Esploratore Interattivo di Gradiente e Mappe di Contorno

Il gradiente di una funzione a due variabili $f(x,y)$, indicato con $\nabla f(x,y)$, è il vettore delle derivate parziali: \[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right). \] Quindi, si differenzia $f(x,y)$ rispetto a $x$ trattando $y$ come costante, e poi rispetto a $y$ trattando $x$ come costante.

Interpretazione del Gradiente

• È un vettore che punta nella direzione di massimo aumento della funzione.
• La sua magnitudine indica quanto è ripido l'aumento.
• In un punto $(x_0, y_0)$, il vettore gradiente è:

\[ \nabla f(x_0,y_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \right). \] Questo strumento interattivo ti permette di visualizzare la relazione tra una superficie 3D, la sua mappa di contorno e il campo vettoriale del gradiente. Esplora come il vettore gradiente punta sempre nella direzione di massima pendenza ed è perpendicolare alle linee di livello. Puoi personalizzare la funzione, i limiti del dominio e le opzioni di visualizzazione per comprendere meglio i concetti del calcolo multivariabile.