Qual è il periodo della funzione $y = \tan(2x + \dfrac{\pi}{2})$?

Il periodo è $\dfrac{\pi}{2}$. Per le funzioni tangente e cotangente, il periodo di base è $\pi$, quindi la formula è $\dfrac{\pi}{|k|}$.

Dove si trovano gli asintoti verticali per la funzione di base $y = \cot(x)$?

Gli asintoti verticali per $y = \cot(x)$ si verificano in $x = k\pi$, dove $k$ è un numero intero. Questo perché $\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$ e $\sin(x) = 0$ in $k\pi$.

Come si trovano gli asintoti verticali di una funzione tangente?

Poiché $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$, gli asintoti verticali si verificano ovunque il denominatore, $\cos(x)$, sia uguale a zero. Per la funzione di base, questo avviene in $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$. Per le funzioni trasformate, uguaglia l'argomento della funzione tangente a $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ e risolvi rispetto a $x$.

Qual è il codominio delle funzioni tangente e cotangente?

A differenza di seno e coseno, che sono limitate, il codominio di entrambe le funzioni tangente e cotangente è l'insieme di tutti i numeri reali: $(-\infty, \infty)$.

Come disegnare i grafici delle funzioni tangente e cotangente

Questa pagina spiega come tracciare e rappresentare graficamente le funzioni tangente e cotangente nella forma:

$$ y = a \tan \big[ k ( x - d) \big] \quad \text{e} \quad y = a \cot \big[ k ( x - d) \big] $$

Di seguito vengono forniti esempi dettagliati per aiutare gli studenti a comprenderne il comportamento, gli asintoti e le trasformazioni dei grafici.

Parametri del grafico di $y = \tan(x)$ e $y = \cot(x)$

Codominio: $ (- \infty , +\infty) $

Periodo: $ \pi $ (Nota: Questo è diverso da seno e coseno che hanno un periodo di base di $2\pi$)

Spostamento orizzontale (Traslazione): $d$. Il grafico si sposta a sinistra se $(- d)$ è positivo, e a destra se $(- d)$ è negativo.

Asintoti verticali della tangente: Si verificano in corrispondenza degli zeri del coseno, dati da:

$$ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Asintoti verticali della cotangente: Si verificano in corrispondenza degli zeri del seno, dati da:

$$ x = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Identità: Per comprendere le proprietà chiave di queste funzioni, ricordiamo le identità del quoziente:

$$ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{e} \quad y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

1) $ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} $

Tutti gli zeri di $\sin(x)$ corrispondono agli zeri di $\tan(x)$. Tutti gli zeri di $\cos(x)$, che compaiono al denominatore, corrispondono agli asintoti verticali di $\tan(x)$.

2) $ y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $

Tutti gli zeri di $\cos(x)$ corrispondono agli zeri di $\cot(x)$. Tutti gli zeri di $\sin(x)$, che si trovano al denominatore, corrispondono agli asintoti verticali di $\cot(x)$.

Tracciamento di funzioni tangente e cotangente: Esempi con soluzioni dettagliate

Esempio 1: Rappresentazione grafica di una funzione tangente trasformata

Traccia il grafico di $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ su un periodo.

Soluzione:

Parametri del grafico

Codominio: $(- \infty , +\infty)$

Periodo: Si calcola utilizzando il periodo di base della tangente $\pi$:

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{2} $$

Asintoti verticali: Si verificano dove l'argomento della funzione tangente è uguale agli asintoti di base $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$:

$$ 2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi $$

Che si semplifica in:

$$ 2x = k\pi \implies x = \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Spostamento orizzontale: Lo spostamento orizzontale dovuto a $\dfrac{\pi}{2}$ permette di riscrivere la funzione mettendo in evidenza il $2$:

$$ y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right] $$

Ciò significa che il grafico si sposta di $\dfrac{\pi}{4}$ unità verso sinistra.

Due passaggi per tracciare il grafico della funzione $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$:

1) Traccia $\tan(2x)$ su un periodo da $0$ a $\dfrac{\pi}{2}$ (grafico blu sotto).

2) Quindi traccia $y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right]$ traslando il grafico precedente di $\dfrac{\pi}{4}$ verso sinistra (grafico rosso sotto), facendo in modo che il periodo inizi a $- \dfrac{\pi}{4}$ e termini a $\dfrac{\pi}{4}$, che è un periodo completo di $\dfrac{\pi}{2}$.

Esempio 2: Rappresentazione grafica di una funzione cotangente trasformata

Traccia il grafico di $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$ su un periodo.

Soluzione:

Parametri del grafico

Codominio: $(- \infty , +\infty)$

Periodo: Si calcola utilizzando il periodo di base della cotangente $\pi$:

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{4} $$

Asintoti verticali: Si trovano risolvendo per quando l'argomento della funzione cotangente è uguale a $k\pi$:

$$ 4x - \dfrac{\pi}{4} = k \pi $$

Il che dà:

$$ 4x = k\pi + \dfrac{\pi}{4} \implies x = \dfrac{k \pi + \dfrac{\pi}{4}}{4}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Spostamento orizzontale: Lo spostamento orizzontale dovuto a $- \dfrac{\pi}{4}$ può essere identificato mettendo in evidenza il $4$:

$$ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] $$

Questo rappresenta uno spostamento di $\dfrac{\pi}{16}$ unità verso destra.

Due passaggi per tracciare il grafico della funzione $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$:

1) Inizia tracciando $\cot(4x)$ su un periodo da $0$ a $\dfrac{\pi}{4}$ (grafico blu).

2) Quindi traccia $y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right]$ traslando il grafico di $\dfrac{\pi}{16}$ verso destra (grafico rosso sotto), facendo in modo che il periodo inizi a $\dfrac{\pi}{16}$ e termini a $\dfrac{5\pi}{16}$, che è un periodo completo.

Disegnare i grafici delle funzioni tangente e cotangente

Parametri del grafico di $y = \tan(x)$ e $y = \cot(x)$

1) $ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} $

2) $ y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $

Tracciamento di funzioni tangente e cotangente: Esempi con soluzioni dettagliate

Altri riferimenti e link