Domande e problemi di algebra per la classe 6 con soluzioni dettagliate. Gli argomenti includono lo sviluppo e la semplificazione di espressioni, la risoluzione di equazioni lineari, la scomposizione in fattori di espressioni, il calcolo di MCD e mcm, frazioni e percentuali.
Elenca tutti i termini simili inclusi in ciascuna delle espressioni fornite di seguito.
A) \(6x + 5 + 12x - 6\)
B) \(2x^2 - 4 + 9x^2 + 9\)
C) \( \dfrac{x}{5} + \dfrac{x}{7} + 7 \)
D) \(0.2x + 1.2x + \dfrac{x}{2} + 5\)
E) \(5x - 8 + 7x - 2x^2 - 4 + 9x^2 + 4x^3\)
F) \(5a + 8 - 7ab\)
G) \(5ab + 8 + 6ba - a + 3b\)
A) I termini \(6x\) e \(12x\) hanno la stessa variabile \(x\) con esponenti uguali a 1 e sono quindi termini simili.
I termini \(5\) e \(-6\) sono numeri e quindi termini simili.
B) I termini \(2x^2\) e \(9x^2\) hanno la stessa variabile \(x\) con esponenti uguali a 2, sono termini simili.
I termini \(-4\) e \(+9\) sono numeri e quindi termini simili.
C) I termini \(\dfrac{x}{5}\) e \(\dfrac{x}{7}\) hanno la stessa variabile con esponenti uguali a 1, sono termini simili.
D) I termini \(0.2x\), \(1.2x\) e \(\dfrac{x}{2}\) hanno la stessa variabile \(x\) con esponenti uguali a 1; sono termini simili.
E) I termini \(5x\) e \(7x\) sono termini simili.
I termini \(-8\) e \(-4\) sono termini simili.
I termini \(-2x^2\) e \(+9x^2\) sono termini simili.
F) Non ci sono termini simili in questa espressione.
G) I termini \(5ab\) e \(6ba\) sono termini simili.
Valuta ciascuna delle espressioni per il/i valore/i dato/i della/e variabile/i.
A) \(6x + 5\) per \(x = 2\)
B) \(12x^2 + 5x - 2\) per \(x = 1\)
C) \(2(x + 7) + x\) per \(x = 0\)
D) \(2a + 3b - 7\) per \(a = 2\) e \(b = 4\)
A) \(6(2) + 5 = 12 + 5 = 17\)
B) \(12(1)^2 + 5(1) - 2 = 12(1) + 5 - 2 = 12 + 5 - 2 = 15\)
C) \(2(0 + 7) + 0 = 2(7) = 14\)
D) \(2(2) + 3(4) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9\)
Sviluppa (se necessario) e semplifica ciascuna delle espressioni sottostanti.
A) \(3x + 5x\)
B) \(2(x + 7) + x\)
C) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)
D) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)
A) \(3x + 5x\)
\(= (3 + 5)x\), raccogli \(x\) a fattor comune
\(= 8x\), semplifica
B) \(2(x + 7) + x\)
\(= 2(x) + 2(7) + x = 2x + 14 + x\), sviluppa e semplifica
\(= (2x + x) + 14\), raggruppa i termini simili
\(= (2 + 1)x + 14 = 3x + 14\), semplifica
C) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)
\(= 2(x) + 2(3) + 3(x) + 3(5) + 3 = 2x + 6 + 3x + 15 + 3\), sviluppa e semplifica
\(= (2x + 3x) + (6 + 15 + 3)\), raggruppa i termini simili
\(= (2 + 3)x + 24 = 5x + 24\), semplifica
D) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)
\(= 2(a) + 2(1) + 5b + 3(a) + 3(b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\), sviluppa e semplifica
\(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3)\), raggruppa i termini simili
\(= (2 + 3)a + (5 + 3)b + 5 = 5a + 8b + 5\), semplifica
Scomponi in fattori ciascuna delle espressioni sottostanti trovando il massimo comun divisore.
A) \(3x + 3\)
B) \(8x + 4\)
C) \(ax + 3a\)
D) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)
E) \(x + 2 + bx + 2b\)
A) \(3x + 3\)
\(= 3(x) + 3(1)\), 3 è un fattore comune
\(= 3(x + 1)\), forma fattorizzata
B) \(8x + 4\)
\(= 4(2)(x) + 4\), scrivi 8 come 4(2)
\(= 4(2x) + 4(1)\), 4 è un fattore comune
\(= 4(2x + 1)\), forma fattorizzata
C) \(ax + 3a\), a è un fattore comune
\(= a(x + 3)\), forma fattorizzata
D) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)
\(= (x + 1)(y) + (x + 1)(4)\), x + 1 è un fattore comune
\(= (x + 1)(y + 4)\), forma fattorizzata
E) \(x + 2 + bx + 2b\)
\(= (x + 2) + b(x + 2)\), raccogli b in bx + 2b
\(= (x + 2)(1) + (x + 2)b\), x + 2 è ora un fattore comune
\(= (x + 2)(1 + b)\), forma fattorizzata
Risolvi ciascuna delle equazioni sottostanti e verifica la risposta.
A) \(x + 5 = 8\)
B) \(2x = 4\)
C) \(\dfrac{x}{3} = 2\)
D) \(0.2x = 1\)
E) \(3x + 6 = 12\)
F) \(3(x + 2) + 2 = 8\)
A) \(x + 5 = 8\)
\(x + 5 - 5 = 8 - 5\), sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione
\(x = 3\), semplifica e risolvi per x
Sostituisci \(x\) con 3 (soluzione trovata sopra) in entrambi i lati dell'equazione data:
Membro destro: \(3 + 5 = 8\)
Membro sinistro = \(8\)
\(x = 3\) è la soluzione dell'equazione data.
B) \(2x = 4\)
\(\dfrac{2x}{2} = \dfrac{4}{2}\), dividi entrambi i lati per 2
\(x = 2\), semplifica e risolvi per x
Sostituisci \(x\) con 2 (soluzione trovata sopra) in entrambi i lati dell'equazione data:
Membro destro: \(2(2) = 4\)
Membro sinistro = \(4\)
\(x = 2\) è la soluzione dell'equazione data.
C) \(\dfrac{x}{3} = 2\)
\(3(\dfrac{x}{3}) = 3(2)\), moltiplica entrambi i lati per 3
\(x = 6\), semplifica e risolvi per x
Sostituisci \(x\) con 6 (soluzione trovata sopra) in entrambi i lati dell'equazione data:
Membro destro: \(\dfrac{6}{3} = 2\)
Membro sinistro = \(2\)
\(x = 6\) è la soluzione dell'equazione data.
D) \(0.2x = 1\)
\(x = \dfrac{1}{0.2}\), dividi entrambi i lati per 0.2
\(x = 5\)
E) \(3x + 6 = 12\)
\(3x = 12 - 6 = 6\), sottrai 6 da entrambi i lati
\(x = \dfrac{6}{3} = 2\), dividi per 3
F) \(3(x + 2) + 2 = 8\)
\(3(x + 2) = 8 - 2 = 6\), sottrai 2 da entrambi i lati
\(x + 2 = \dfrac{6}{3} = 2\), dividi per 3
\(x = 2 - 2 = 0\), sottrai 2
Ci sono \(n\) scatole in una grande borsa e \(m\) giocattoli in ogni scatola. Qual è il numero totale di giocattoli nella borsa?
Per trovare il totale, moltiplica il numero di scatole per il numero di giocattoli per scatola:
$$\text{Giocattoli totali} = n \times m = nm$$
Riscrivi l'espressione \(a \times a \times a - b \times b\) usando gli esponenti.
Moltiplicare una variabile per se stessa è rappresentato da un esponente:
$$a \times a \times a = a^3$$
$$b \times b = b^2$$
L'espressione è: $$a^3 - b^2$$
La lunghezza di un rettangolo è data da \(x + 2\) e la sua larghezza è uguale a 3. Fornisci un'espressione semplificata dell'area di questo rettangolo.
L'area di un rettangolo è Lunghezza \(\times\) Larghezza:
$$\text{Area} = 3(x + 2)$$
Sviluppa l'espressione:
$$\text{Area} = 3x + 6$$
Due terzi degli studenti di una classe studiano matematica e i restanti otto studenti non studiano matematica. Qual è il numero totale di studenti in questa classe?
Se \(\dfrac{2}{3}\) della classe studia matematica, la frazione della classe che non studia matematica è:
$$1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$$
Ci viene detto che questo \(\dfrac{1}{3}\) della classe equivale a 8 studenti. Sia \(T\) il numero totale di studenti:
$$\dfrac{1}{3}T = 8$$
$$T = 8 \times 3 = 24$$
Ci sono 24 studenti in totale.
Un'auto percorre 60 chilometri in un'ora. Alla stessa velocità, quale distanza verrà coperta da questa auto in \(x\) ore?
La velocità è di \(60\) km/h. La distanza è la velocità moltiplicata per il tempo:
$$\text{Distanza} = 60 \times x = 60x \text{ chilometri}$$
Valuta le espressioni.
A) \(2^3 + 3^2\)
B) \(0.1^3\)
C) \(6 \times \dfrac{2}{3}\)
A) \(2^3 = 8\) e \(3^2 = 9\):
$$8 + 9 = 17$$
B) Moltiplica 0.1 per se stesso tre volte:
$$0.1 \times 0.1 \times 0.1 = 0.001$$
C) Moltiplica il numero intero per il numeratore e dividi per il denominatore:
$$\dfrac{6 \times 2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$$
Un sacchetto contiene tre palline rosse, cinque palline blu e sette palline verdi. Qual è il rapporto tra le palline blu e il numero totale di palline?
Innanzitutto, trova il numero totale di palline:
$$\text{Totale} = 3 + 5 + 7 = 15$$
Il rapporto tra le palline blu e il totale è:
$$\dfrac{5}{15}$$
Semplifica il rapporto dividendo numeratore e denominatore per 5:
$$\dfrac{1}{3}$$
Risolvi la proporzione: \(\dfrac{a}{3} = \dfrac{5}{18}\)
Moltiplica in croce per risolvere rispetto ad \(a\):
$$18a = 3 \times 5$$
$$18a = 15$$
$$a = \dfrac{15}{18}$$
Semplifica la frazione dividendo per 3:
$$a = \dfrac{5}{6}$$
Quale delle seguenti coppie ordinate è una soluzione dell'equazione \(2x + 3y = 8\)?
A) \((0, 0)\)
B) \((4, 0)\)
C) \((1, 2)\)
Verifica ciascuna coppia sostituendo i valori di x e y nell'equazione:
A) \(2(0) + 3(0) = 0 \neq 8\) (Errato)
B) \(2(4) + 3(0) = 8 + 0 = 8\). Attento! Guardiamo attentamente: \(2(4) = 8\). Quindi \((4,0)\) È una soluzione valida.
C) \(2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8\). Anche \((1,2)\) È una soluzione valida.
Nota di correzione: Sia (4,0) che (1,2) sono soluzioni corrette per questa equazione lineare.
Elenca tutti i fattori dei seguenti numeri.
A) \(4\)
B) \(12\)
C) \(50\)
A) Fattori di 4: \(1, 2, 4\)
B) Fattori di 12: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)
C) Fattori di 50: \(1, 2, 5, 10, 25, 50\)
Trova il massimo comun divisore (MCD) per ciascuna coppia dei numeri dati.
A) 6 e 3
B) 18 e 24
C) 50 e 60
A) Fattori di 3: 1, 3. Fattori di 6: 1, 2, 3, 6. L'MCD è 3.
B) Fattori di 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Fattori di 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. L'MCD è 6.
C) Fattori di 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50. Fattori di 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. L'MCD è 10.
Scrivi il numero "Seicentosettantadue milioni duecentocinquantanove" usando le cifre 0, 1, 2, ...9.
Scomponilo per periodi:
Uniscili: 672.000.259
Quali delle seguenti espressioni sono equivalenti?
A) \(2(x + 3) - 2\)
B) \(2x + 4\)
C) \(3(x + 3) - x - 5\)
Semplifica le espressioni A e C per confrontarle con B:
A) \(2(x + 3) - 2 = 2x + 6 - 2 = 2x + 4\)
C) \(3(x + 3) - x - 5 = 3x + 9 - x - 5 = 2x + 4\)
Tutte e tre le espressioni (A, B e C) si semplificano in \(2x + 4\), quindi sono tutte equivalenti.
Trova il minimo comune multiplo (mcm) per ciascuna coppia dei numeri dati.
A) 2 e 3
B) 7 e 14
C) 25 e 15
A) Multipli di 2: 2, 4, 6... Multipli di 3: 3, 6... Il mcm è 6.
B) Multipli di 7: 7, 14, 21... Poiché 14 è un multiplo di 7, il mcm è 14.
C) Multipli di 25: 25, 50, 75, 100... Multipli di 15: 15, 30, 45, 60, 75... Il mcm è 75.
Addiziona e/o sottrai e semplifica.
A) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\)
B) \(\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{7}\)
A) I denominatori sono uguali, quindi somma i numeratori:
$$\dfrac{1 + 2}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$$
B) Trova un denominatore comune (35):
$$\dfrac{2 \times 7}{5 \times 7} - \dfrac{1 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{14}{35} - \dfrac{5}{35} = \dfrac{9}{35}$$
Quanto fa \(\dfrac{2}{3}\) di 21?
Moltiplica la frazione per il numero intero:
$$\dfrac{2}{3} \times 21 = \dfrac{2 \times 21}{3} = \dfrac{42}{3} = 14$$
Metodo alternativo: Dividi 21 per 3 per ottenere 7, quindi moltiplica per 2 per ottenere 14.
Quanto fa il 40% di \(\dfrac{1}{4}\)?
Converti il 40% in una frazione o in un numero decimale. 40% = \(\dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5}\).
Ora moltiplica per \(\dfrac{1}{4}\):
$$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20}$$
Semplifica la frazione:
$$\dfrac{1}{10}$$ (o \(0.1\))
Quanto fa il 20% del 50%?
Converti le percentuali in numeri decimali o frazioni:
20% = 0.20
50% = 0.50
Moltiplicali:
$$0.20 \times 0.50 = 0.10$$
Riconverti in percentuale: 0.10 = 10%.
Quanti secondi ci sono in un'ora?
Ci sono 60 minuti in un'ora e 60 secondi in un minuto. Moltiplica per trovare i secondi totali:
$$60 \times 60 = 3.600 \text{ secondi}$$
Quanti minuti ci sono nel mese di gennaio?
Gennaio ha 31 giorni. Ci sono 24 ore in un giorno e 60 minuti in un'ora.
$$\text{Minuti totali} = 31 \times 24 \times 60$$
$$31 \times 1.440 = 44.640 \text{ minuti}$$
Qual è la posizione di ciascuno dei punti: \((-2, 0)\), \((0, 3)\) e \((-2, -3)\) in un piano cartesiano?
Ordina \(\dfrac{7}{5}\), \(\dfrac{12}{10}\), \(\dfrac{21}{20}\) e 111% dal più piccolo al più grande.
Converti tutti i valori in numeri decimali per un facile confronto:
Ora ordina i decimali dal più piccolo al più grande: \(1.05 < 1.11 < 1.20 < 1.40\).
Sostituendo con i valori originali si ottiene:
\(\dfrac{21}{20}\) , 111% , \(\dfrac{12}{10}\) , \(\dfrac{7}{5}\)