Pertanto $Y$ può essere scritto come:

$$ Y = \sin(2A) $$

Usa l'identità di duplicazione $\sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A)$ per riscrivere $Y$:

$$ Y = 2 \sin(A) \cos(A) = 2 \sin(\arcsin(x)) \cos(\arcsin(x)) $$

Applica le identità standard $\sin(\arcsin(x)) = x$ e $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$ per ottenere l'espressione finale:

$$ Y = 2 x \sqrt{1 - x^2} $$

Trova il valore esatto di $Y = \sin(2 \arctan(3/4))$.

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Soluzione:

Sia $A = \arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)$. Pertanto $Y$ può essere scritto come:

$$ Y = \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) $$

Valuta le funzioni interne usando le proprietà di conversione algebrica standard per l'arcotangente:

$$ \sin(A) = \sin\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right) = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}} = \dfrac{3}{5} $$

$$ \cos(A) = \cos\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}} = \dfrac{4}{5} $$

Sostituisci questi valori nella formula di duplicazione:

$$ Y = 2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25} $$