Applicazioni reali delle funzioni sinusoidali con soluzioni

Una massa attaccata a una molla viene tirata verso il pavimento in modo che la sua altezza dal pavimento sia di 10 mm (millimetri). La massa viene quindi rilasciata e inizia a muoversi su e giù raggiungendo altezze massime e minime rispettivamente di 20 e 10 mm, con un ciclo di 0,8 secondi.

1. Supponi che l'altezza $h(t)$ della massa sia una funzione sinusoidale, dove $t$ è il tempo in secondi. Disegna un grafico di $h$ da $t = 0$ a $t = 0,8$ secondi. $t = 0$ è il momento in cui la massa viene rilasciata.
2. Trova una funzione sinusoidale per l'altezza $h(t)$.
3. Per quanti secondi l'altezza della massa è superiore a 17 mm in un ciclo?

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Soluzione

1. La massa viene rilasciata a $t = 0$ quando $h$ è al minimo. Mezzo ciclo dopo $h$ raggiunge il suo massimo e un altro mezzo ciclo dopo raggiunge nuovamente il suo minimo. Pertanto, in un ciclo, $h$ varia con $t$ come segue:

   

2. In base al grafico ottenuto nella parte a), $h(t)$ potrebbe essere modellato da una funzione coseno traslata verticalmente verso l'alto e orizzontalmente verso destra. Quindi

   $$ h(t) = a \cos[ b(t - d) ] + c $$

   Sia $h_{\text{max}}$ il valore massimo di $h$ e $h_{\text{min}}$ il valore minimo di $h$. Quindi

   $$ |a| = \dfrac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 - 10}{2} = 5 , \quad a = \pm 5 $$

   $$ c = \dfrac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 + 10}{2} = 15 $$

   $$ \text{Periodo} = \dfrac{2\pi}{|b|} = 0,8 \Rightarrow b = \pm 2,5\pi $$

   Usiamo $a = 5$ e $b = 2,5\pi$. Lo spostamento della funzione coseno è verso destra ed è pari a mezzo periodo. Quindi $d = 0,4$

   $$ h(t) = 5 \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] + 15 $$

   Verifica che $h$ abbia un minimo a $t = 0$:

   $$ h(0) = 5 \cos[ 2,5\pi(0 - 0,4) ] + 15 = 5 \cos( -\pi ) + 15 = 10 $$

   Verifica che $h$ abbia un massimo a $t = 0,4$:

   $$ h(0,4) = 5 \cos[ 2,5\pi(0,4 - 0,4) ] + 15 = 5 \cos( 0 ) + 15 = 20 $$

3. Di seguito è mostrato il grafico di $y = h(t)$ e $y = 17$. Dobbiamo prima trovare $t_1$ e $t_2$, che sono i valori di $t$ per cui $h(t) = 17$ risolvendo l'equazione

   

   $$ 5 \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] + 15 = 17 $$

   $$ \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] = \dfrac{17 - 15}{5} = 0,4 $$

   $$ 2,5\pi(t - 0,4) = \arccos(0,4) $$

   $$ t = \dfrac{\arccos(0,4)}{2,5\pi} + 0,4 = 0,547 \text{ secondi} $$

   La soluzione $t$ trovata sopra è maggiore di $0,4$, che è la posizione del massimo, e minore di $0,8$ e corrisponde pertanto a $t_2$. Quindi

   $$ t_2 = \dfrac{\arccos(0,4)}{2,5\pi} + 0,4 = 0,547 \text{ secondi} $$

   $t_1$ si ottiene usando la simmetria delle due soluzioni rispetto alla posizione del massimo a $t = 0,4$. Quindi

   $$ t_1 = 0,4 - (0,547 - 0,4) = 0,252 \text{ secondi} $$

   L'altezza della massa è superiore a 17 mm per

   $$ t_2 - t_1 = 0,547 - 0,252 = 0,295 \text{ secondi} $$

Il numero di ore di luce diurna $H$ in una certa area è approssimativamente dato dalla funzione

$$ H(t) = 2,5 \cos\left[ b(t - d) \right] + 11,5 $$

dove $H$ è in ore e $t$ in giorni, e la funzione ha un periodo di un anno (365 giorni).

1. Trova $b$ ($b > 0$) e $d$ se $H$ è massimo il 21 giugno (il mese di febbraio ha 28 giorni).
2. Qual è il giorno più corto (con il minor numero di ore di luce diurna)?

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Soluzione

1. Poiché il periodo è noto ed è pari a 365 giorni, usiamo la formula:

   $$ 365 = \dfrac{2\pi}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{2\pi}{365} $$

   Se poniamo $d = 0$ nella funzione

   $$ H(t) = 2,5 \cos[b(t - d)] + 11,5 $$

   essa diventa

   $$ H(t) = 2,5 \cos(bt) + 11,5 $$

   che ha un massimo a $t = 0$.

   Nel nostro problema, il massimo si verifica il 21 giugno, che corrisponde a

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$

   (giorni dal 1° gennaio al 21 giugno).

   Pertanto, lo spostamento orizzontale è di 172 unità verso destra, e $d = 172$. Quindi,

   $$ H(t) = 2,5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11,5 $$

2. Il giorno più corto corrisponde al valore di $t$ che dà il minimo di $H$, ovvero:

   $$ 11,5 - 2,5 = 9 $$

   Risolviamo l'equazione:

   $$ 2,5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11,5 = 9 $$

   $$ \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] = \dfrac{9 - 11,5}{2,5} = -1 = \cos(\pi) $$

   che dà

   $$ \dfrac{2\pi}{365}(t - 172) = \pi $$

   $$ t = \dfrac{365\pi}{2\pi} + 172 = 354,5 \text{ giorni} $$

   Nota: Avremmo potuto determinarlo anche riconoscendo che il tempo da un massimo al minimo successivo in una funzione coseno è pari a mezzo periodo. Pertanto, il minimo si verifica a:

   $$ t = 172 + \dfrac{1}{2}(365) = 354,5 \text{ giorni} $$

   Per calcolare il numero di giorni da gennaio a novembre:

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334 $$

   Quindi, il numero di giorni all'interno di dicembre è:

   $$ 354,5 - 334 = 20,5 $$

   che corrisponde approssimativamente al 21 dicembre.

La temperatura media mensile $T$ (in $^{\circ} \mathrm{C}$) in una determinata città può essere approssimata da

$$ T(t) = a \cos\left[ b(t - d) \right] + c $$

dove $t$ è il tempo in mesi, $t = 0$ corrisponde al 1° gennaio, e si assume che la funzione $T(t)$ abbia un periodo di 12 mesi.

1. Trova $a$, $b$ (con $b > 0$), $c$ e $d$ se $T$ ha un massimo di $22,4^{\circ} \mathrm{C}$ a metà luglio ($t = 6,5$) e un minimo di $-10^{\circ} \mathrm{C}$.
2. In quale mese $T$ è al minimo?
3. Per quanti mesi $T$ è superiore a $18^{\circ} \mathrm{C}$?

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Soluzione

1. I valori minimo e massimo di $T$, indicati rispettivamente con $T_{\text{max}}$ e $T_{\text{min}}$, ci permettono di trovare $a$ e $c$ come segue:

   Ci viene dato:

   $$ T_{\text{max}} = 22,4 \quad \text{e} \quad T_{\text{min}} = -10 $$

   $$ c = \dfrac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2} = 6,2 $$

   $$ |a| = \dfrac{T_{\text{max}} - T_{\text{min}}}{2} = 16,2 \quad \text{(prendiamo } a > 0 \text{)} $$

   Il grafico di $T$ è quello di una funzione coseno $a \cos(bt)$ traslata di 6,5 unità verso destra. Quindi,

   $$ T(t) = 16,2 \cos[ b(t - 6,5) ] + 6,2 $$

   Ora usiamo il periodo per trovare $b$. Il periodo è 12, e poiché

   $$ \text{Periodo} = \dfrac{2\pi}{b} = 12 , \quad \text{otteniamo } b = \dfrac{\pi}{6} $$

   Pertanto, la funzione della temperatura è

   $$ T(t) = 16,2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 $$

2. Trova $t$ per cui $T$ è al minimo. Il valore minimo di $T$ è -10. Risolviamo:

   $$ 16,2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 = -10 $$

   $$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] = -1 = \cos(\pi) $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) = \pi $$

   $$ t = 12,5 $$

   Nota: Avremmo potuto rispondere usando il fatto che la distanza tra un massimo e il minimo successivo in una funzione sinusoidale è pari a mezzo periodo. Quindi,

   $$ t = 6,5 + \dfrac{1}{2}(12) = 12,5 \text{ giorni} $$

   Poiché $t = 12,5$ è leggermente superiore a un periodo (12 mesi), corrisponde a metà gennaio, il che significa che la temperatura è al minimo in quel periodo.

3. Ora troviamo i tempi $t_1$ e $t_2$ in cui $T = 18$ risolvendo l'equazione:

   $$ 16,2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 = 18 $$

   $$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] = \dfrac{18 - 6,2}{16,2} $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) = \arccos\left( \dfrac{18 - 6,2}{16,2} \right) $$

   $$ t = \dfrac{6}{\pi} \arccos\left( \dfrac{18 - 6,2}{16,2} \right) + 6,5 = 7,94 \text{ mesi} $$

   Dal grafico di $T(t)$ e dalla retta orizzontale $y = 18$, la soluzione $t = 7,94$ corrisponde a $t_2 = 7,94$. Per simmetria,

   $$ t_1 = 6,5 - (t_2 - 6,5) = 6,5 - (7,94 - 6,5) = 5,06 \text{ mesi} $$

   Il numero di mesi durante i quali $T > 18$ è:

   $$ t_2 - t_1 = 7,94 - 5,06 = 2,88 \text{ mesi (circa 3 mesi)} $$

Il diametro di una grande ruota panoramica è di 48 metri e la ruota impiega 2,8 minuti per completare un giro. Un passeggero sale sulla ruota nel suo punto più basso, che si trova a 60 cm da terra a $t = 0$.

1. Trova una funzione sinusoidale $h(t)$ che dia l'altezza $h$, in metri, del passeggero da terra in funzione del tempo $t$ in minuti.
2. Trova gli intervalli di tempo in cui il passeggero si trova a un'altezza inferiore a 30 metri per il periodo di tempo da $t = 0$ a $t = 2,8$ minuti.
3. Quanti minuti, a partire da $t = 0$, impiega il passeggero per raggiungere il punto più alto per la seconda volta?

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Soluzione

1. L'altezza minima $h_{\text{min}}$ da terra è di 0,6 metri. L'altezza massima $h_{\text{max}}$ è pari all'altezza minima più il diametro della ruota.

   $$ h_{\text{max}} = 0,6 + 48 = 48,6 $$

   Poiché $h(t)$ è al minimo a $t = 0$, sarebbe più semplice modellarla con una funzione coseno riflessa. Quindi:

   $$ h(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   $$ |a| = \dfrac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = -\dfrac{48,6 - 0,6}{2} = 24 $$

   Due soluzioni per $a$ sono $\pm 24$.

   Scegliamo $a = -24$ dove il segno meno rende conto della riflessione sull'asse orizzontale.

   $$ c = \dfrac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{48,6 + 0,6}{2} = 24,6 $$

   Il periodo è 2,8, e poiché:

   $$ \text{periodo} = \dfrac{2\pi}{b} \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{2,8} $$

   $$ h(t) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} t \right) + 24,6 $$

   Verifica: A $t = 0$,

   $$ h(0) = -24 \cos(0) + 24,6 = -24(1) + 24,6 = 0,6 \, \text{m} $$

   A $t = 1,4$ (mezzo periodo dopo),

   $$ h(1,4) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} \cdot 1,4 \right) + 24,6 = -24 \cos(\pi) + 24,6 = 48,6 \, \text{m} $$

2. Dobbiamo prima risolvere l'equazione:

   $$ -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} t \right) + 24,6 = 30 $$

   $$ \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} t \right) = \dfrac{30 - 24,6}{-24} $$

   $$ t = \dfrac{2,8}{2\pi} \arccos\left( \dfrac{30 - 24,6}{-24} \right) = 0,8 \, \text{minuti} $$

   La soluzione corrisponde a $t_1$, la prima intersezione del grafico di $h(t)$ e della retta $y = 30$. Quindi:

   $$ t_1 = 0,8 \, \text{min}, \quad t_2 = 2,8 - 0,8 = 2 \, \text{min} $$

   $h(t) \lt 30$ da $t = 0$ a $t = 0,8$ e da $t = 2$ a $t = 2,8$, per un totale di 1,6 minuti.

3. Il passeggero raggiunge il massimo a $t = \dfrac{1}{2} \cdot 2,8$ per la prima volta e di nuovo a:

   $$ t = \dfrac{1}{2} \cdot 2,8 + 2,8 = 4,2 \, \text{minuti} $$

   per raggiungere l'altezza massima per la seconda volta.

A causa delle attrazioni gravitazionali della luna e del sole sulla Terra, l'acqua nei mari e negli oceani tende ad alzarsi e abbassarsi periodicamente in corrispondenza di ciò che viene chiamato alta e bassa marea. In una situazione tipica, il tempo tra due alte maree è vicino a 12 ore. In una certa zona costiera, la profondità dell'acqua può essere approssimata da una funzione sinusoidale della forma

$$ d(t) = -2,5 \cos[ b(t - 2) ] + 3,5 $$

dove $d$ è in metri e $t$ è in ore, con $t = 0$ corrispondente alle 12:00 di notte.

1. Trova $b$ ($b > 0$) se $d$ ha un periodo di 12 ore.
2. Da $t = 0$ a $t = 12$, a che ora $d$ è al minimo (bassa marea) e a che ora è al massimo (alta marea)?
3. Da $t = 0$ a $t = 12$, quali sono gli intervalli di tempo in cui la profondità dell'acqua è di 4,5 metri o più?

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Soluzione

1. Usando il periodo, abbiamo

   $$ 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$

   $$ b = \dfrac{\pi}{6} $$

2. $d(t)$ è ora data da

   $$ d(t) = -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 $$

   Il valore più piccolo di $d$ è

   $$ -2,5 + 3,5 = 1 $$

   Quindi $d$ è al minimo per $t$ tale che

   $$ -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 1 $$

   Risolvi per ottenere:

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = 1 $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = 0 $$

   $$ t = 2 \quad \text{(corrispondente alle 2:00)} $$

   Il valore più alto di $d$ è

   $$ 2,5 + 3,5 = 6 $$

   Quindi $d$ è al massimo per $t$ tale che

   $$ -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 6 $$

   Risolvi per ottenere:

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = -1 $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = \pi $$

   $$ t = 8 \quad \text{(corrispondente alle 10:00)} $$

   NOTA: Avremmo potuto rispondere alla parte b) usando il fatto che la distanza tra un minimo e il massimo successivo in una funzione sinusoidale è pari a mezzo periodo. Pertanto,

   $$ d \text{ è massimo a } t = 2 + \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 8 $$

3. Dobbiamo prima trovare $t$ per cui $h(t) = 4,5$ risolvendo l'equazione

   $$ -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 4,5 $$

   

   che può essere scritta come:

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = \dfrac{1}{-2,5} $$

   Risolvi rispetto a $t$:

   $$ t_1 = \dfrac{6}{\pi}\cdot \arccos\left( -\dfrac{1}{2,5} \right) + 2 = 5,8 \text{ ore} $$

   $$ t_2 = 8 + (8 - 5,8) = 10,2 \text{ ore (usando la simmetria rispetto alla posizione del massimo)} $$

   Il numero totale di ore in cui $d(t) > 4,5 \, \text{m}$ è:

   $$ 10,2 - 5,8 = 4,4 \text{ ore} $$

A causa dell'alta e della bassa marea, la profondità $d$ dell'acqua in una determinata zona costiera può essere espressa da una funzione sinusoidale. L'alta marea si verifica alle 8:00 e la bassa marea si verifica 6 ore dopo. Il livello massimo dell'acqua è di 2,8 metri e il livello minimo dell'acqua è di 0,4 metri.

1. Usa le funzioni sinusoidali per trovare la profondità $d(t)$ dell'acqua, in metri, in funzione del tempo $t$ in ore. (Supponi che le 8:00 corrispondano a $t = 0$).
2. Trova la profondità dell'acqua a mezzogiorno.
3. Usa il grafico di $d(t)$ e i calcoli analitici per calcolare l'intervallo di tempo durante il quale la profondità $d$ è inferiore a $1,5 \, \text{m}$ dalle 12:00 alle 18:00.

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Soluzione

1. Sia $d(t)$ scritto come

   $$ d(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   Il minimo $d_{\min}$ e il massimo $d_{\max}$ di $d$ sono

   $$ d_{\min} = 0,4 $$

   $$ d_{\max} = 2,8 $$

   $$ c = \dfrac{d_{\max} + d_{\min}}{2} = \dfrac{2,8 + 0,4}{2} = 1,6 $$

   $$ |a| = \dfrac{d_{\max} - d_{\min}}{2} = \dfrac{2,8 - 0,4}{2} = 1,2 $$

   Poiché $d(t)$ ha un minimo a $t = 0$ (8:00), possiamo scegliere $a = -1,2$ e $d = 0$

   $$ d(t) = -1,2 \cos(bt) + 1,6 $$

   dove è facile verificare che $d = -1,2 + 1,6 = 0,4$ a $t = 0$.

   Ora usiamo il periodo per trovare $b$ ($b > 0$) come segue

   $$ \text{periodo} = 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$

   $$ \Rightarrow b = \dfrac{\pi}{6} $$

   Ora $d(t)$ è scritto come

   $$ d(t) = -1,2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1,6 $$

   dove è facile verificare che il massimo si verifica a $t = 6$.

2. A mezzogiorno $t = 4$, quindi

   $$ d(4) = -1,2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6} \cdot 4 \right) + 1,6 = 2,2 \, \text{m} $$

3. Il grafico di $d(t)$ è mostrato sotto con linee verticali corrispondenti alle 12:00 e alle 18:00 e una linea orizzontale corrispondente a $d = 1,5$. La profondità dell'acqua è inferiore a 1,5 da $t_0$ alle 18:00 ($t = 10$). Dobbiamo trovare $t_0$, che è un punto di intersezione di $d(t)$ e $y = 1,5$, risolvendo l'equazione

   $$ -1,2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1,6 = 1,5 $$

   $$ t = \dfrac{6 \cdot \arccos\left( \dfrac{1,5 - 1,6}{-1,2} \right)}{\pi} \approx 2,84 $$

   La soluzione trovata corrisponde al punto di intersezione sinistro di $d(t)$ e $y = 1,5$. Il punto destro $t_0$ può essere trovato usando la simmetria del grafico rispetto al punto di massimo. Quindi

   $$ t_0 = 6 + (6 - 2,84) = 9,16 \, \text{ore} $$

   $0,16$ ore corrispondono a

   $$ 0,16 \times 60 \, \text{minuti} \approx 10 \text{ minuti} $$

   $9,16$ ore corrispondono a

   $$ \approx 17:10 $$

   Dalle 12:00 alle 18:00, la profondità dell'acqua è inferiore a 1,5 dalle 17:10 alle 18:00.

Un sistema di pannelli solari produce una potenza media giornaliera $P$ che cambia durante l'anno. È massima il 21 giugno (il giorno con il maggior numero di ore di luce diurna) ed è pari a $20 \ \text{kWh/giorno}$. Si assume che $P$ varî con il tempo $t$ secondo la funzione sinusoidale:

$$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

dove $t = 0$ corrisponde al 1° gennaio, $P$ è la potenza in kWh/giorno e $P(t)$ ha un periodo di 365 giorni (28 giorni a febbraio). Il valore minimo di $P$ è $4 \ \text{kWh/giorno}$.

1. Trova i parametri $a$, $b$, $c$ e $d$.
2. Disegna $P(t)$ su un periodo da $t = 0$ a $t = 365$.
3. Quando è minima la potenza prodotta dal sistema solare?
4. La potenza prodotta da questo sistema solare è sufficiente per alimentare un gruppo di macchinari se la potenza prodotta dal sistema è maggiore o uguale a $16 \ \text{kWh/giorno}$. Per quanti giorni, in un anno, la potenza prodotta dal sistema è sufficiente?

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Soluzione

1. Sia $P(t)$ scritto come

   $$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   Il minimo $P_{\text{min}}$ e il massimo $P_{\text{max}}$ di $P(t)$ sono dati:

   $$ P_{\text{min}} = 4 $$

   $$ P_{\text{max}} = 20 $$

   $$ c = \dfrac{P_{\text{max}} + P_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 + 4}{2} = 12 $$

   $$ |a| = \dfrac{P_{\text{max}} - P_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 - 4}{2} = 8 $$

   Ora dobbiamo trovare il numero di giorni $t$ dopo il 1° gennaio in cui $P(t)$ è al massimo contando i giorni dei mesi da gennaio a maggio e aggiungendo 21 giorni a giugno:

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$

   Ora usiamo il periodo per trovare $b$ (con $b > 0$) come segue:

   $$ \text{periodo} = 365 = \dfrac{2\pi}{b} $$

   $$ \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{365} $$

   Una funzione coseno senza sfasamento ha un massimo a $t = 0$. $P(t)$ ha un massimo a $t = 172$. Possiamo modellare $P(t)$ con una funzione coseno traslata di 172 unità verso destra:

   $$ P(t) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 $$

   Verifica che $P(t)$ sia al massimo a $t = 172$:

   $$ P(172) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(172 - 172)\right) + 12 = 8 \cos(0) + 12 = 20 $$

2. Il grafico di $P(t)$ è mostrato sotto.

   

3. C'è una differenza di mezzo periodo tra il massimo a $t = 172$ e il minimo successivo a tale massimo. Quindi $P(t)$ è al minimo a

   $$ t = 172 + 0,5(365) = 354,5 $$

   I primi 11 mesi hanno 334 giorni. Pertanto, 354,5 corrisponde al 21 dicembre, il giorno in cui $P(t)$ è al minimo.

4. Per trovare il numero di giorni in cui la potenza prodotta è sufficiente, dobbiamo trovare $t_1$ e $t_2$ corrispondenti ai punti di intersezione di $P(t)$ e $y = 16$, come mostrato nel grafico, risolvendo l'equazione:

   $$ P(t) = 16 $$

   $$ 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 = 16 $$

   $$ \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) = \dfrac{1}{2} $$

   $$ t = 172 + \dfrac{365}{2\pi} \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = 232,8 $$

   La soluzione trovata sopra è maggiore di 172, corrispondente al massimo. Quindi, la soluzione precedente corrisponde a $t_2$ nel grafico (soluzione sul lato destro). La soluzione a sinistra si trova per simmetria:

   $$ t_1 = 172 - (232,8 - 172) = 111,2 $$

   $$ t_2 - t_1 = 232,8 - 111,2 = 121,6 \text{ giorni} $$

   Il sistema produce energia sufficiente per circa 121 giorni.