Risolvere equazioni con funzioni trigonometriche inverse

Risolvi rispetto a $x$ l'equazione $3 \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}$.

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Soluzione:

Dividi entrambi i lati dell'equazione per 3.

$$ \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{6} $$

Applica $\sin$ a entrambi i lati e semplifica.

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $$

Quanto sopra si semplifica in

$$ x = \dfrac{1}{2} $$

A causa del dominio di $\arcsin(x)$, dobbiamo verificare che la soluzione ottenuta sia valida.

Verifica della soluzione:

Per $x = \dfrac{1}{2}$

• Membro destro dell'equazione: $3 \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$
• Membro sinistro dell'equazione: $\dfrac{\pi}{2}$

La soluzione della suddetta equazione è $x = \dfrac{1}{2}$.

L'approssimazione grafica della soluzione all'equazione data è mostrata di seguito. La coordinata x del punto di intersezione dei grafici che compongono il lato sinistro e il lato destro dell'equazione data è $0.5$, che è la soluzione trovata analiticamente.

Risolvi rispetto a $x$ l'equazione $3 \cot(\arccos(x)) = 2$.

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Soluzione:

Dividi entrambi i lati dell'equazione data per 3 e semplifica.

$$ \cot(\arccos(x)) = \dfrac{2}{3} $$

Sia $A = \arccos(x)$ e applica $\cos$ a entrambi i lati per ottenere.

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

Utilizzando la definizione di $A$ precedente, l'equazione può essere scritta come

$$ \cot(A) = \dfrac{2}{3} $$

Usa $\cot(A) = \dfrac{2}{3}$ per costruire un triangolo rettangolo e trovare $\cos(A)$. Trova prima l'ipotenusa $h$.

$$ h = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $$

Ora usiamo lo stesso triangolo mostrato sopra per trovare $\cos(A)$.

$$ x = \cos(A) = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.55 $$

L'approssimazione grafica della soluzione all'equazione data è mostrata di seguito.

Risolvi rispetto a $x$ l'equazione $\arcsin(x) = \arccos(x)$.

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Soluzione:

Applica la funzione $\sin$ a entrambi i lati.

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin(\arccos(x)) $$

Semplifica il lato sinistro usando l'identità $\sin(\arcsin(A)) = A$.

$$ x = \sin(\arccos(x)) $$

Sia $A = \arccos(x)$, allora $\cos(A) = x$. Usando la trigonometria del triangolo rettangolo (o l'identità pitagorica):

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

Usa quanto sopra per riscrivere l'equazione data in forma algebrica.

$$ x = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

Eleva al quadrato entrambi i lati.

$$ x^2 = 1 - x^2 $$

$$ 2x^2 = 1 $$

$$ x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} $$

A causa del dominio della funzione arccos e del fatto che abbiamo elevato al quadrato entrambi i lati dell'equazione, dobbiamo verificare le soluzioni ed eliminare quelle non valide (estranee).

Verifica della soluzione:

1) Per $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• Lato sinistro: $\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$
• Lato destro: $\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$

$\implies x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ è una soluzione all'equazione data.

2) Per $x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• Lato sinistro: $\arcsin\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{\pi}{4}$
• Lato destro: $\arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3\pi}{4}$

$\implies x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ non è una soluzione all'equazione data.

L'approssimazione grafica della soluzione all'equazione data è mostrata di seguito. La coordinata x del punto di intersezione $0.71$ è vicina a $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Risolvi rispetto a $x$ l'equazione $\arccos(x) = \arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}$.

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Soluzione:

Applica la funzione $\cos$ a entrambi i lati.

$$ \cos(\arccos(x)) = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$

Semplifica il lato sinistro usando l'identità $\cos(\arccos(A)) = A$.

$$ x = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$

Sviluppa il lato destro usando l'identità degli archi sommati $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.

$$ x = \cos(\arcsin(x))\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(\arcsin(x))\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) $$

Usa i valori noti: $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, $\sin(\arcsin(x)) = x$ e $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$.

$$ x = \cos(\arcsin(x)) \cdot 0 - x \cdot 1 $$

$$ x = -x $$

$$ 2x = 0 $$

$$ x = 0 $$

Verifica della soluzione:

• Lato sinistro: $\arccos(0) = \dfrac{\pi}{2}$
• Lato destro: $\arcsin(0) + \dfrac{\pi}{2} = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$

$x = 0$ è una soluzione valida per l'equazione data.

L'approssimazione grafica della soluzione all'equazione data è mostrata di seguito. La coordinata x del punto di intersezione è pari a $0$, esattamente come il valore calcolato analiticamente sopra.

Risolvi rispetto a $x$ l'equazione $\arccos(2x) = \dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)$.

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Soluzione:

Applica la funzione coseno a entrambi i lati.

$$ \cos(\arccos(2x)) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) $$

Semplifica il lato sinistro usando l'identità inversa e sviluppa il lato destro usando la formula degli archi sommati.

Lato sinistro: $\cos(\arccos(2x)) = 2x$

Lato destro:

$$ \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(\arccos(x)) - \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(\arccos(x)) $$

$$ = \dfrac{1}{2}x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$

Uguagliando entrambi i lati, riscrivi l'equazione con il radicale isolato sul lato destro.

$$ 2x = \dfrac{x}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$

$$ \dfrac{3x}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} $$

Eleva al quadrato entrambi i lati.

$$ \dfrac{9x^2}{4} = \dfrac{3}{4}(1 - x^2) $$

Moltiplica per 4 per eliminare i denominatori:

$$ 9x^2 = 3(1 - x^2) $$

$$ 9x^2 = 3 - 3x^2 $$

$$ 12x^2 = 3 $$

$$ x^2 = \dfrac{1}{4} $$

$$ x = \pm \dfrac{1}{2} $$

Verifica della soluzione:

1) Per $x = \dfrac{1}{2}$

• Lato sinistro: $\arccos\left(2 \cdot \dfrac{1}{2}\right) = \arccos(1) = 0$
• Lato destro: $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$

$\implies x = \dfrac{1}{2}$ NON è una soluzione.

2) Per $x = -\dfrac{1}{2}$

• Lato sinistro: $\arccos\left(2 \cdot -\dfrac{1}{2}\right) = \arccos(-1) = \pi$
• Lato destro: $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi$

$\implies x = -\dfrac{1}{2}$ è una soluzione valida per l'equazione data.

L'approssimazione grafica della soluzione all'equazione data è mostrata di seguito. Il punto di intersezione ha una coordinata x pari a $-0.5$, che è esattamente la soluzione trovata analiticamente.