Qual è l'ampiezza e la traslazione verticale della funzione $y = -2 \sin(x) - 1$?

L'ampiezza è $|-2| = 2$. La traslazione verticale è di 1 unità verso il basso ($c = -1$).

Qual è il periodo della funzione $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$?

Il periodo è $\pi$. Si calcola come $\dfrac{2\pi}{k}$ dove $k = 2$.

Come si determina lo sfasamento del grafico di una funzione seno o coseno?

Per trovare lo sfasamento, la funzione deve essere nella forma $y = a \sin(k(x - d)) + c$. Per prima cosa, raccogli il valore di $k$ in evidenza. Dopodiché, $d$ è lo sfasamento. Se il termine è $(x - d)$, lo spostamento è verso destra. Se il termine è $(x + d)$, lo spostamento è verso sinistra.

In che modo un'ampiezza negativa influisce sul grafico di una funzione seno o coseno?

Un valore negativo di 'a' non cambia l'ampiezza, che è sempre positiva ($|a|$). Tuttavia, il segno negativo fa riflettere il grafico rispetto alla linea mediana orizzontale dell'onda.

Come disegnare i grafici delle funzioni seno e coseno

Scopri come disegnare i grafici delle funzioni seno e coseno nelle forme generali:

$$ y = a \sin\bigl(k (x - d)\bigr) + c \quad \text{e} \quad y = a \cos\bigl(k (x - d)\bigr) + c $$

Con spiegazioni chiare, esempi passo dopo passo e soluzioni dettagliate, questa introduzione copre concetti chiave come l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale per aiutarti a padroneggiare la rappresentazione grafica delle funzioni trigonometriche.

Parametri del grafico

Ampiezza: $ |a| $

Periodo: $ \dfrac{2\pi}{|k|} $

Spostamento orizzontale (Sfasamento): $d$. Verso sinistra se $-d$ è positivo, e verso destra se $-d$ è negativo.

Traslazione verticale: $c$. Verso l'alto se $c$ è positivo, e verso il basso se $c$ è negativo.

Fondamenti della circonferenza goniometrica

Per poter tracciare funzioni seno e coseno trasformate, dobbiamo sapere come tracciare le funzioni seno e coseno di base. La circonferenza goniometrica (raggio = 1) fornisce i valori di $\sin(x)$ e $\cos(x)$ in 5 punti chiave che possono essere utilizzati per rappresentare graficamente funzioni più complesse. Le coordinate di qualsiasi punto sulla circonferenza goniometrica forniscono il coseno e il seno dell'angolo in posizione standard corrispondente a quel punto.

L'angolo $x = 0$ corrisponde al punto: $ (1, 0) = (\cos(0), \sin(0)) $
L'angolo $x = \pi/2$ (o 90°) corrisponde al punto: $ (0, 1) = (\cos(\pi/2), \sin(\pi/2)) $
L'angolo $x = \pi$ (o 180°) corrisponde al punto: $ (-1, 0) = (\cos(\pi), \sin(\pi)) $
L'angolo $x = 3\pi/2$ (o 270°) corrisponde al punto: $ (0, -1) = (\cos(3\pi/2), \sin(3\pi/2)) $
L'angolo $x = 2\pi$ (o 360°) corrisponde al punto: $ (1, 0) = (\cos(2\pi), \sin(2\pi)) $

Circonferenza goniometrica con angoli di seno e coseno

Tracciamento di funzioni seno e coseno: Esempi con soluzioni dettagliate

Esempio 1: Allungamento verticale e traslazione

Traccia il grafico di $y = 2 \cos(x) + 1$ su un periodo.

Soluzione:

Parametri del grafico

Ampiezza: $|2| = 2$
Periodo: $2\pi$
Traslazione verticale: $1$ (1 unità verso l'alto)
Spostamento orizzontale: $0$

Tre passaggi per tracciare il grafico della funzione $y = 2 \cos(x) + 1$:

1) Iniziamo tracciando $y = \cos(x)$ utilizzando i valori di $x$ e $y$ della circonferenza goniometrica (grafico blu sotto).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} $$

2) Successivamente tracciamo $y = 2 \cos(x)$ allungando $y = \cos(x)$ di un fattore 2 (grafico verde sotto).

3) Infine, tracciamo $y = 2 \cos(x) + 1$ traslando di 1 unità verso l'alto (grafico rosso sotto).

Esempio 2: Allungamento verticale, traslazione e riflessione

Traccia il grafico di $y = - 2 \sin(x) - 1$ su un periodo.

Soluzione:

Parametri del grafico

Ampiezza: $|-2| = 2$
Periodo: $2\pi$
Traslazione verticale: $-1$ (1 unità verso il basso)
Spostamento orizzontale: $0$

Tre passaggi per tracciare il grafico della funzione $y = - 2 \sin(x) - 1$:

1) Iniziamo tracciando $y = \sin(x)$ utilizzando i valori di $x$ e $y$ della circonferenza goniometrica (grafico blu sotto).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} $$

2) Successivamente tracciamo $y = - 2 \sin(x)$ allungando $y = \sin(x)$ di un fattore 2 e riflettendolo rispetto all'asse x (grafico verde sotto).

3) Infine, tracciamo $y = - 2 \sin(x) - 1$ traslando di 1 unità verso il basso (grafico rosso sotto).

Esempio 3: Variazione del periodo e sfasamento

Traccia il grafico di $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$ su un periodo.

Soluzione:

Parametri del grafico

Ampiezza: $|3| = 3$
Periodo: $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$
Traslazione verticale: $-1$ (1 unità verso il basso)

Spostamento orizzontale: A causa del termine $\dfrac{\pi}{3}$, il grafico subisce uno spostamento orizzontale. Riscriviamo prima la funzione data come:
$$ y = 3 \cos\left[ 2\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right) \right] - 1 $$
e ora possiamo scrivere lo spostamento come pari a $\dfrac{\pi}{6}$ verso sinistra.

Tre passaggi per tracciare il grafico della funzione $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$:

1) Iniziamo tracciando $3 \cos(2x)$ con valori minimi e massimi di -3 e +3 su un periodo $= \pi$ (grafico blu sotto).

2) Successivamente tracciamo $y = 3 \cos(2x) - 1$ traslando il grafico precedente di 1 unità verso il basso (grafico verde sotto).

3) Ora spostiamo il grafico precedente di $\dfrac{\pi}{6}$ verso sinistra (grafico rosso sotto) in modo che il periodo tracciato inizi a $-\dfrac{\pi}{6}$ e termini a $-\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}$ che corrisponde a un periodo $= \pi$.

$Grafico di y = 3 cos(2x + \pi/3) - 1$

Esempio 4: Parametri decimali

Traccia il grafico di $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$ su un periodo.

Soluzione:

Parametri del grafico

Ampiezza: $|-0.2| = 0.2$
Periodo: $\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi$
Traslazione verticale: $0.1$ (0,1 unità verso l'alto)

Spostamento orizzontale: A causa del termine $- \dfrac{\pi}{6}$, il grafico subisce uno spostamento orizzontale. Riscriviamo prima la funzione data come:
$$ y = -0.2 \sin\left( 0.5\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) \right) + 0.1 $$
e ora possiamo scrivere lo spostamento come pari a $\dfrac{\pi}{3}$ verso destra.

Tre passaggi per tracciare il grafico della funzione $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$:

1) Iniziamo tracciando $y = -0.2 \sin(0.5x)$ con valori minimi e massimi di $-0.2$ e $0.2$ su un periodo $= 4\pi$ (grafico blu sotto).

2) Successivamente tracciamo $y = -0.2 \sin(0.5x) + 0.1$ traslando il grafico precedente di 0,1 unità verso l'alto (grafico verde sotto).

3) Quindi spostiamo il grafico precedente di $\dfrac{\pi}{3}$ verso destra (grafico rosso sotto) in modo che il periodo tracciato inizi a $\dfrac{\pi}{3}$ e termini a $\dfrac{\pi}{3} + 4\pi$, che corrisponde a un periodo $= 4\pi$.

$Grafico di y = -0.2 sin(0.5 x - \pi/6) + 0.1$

Esempio 5: Lavoro in gradi

Traccia il grafico di $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$ su un periodo.

Soluzione:

Parametri del grafico

Ampiezza: $|2| = 2$
Periodo: $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$
Traslazione verticale: $-2$ (2 unità verso il basso)

Spostamento orizzontale: A causa del termine $-60^\circ$, il grafico subisce uno spostamento orizzontale. Riscriviamo prima la funzione data come:
$$ y = 2 \cos\left[ 2 \left( x - 30^\circ \right) \right] - 2 $$
e ora possiamo scrivere lo spostamento come pari a $30^\circ$ verso destra.

Tre passaggi per tracciare il grafico della funzione $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$:

1) Iniziamo tracciando $y = 2 \cos(2x)$ con valori minimi e massimi di $-2$ e $+2$ su un periodo $= 180^\circ$ (grafico blu sotto).

2) Successivamente tracciamo $y = 2 \cos(2x) - 2$ traslando il grafico precedente di 2 unità verso il basso (grafico verde sotto).

3) Infine, spostiamo il grafico precedente di $30^\circ$ verso destra (grafico rosso sotto) in modo che il periodo tracciato inizi a $30^\circ$ e termini a $30^\circ + 180^\circ = 210^\circ$, che corrisponde a un periodo $= 180^\circ$.

Esempio 6: Periodi frazionari

Traccia il grafico di $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$ su un periodo.

Soluzione:

Parametri del grafico

Ampiezza: $|-2| = 2$
Periodo: $\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{3}} = 6\pi$
Traslazione verticale: $-1$ (1 unità verso il basso)

Spostamento orizzontale: A causa del termine $\dfrac{\pi}{3}$, il grafico subisce uno spostamento orizzontale. Riscriviamo prima la funzione data come:
$$ y = -2 \sin\left(\dfrac{1}{3}(x + \pi)\right) - 1 $$
e ora possiamo scrivere lo spostamento come pari a $\pi$ verso sinistra.

Tre passaggi per tracciare il grafico della funzione $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$:

1) Iniziamo tracciando $-2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right)$ con valori minimi e massimi di $-2$ e $+2$ su un periodo $= 6\pi$ (grafico blu sotto).

2) Successivamente tracciamo $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 1$ traslando il grafico precedente di 1 unità verso il basso (grafico verde sotto).

3) Quindi spostiamo il grafico precedente di $\pi$ verso sinistra (grafico rosso sotto) in modo che il periodo tracciato inizi a $-\pi$ e termini a $5\pi$ che corrisponde a un periodo $= 6\pi$.

$Grafico di y = - 2 sin(x/3 + \pi/3) - 1$

Disegnare i grafici delle funzioni seno e coseno

Parametri del grafico

Fondamenti della circonferenza goniometrica

Tracciamento di funzioni seno e coseno: Esempi con soluzioni dettagliate

Altri riferimenti e link