Equazioni in una variabile - Classe 6

Un'equazione in matematica è un'affermazione secondo cui due espressioni matematiche sono uguali. Pertanto, un'equazione deve contenere un segno di uguale (=).

Dall'elenco fornito, solo i seguenti contengono un segno di uguale e sono quindi equazioni:

• b) \(x + 2 = 4\)
• c) \(8 = x\)
• e) \(\dfrac{x - 8}{3} = 9\)

Le altre (a, d, f) sono solo *espressioni* matematiche.

Secondo la definizione, un'equazione deve avere un segno di uguale. I seguenti non sono equazioni (sono espressioni):

• a) \(3x - 9\)
• d) \(8 \times x\)

Nota: L'opzione c (\(12 - 7 = 5\)) è un'equazione numerica e le opzioni b ed e sono equazioni algebriche.

Testiamo i valori di \(x\) sostituendoli nell'equazione \(\;2x - 4 = 4\; \) e confrontando entrambi i lati.

• Test per \(x = 0\):
  Membro sinistro: \(2(0) - 4 = -4\)
  Membro destro: \(4\)
  \(-4 \neq 4\) → Non è una soluzione.
• Test per \(x = 4\):
  Membro sinistro: \(2(4) - 4 = 8 - 4 = 4\)
  Membro destro: \(4\)
  \(4 = 4\) → \(x = 4\) è la soluzione corretta.

Verifica quali valori soddisfano \(\dfrac{x}{3} - 1 = 2\):

• a) \(x = -3\): Membro sinistro = \(\dfrac{-3}{3} - 1 = -1 - 1 = -2\). Membro destro = \(2\). Non è una soluzione.
• b) \(x = 6\): Membro sinistro = \(\dfrac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1\). Membro destro = \(2\). Non è una soluzione.
• c) \(x = -9\): Membro sinistro = \(\dfrac{-9}{3} - 1 = -3 - 1 = -4\). Membro destro = \(2\). Non è una soluzione.
• d) \(x = 9\): Membro sinistro = \(\dfrac{9}{3} - 1 = 3 - 1 = 2\). Membro destro = \(2\). Questa è la soluzione.

Per risolvere un'equazione, isoliamo \(x\) applicando l'operazione inversa a entrambi i lati del segno di uguale:

1. \(x - 6 = 12\)
   Aggiungi 6 a entrambi i lati: \(x = 12 + 6 \Rightarrow \mathbf{x = 18}\)
2. \(3 = x + 3\)
   Sottrai 3 da entrambi i lati: \(3 - 3 = x \Rightarrow \mathbf{x = 0}\)
3. \(2 + x = 8\)
   Sottrai 2 da entrambi i lati: \(x = 8 - 2 \Rightarrow \mathbf{x = 6}\)
4. \(2x = 16\)
   Dividi entrambi i lati per 2: \(x = \dfrac{16}{2} \Rightarrow \mathbf{x = 8}\)
5. \(\dfrac{x}{3} = 5\)
   Moltiplica entrambi i lati per 3: \(x = 5 \times 3 \Rightarrow \mathbf{x = 15}\)

Risolviamo entrambe le equazioni in ciascuna coppia e confrontiamo le loro soluzioni:

1. \(x = 2\) e \(2x = 4\) (che si semplifica in \(x=2\))
   Stesse soluzioni.
2. \(x + 3 = 6 \Rightarrow x = 3\)
   \(x + 4 = 8 \Rightarrow x = 4\)
   Soluzioni differenti.
3. \(\dfrac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4\)
   \(x = -4\)
   Soluzioni differenti.
4. \(3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
   \(x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3\)
   Stesse soluzioni.

Le coppie (a) e (d) hanno le stesse soluzioni.

Imposta l'equazione: \(2x + 6 = 12\)

Sottrai 6 da entrambi i lati: \(2x = 6\)

Dividi per 2: \(\mathbf{x = 3}\)

Verifica: \(2(3) + 6 = 6 + 6 = 12\) ✔

Imposta l'equazione: \(4x + 6 = 2 + 12\)

Semplifica il membro destro: \(4x + 6 = 14\)

Sottrai 6 da entrambi i lati: \(4x = 8\)

Dividi per 4: \(\mathbf{x = 2}\)

Verifica: \(4(2) + 6 = 8 + 6 = 14\) e \(2 + 12 = 14\) ✔

Traduci "somma" in addizione: \(d + 23 = 56\)

Sottrai 23 da entrambi i lati: \(d = 56 - 23\)

\(\mathbf{d = 33}\)

Traduci attentamente "sottratto da" (il 7 viene dopo la x): \(x - 7 = 41\)

Aggiungi 7 a entrambi i lati: \(x = 41 + 7\)

\(\mathbf{x = 48}\)

Traduci "prodotto" in moltiplicazione: \(6y = 36\)

Dividi entrambi i lati per 6: \(y = \dfrac{36}{6}\)

\(\mathbf{y = 6}\)

Traduci in un'equazione: \(\dfrac{b}{5} = 4\)

Moltiplica entrambi i lati per 5: \(b = 4 \times 5\)

\(\mathbf{b = 20}\)

Imposta l'equazione che rappresenta il totale delle loro carte: \(x + 23 = 121\)

Sottrai 23 da entrambi i lati: \(x = 121 - 23\)

\(\mathbf{x = 98}\) (Jacky ha 98 carte)

Sia \(c\) il contributo di Toby. Imposta l'equazione: \(34 + 45 + c = 123\)

Semplifica le costanti sul membro sinistro: \(79 + c = 123\)

Sottrai 79 da entrambi i lati: \(c = 123 - 79\)

\(\mathbf{c = 44}\) (Toby ha contribuito con $44)