Visualizzatore del Teorema di De Moivre | Laboratorio Numeri Complessi

Teorema di De Moivre

Il Teorema di De Moivre è un risultato fondamentale nella teoria dei numeri complessi che collega i numeri complessi con la trigonometria. Fornisce un metodo potente per calcolare potenze e radici di numeri complessi.

Il Teorema

Per qualsiasi numero complesso in forma polare e qualsiasi numero intero n:

\[ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \]

Applicazioni

• Calcolo di Potenze: Il teorema semplifica l'elevazione di numeri complessi a potenze intere moltiplicando il modulo per se stesso n volte e moltiplicando l'argomento per n.
• Calcolo di Radici: Il teorema può essere esteso per trovare le radici n-esime di un numero complesso usando la formula:

\[ \sqrt[n]{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) \]

per \( k = 0, 1, 2, ..., n-1 \) che dà le \( n \) radici: \( \; w_0, \; w_1, ..., \; w_{n-1} \)

Come Usare Questo Strumento

• Inserisci le parti reale e immaginaria del tuo numero complesso
• Scegli se calcolare potenze o radici
• Imposta l'esponente (per le potenze) o il grado della radice (per le radici)
• Clicca "Calcola & Visualizza" per vedere i risultati
• Usa i controlli di zoom per regolare la visualizzazione del piano complesso

La visualizzazione mostra il numero complesso originale e le sue potenze o radici calcolate sul piano complesso, con gli angoli misurati in senso antiorario dall'asse reale positivo per angoli positivi e in senso orario per angoli negativi.