Proprietà distributiva: Sviluppare e scomporre in fattori espressioni algebriche - Classe 6

Esempi e domande per la classe 6 su come utilizzare la proprietà distributiva in algebra per sviluppare e scomporre in fattori le espressioni algebriche. Soluzioni e spiegazioni dettagliate sono presentate di seguito.

Usa la proprietà distributiva per sviluppare espressioni algebriche

Per i numeri reali \(a\), \(b\) e \(c\), la proprietà distributiva è data da:

a(b + c) = ab + ac

Valutiamo l'espressione numerica \(2(3+4)\) in due modi diversi.

Metodo 1: Usando l'ordine delle operazioni

Valuta prima le parentesi:

$$2(3+4) = 2(7) = 14$$

Metodo 2: Usando la proprietà distributiva

Distribuisci la moltiplicazione sull'addizione:

$$2(3+4) = (2)(3) + (2)(4) = 6 + 8 = 14$$

Entrambi i metodi danno lo stesso risultato. Tuttavia, quando sono coinvolte le variabili, non puoi semplicemente calcolare l'interno delle parentesi. La proprietà distributiva diventa essenziale.

Per esempio:

$$2(x+6) = (2)(x) + (2)(6) = 2x + 12$$

Poiché \(x\) è una variabile, non puoi semplificare direttamente \(x+6\); bisogna usare la proprietà distributiva per sviluppare l'espressione.

Usa la proprietà distributiva per scomporre in fattori espressioni algebriche

La proprietà distributiva può anche essere applicata al contrario per scomporre in fattori le espressioni. Cerchi un fattore comune in tutti i termini e lo porti fuori dalle parentesi.

ab + ac = a(b + c)

Esempio: Scomponi in fattori \(3x+6\)

Noti che sia \(3x\) che \(6\) condividono un fattore comune pari a \(3\):

$$3x+6 = 3(x) + 3(2)$$

Applicando la proprietà distributiva al contrario si ottiene:

$$3(x+2)$$

Domande di pratica

Domanda 1: Sviluppa le seguenti espressioni

  1. \(2(x+2)\)
  2. \(3(a+4)\)
  3. \(4(3+b)\)
  4. \(5(3+n)\)
  5. \(2(a+b)\)
  6. \(2(x+y+4)\)
  7. \((7+b)4\)
Visualizza le soluzioni per la Domanda 1

Moltiplica il termine esterno per ogni termine all'interno delle parentesi:

  1. \(2(x+2) = 2(x) + 2(2) = 2x + 4\)
  2. \(3(a+4) = 3(a) + 3(4) = 3a + 12\)
  3. \(4(3+b) = 4(3) + 4(b) = 12 + 4b\)
  4. \(5(3+n) = 5(3) + 5(n) = 15 + 5n\)
  5. \(2(a+b) = 2(a) + 2(b) = 2a + 2b\)
  6. \(2(x+y+4) = 2(x) + 2(y) + 2(4) = 2x + 2y + 8\)
  7. \((7+b)4 = 4(7) + 4(b) = 28 + 4b\)

Domanda 2: Sviluppa e semplifica

  1. \(3(x+1)+3\)
  2. \(5(1+n)+6\)
  3. \(5(a+2)+2(a+3)\)
  4. \(2(1+b)+6(b+2)+4\)
  5. \(2(a+b)+3(a+b)\)
Visualizza le soluzioni per la Domanda 2

Prima distribuisci, poi raggruppa e combina i termini simili:

  1. \(3(x+1)+3 = 3x + 3 + 3 = 3x + 6\)
  2. \(5(1+n)+6 = 5 + 5n + 6 = 5n + 11\)
  3. \(5(a+2)+2(a+3) = (5a + 10) + (2a + 6) = 7a + 16\)
  4. \(2(1+b)+6(b+2)+4 = (2 + 2b) + (6b + 12) + 4 = 8b + 18\)
  5. \(2(a+b)+3(a+b) = 2a + 2b + 3a + 3b = 5a + 5b\) (Nota: Puoi anche trattare \((a+b)\) come un'unica unità: \(2(a+b) + 3(a+b) = 5(a+b) = 5a + 5b\))

Domanda 3: Scomponi in fattori le seguenti espressioni

  1. \(2x+4\)
  2. \(3x+3\)
  3. \(4a+12\)
  4. \(21+7b\)
  5. \(15+5x\)
  6. \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\)
Visualizza le soluzioni per la Domanda 3

Identifica il massimo comun divisore in ciascun termine, quindi portalo fuori dalle parentesi:

  1. \(2x+4 = 2(x) + 2(2) = 2(x + 2)\)
  2. \(3x+3 = 3(x) + 3(1) = 3(x + 1)\)
  3. \(4a+12 = 4(a) + 4(3) = 4(a + 3)\)
  4. \(21+7b = 7(3) + 7(b) = 7(3 + b)\)
  5. \(15+5x = 5(3) + 5(x) = 5(3 + x)\)
  6. \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}(x) + \dfrac{1}{2}(1) = \dfrac{1}{2}(x + 1)\)

Altri riferimenti e link