Esempi di risoluzione di disuguaglianze razionali con soluzioni

Risolvi la disuguaglianza:

$$ \dfrac{x-2}{x+1} \ge 0 $$

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Soluzione:

Passo 1: Identificare i punti critici (zeri del numeratore e del denominatore)

I punti critici si verificano dove l'espressione è zero o non definita.

• Numeratore: $x - 2 = 0 \implies x = 2$
• Denominatore: $x + 1 = 0 \implies x = -1$

Quindi i punti critici sono: $x = -1$ (non definito) e $x = 2$ (zero).

Passo 2: Dividere la retta numerica in intervalli

Usa i punti critici per dividere la retta numerica:

• Intervallo 1: $(-\infty, -1)$
• Intervallo 2: $(-1, 2)$
• Intervallo 3: $(2, \infty)$

Passo 3: Testare un punto in ciascun intervallo

Scegli un valore in ciascun intervallo e testa il segno dell'espressione.

Intervallo 1: $x = -2$

$$ \dfrac{-2 - 2}{-2 + 1} = \dfrac{-4}{-1} = 4 > 0 \quad (\text{Positivo}) $$

Intervallo 2: $x = 0$

$$ \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = \dfrac{-2}{1} = -2 < 0 \quad (\text{Negativo}) $$

Intervallo 3: $x = 3$

$$ \dfrac{3 - 2}{3 + 1} = \dfrac{1}{4} > 0 \quad (\text{Positivo}) $$

Passo 4: Includere o escludere i punti critici

$x = -1$ rende il denominatore zero ed è quindi escluso.

$x = 2$ rende il numeratore zero, il che soddisfa $\ge 0$ ed è quindi incluso.

Risultato finale: L'insieme delle soluzioni della disuguaglianza data è:

$$ (-\infty, -1) \cup [2, \infty) $$

Risolvi la disuguaglianza:

$$ \dfrac{x+1}{x+3} \le 2 $$

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Soluzione:

Passo 1: Riscrivere la disuguaglianza con zero su un lato

$$ \dfrac{x + 1}{x + 3} - 2 \le 0 $$

Riscrivi con un denominatore comune:

$$ \dfrac{x + 1 - 2(x + 3)}{x + 3} \le 0 $$

Semplifica il numeratore:

$$ \dfrac{x + 1 - 2x - 6}{x + 3} = \dfrac{-x - 5}{x + 3} $$

Quindi la disuguaglianza diventa:

$$ \dfrac{-x - 5}{x + 3} \le 0 $$

Passo 2: Identificare i punti critici

• Numeratore: $-x - 5 = 0 \implies x = -5$
• Denominatore: $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Quindi i punti critici sono: $x = -5$ (zero) e $x = -3$ (non definito).

Passo 3: Dividere la retta numerica in intervalli

• Intervallo 1: $(-\infty, -5)$
• Intervallo 2: $(-5, -3)$
• Intervallo 3: $(-3, \infty)$

Passo 4: Testare un punto in ciascun intervallo

Intervallo 1: $x = -6$

$$ \dfrac{-(-6) - 5}{-6 + 3} = \dfrac{6 - 5}{-3} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} < 0 $$

Intervallo 2: $x = -4$

$$ \dfrac{-(-4) - 5}{-4 + 3} = \dfrac{4 - 5}{-1} = \dfrac{-1}{-1} = 1 > 0 $$

Intervallo 3: $x = 0$

$$ \dfrac{-0 - 5}{0 + 3} = \dfrac{-5}{3} < 0 $$

Passo 5: Includere o escludere i punti critici

$x = -3$ rende il denominatore zero ed è quindi escluso.

$x = -5$ rende il numeratore zero, il che soddisfa $\le 0$ ed è quindi incluso.

Risultato finale: L'insieme delle soluzioni della disuguaglianza data è:

$$ (-\infty, -5] \cup (-3, \infty) $$

Risolvi la disuguaglianza:

$$ \dfrac{4x^2+5x-9}{x^2-x-6} \ge 0 $$

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Soluzione:

Passo 1: Scomporre in fattori numeratore e denominatore

$$ 4x^2 + 5x - 9 = (4x + 9)(x - 1) $$

$$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

Quindi la disuguaglianza diventa:

$$ \dfrac{(4x + 9)(x - 1)}{(x - 3)(x + 2)} \ge 0 $$

Passo 2: Identificare i punti critici

Numeratore:

• $4x + 9 = 0 \implies x = -\dfrac{9}{4}$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$

Denominatore:

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Quindi i punti critici sono: $x = -\dfrac{9}{4}, x = -2, x = 1, x = 3$.

Passo 3: Disporre i punti critici sulla retta numerica

Da sinistra a destra sulla retta numerica: $-\infty, -\dfrac{9}{4}, -2, 1, 3, +\infty$. Quindi gli intervalli sono:

• Intervallo 1: $(-\infty, -\dfrac{9}{4})$
• Intervallo 2: $(-\dfrac{9}{4}, -2)$
• Intervallo 3: $(-2, 1)$
• Intervallo 4: $(1, 3)$
• Intervallo 5: $(3, \infty)$

Passo 4: Testare un punto in ciascun intervallo

Intervallo 1: $x = -3$

$$ \dfrac{(4(-3) + 9)(-3 - 1)}{(-3 - 3)(-3 + 2)} = \dfrac{(-3)(-4)}{(-6)(-1)} = \dfrac{12}{6} = 2 > 0 $$

Intervallo 2: $x = -2.1$

$$ \dfrac{(4(-2.1) + 9)(-2.1 - 1)}{(-2.1 - 3)(-2.1 + 2)} \approx -3.64705\dots < 0 $$

Intervallo 3: $x = 0$

$$ \dfrac{(4(0) + 9)(0 - 1)}{(0 - 3)(0 + 2)} = \dfrac{(9)(-1)}{(-3)(2)} = \dfrac{-9}{-6} = 1.5 > 0 $$

Intervallo 4: $x = 2$

$$ \dfrac{(4(2) + 9)(2 - 1)}{(2 - 3)(2 + 2)} = \dfrac{(17)(1)}{(-1)(4)} = \dfrac{17}{-4} = -4.25 < 0 $$

Intervallo 5: $x = 4$

$$ \dfrac{(4(4) + 9)(4 - 1)}{(4 - 3)(4 + 2)} = \dfrac{(25)(3)}{(1)(6)} = \dfrac{75}{6} > 0 $$

Passo 5: Includere o escludere i punti critici

• $x = -\dfrac{9}{4}$ e $x = 1$ $\to$ zeri del numeratore $\to$ soddisfano $\ge 0$ $\to$ inclusi
• $x = -2$ e $x = 3$ $\to$ rendono il denominatore zero $\to$ esclusi

Passo 6: Determinare dove l'espressione è $\ge 0$

• $(-\infty, -\dfrac{9}{4}]$: positivo $\to$ incluso
• $(-\dfrac{9}{4}, -2)$: negativo $\to$ escluso
• $(-2, 1]$: positivo $\to$ incluso
• $(1, 3)$: negativo $\to$ escluso
• $(3, \infty)$: positivo $\to$ incluso

Risultato finale:

$$ (-\infty, -\dfrac{9}{4}] \cup (-2, 1] \cup (3, \infty) $$

Risolvi la disuguaglianza:

$$ \dfrac{x^3+1}{x^2-9} < 0 $$

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Soluzione:

Passo 1: Scomporre in fattori l'espressione

• Numeratore: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
• Denominatore: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Quindi la disuguaglianza diventa:

$$ \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} < 0 $$

Passo 2: Identificare i punti critici

• $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Nota: $x^2 - x + 1$ non ha radici reali perché il suo discriminante è negativo ($\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$). Inoltre, poiché il coefficiente principale è positivo, questo termine è sempre positivo per ogni $x$ reale e non influisce sul grafico dei segni.

Quindi i punti critici sono: $x = -3$ (non definito), $x = -1$ (zero), $x = 3$ (non definito).

Passo 3: Dividere la retta numerica in intervalli

• Intervallo 1: $(-\infty, -3)$
• Intervallo 2: $(-3, -1)$
• Intervallo 3: $(-1, 3)$
• Intervallo 4: $(3, \infty)$

Passo 4: Testare un punto in ciascun intervallo

Intervallo 1: $x = -4$

$$ \dfrac{(-3)(21)}{(-7)(-1)} = \dfrac{-63}{7} = -9 < 0 $$

Intervallo 2: $x = -2$

$$ \dfrac{(-1)(7)}{(-5)(1)} = \dfrac{-7}{-5} = \dfrac{7}{5} > 0 $$

Intervallo 3: $x = 0$

$$ \dfrac{(1)(1)}{(-3)(3)} = \dfrac{1}{-9} < 0 $$

Intervallo 4: $x = 4$

$$ \dfrac{(5)(13)}{(1)(7)} = \dfrac{65}{7} > 0 $$

Passo 5: Includere o escludere i punti critici

$x = -3$ e $x = 3$ rendono il denominatore zero e sono quindi esclusi.

$x = -1$ rende il numeratore zero, il che non soddisfa $< 0$ (disuguaglianza stretta) ed è quindi escluso.

Risultato finale: L'insieme delle soluzioni della disuguaglianza data è:

$$ (-\infty, -3) \cup (-1, 3) $$

Risolvi graficamente:

$$ \dfrac{x + 2}{x - 1} \ge \ln(x + 1) $$

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Soluzione:

Traccia i due lati della disuguaglianza e approssima le coordinate dei punti di intersezione dei due grafici; quindi determina gli intervalli in cui $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ è maggiore o uguale a $\ln(x + 1)$.

$\ln(x + 1)$ è definita per $x > -1$, quindi qualsiasi insieme di soluzioni deve soddisfare $x > -1$. La funzione $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ ha un asintoto verticale in $x = 1$.

Dai grafici, $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ (verde) è maggiore o uguale a $\ln(x + 1)$ (rosso) per:

$$ (-1, -0.59] \cup (1, 4.88] $$

Risolvi la doppia disuguaglianza razionale:

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 $$

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Soluzione:

Una doppia disuguaglianza deve essere risolta dividendola in due disuguaglianze separate. La soluzione finale è l'intersezione (sovrapposizione) dei due insiemi di soluzioni.

Parte 1: Disuguaglianza sinistra

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \implies 0 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} + 1 $$

Trova un denominatore comune:

$$ 0 < \dfrac{2x - 1 + x + 2}{x + 2} \implies \dfrac{3x + 1}{x + 2} > 0 $$

Punti critici: $x = -\dfrac{1}{3}$ e $x = -2$.

Il grafico dei segni per $(-\infty, -2)$, $(-2, -1/3)$, $(-1/3, \infty)$ produce risultati positivi sugli intervalli esterni.

Insieme di soluzioni 1: $(-\infty, -2) \cup (-\dfrac{1}{3}, \infty)$

Parte 2: Disuguaglianza destra

$$ \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 \implies \dfrac{2x - 1}{x + 2} - 3 \le 0 $$

Trova un denominatore comune:

$$ \dfrac{2x - 1 - 3(x + 2)}{x + 2} \le 0 \implies \dfrac{-x - 7}{x + 2} \le 0 $$

Punti critici: $x = -7$ e $x = -2$.

Il grafico dei segni per $(-\infty, -7)$, $(-7, -2)$, $(-2, \infty)$ produce risultati negativi sugli intervalli esterni. Includiamo $-7$ a causa del segno $\le$.

Insieme di soluzioni 2: $(-\infty, -7] \cup (-2, \infty)$

Intersezione:

Dobbiamo trovare dove la Soluzione 1 E la Soluzione 2 si sovrappongono.

• I lati sinistri si sovrappongono da $(-\infty, -7]$.
• I lati destri si sovrappongono da $(-\dfrac{1}{3}, \infty)$.

Risultato finale:

$$ (-\infty, -7] \cup \left(-\dfrac{1}{3}, \infty\right) $$

Risolvi la disuguaglianza:

$$ \dfrac{(x - 3)^2 (x + 1)}{(x - 2)^3} \le 0 $$

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Soluzione:

Questo problema introduce il concetto di molteplicità. Quando un fattore è elevato al quadrato (o ha una qualsiasi potenza pari), il segno dell'espressione non cambierà attraversando quel punto critico. Quando un fattore ha una potenza dispari, il segno cambierà.

Passo 1: Identificare i punti critici

• Numeratore: $x = 3$ (molteplicità pari), $x = -1$ (molteplicità dispari)
• Denominatore: $x = 2$ (molteplicità dispari, escluso)

Passo 2: Grafico dei segni

Intervalli da testare: $(-\infty, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, \infty)$

• Test $x = -2$: $\dfrac{(+)(-)}{(-)} = (+) > 0$
• Test $x = 0$: $\dfrac{(+)(+)}{(-)} = (-) \le 0$ (Questo intervallo funziona)
• Test $x = 2.5$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$
• Test $x = 4$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$ (Nota che il segno non è cambiato attraversando $x=3$)

Passo 3: Analizzare i punti estremi

Ci serve dove la funzione è negativa O esattamente zero.

• L'intervallo $(-1, 2)$ è negativo.
• $x = -1$ la rende zero (Incluso).
• $x = 2$ la rende indefinita (Escluso).
• $x = 3$ la rende zero (Incluso).

Anche se l'intervallo intorno a $3$ è positivo, il punto esatto $x=3$ produce $0$, il che soddisfa $\le 0$. Questo crea un punto di soluzione isolato.

Risultato finale:

$$ [-1, 2) \cup \{3\} $$