Trovare fattori e multipli di numeri interi - Classe 6

Fattori

Divisione e moltiplicazione sono operazioni correlate.

• La divisione \(6 \div 3 = 2\) (con resto uguale a 0) può essere scritta come la moltiplicazione: \(6 = 2 \times 3\)
• La divisione \(15 \div 3 = 5\) (con resto uguale a 0) può essere scritta come la moltiplicazione: \(15 = 5 \times 3\)
• La moltiplicazione \(10 = 2 \times 5\) può essere scritta come la divisione: \(10 \div 5 = 2\) (con resto uguale a 0)
• La moltiplicazione \(18 = 6 \times 3\) può essere scritta come la divisione: \(18 \div 3 = 6\) (con resto uguale a 0)

Esempi

• 1) \(6 = 1 \times 6\) ; \(6 = 2 \times 3\). 1, 2, 3 e 6 sono chiamati fattori di 6.
• 2) \(12 = 12 \times 1 = 3 \times 4 = 6 \times 2\). 1, 2, 3, 4, 6 e 12 sono chiamati fattori di 12.
• 3) \(20 = 1 \times 20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5 = 4 \times 5\). 1, 2, 3, 4, 5, 10 e 20 sono chiamati fattori di 20.

Esempio: Trova tutti i fattori di 30

Dividi 30 per tutti i numeri a partire da 1 e seleziona la divisione che dà un resto pari a 0, quindi scrivi i fattori.

• \(30 \div 1 = 30\) con resto 0 o \(30 = 30 \times 1\). Quindi 1 e 30 sono fattori.
• \(30 \div 2 = 15\) con resto 0 o \(30 = 15 \times 2\). Quindi sia 2 che 15 sono fattori.
• \(30 \div 3 = 10\) con resto 0 o \(30 = 10 \times 3\). Quindi sia 3 che 10 sono fattori.
• \(30 \div 4 = 7\) con resto 2. 4 non è un fattore.
• \(30 \div 5 = 6\) con resto 0 o \(30 = 6 \times 5\). Quindi sia 5 che 6 sono fattori.

Ci fermiamo qui perché tutti i fattori maggiori di 5 sono già stati trovati. I fattori di 30 sono: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Multipli

Prendi un numero intero e moltiphicalo per 1, 2, 3, 4, ... per ottenere i multipli come segue:

• \(5 \times 1 = 5\)
• \(5 \times 2 = 10\)
• \(5 \times 3 = 15\)
• \(5 \times 4 = 20\)

I risultati della moltiplicazione di 5 per 1, 2, 3, 4, ... che sono 5, 10, 15, 20, ... sono chiamati i multipli di 5.

Rispondi alle seguenti domande

1. Quali delle seguenti affermazioni sono VERE e quali FALSE? Spiega la tua risposta.
   1. La divisione di 4 per 2 è uguale a 2 con resto diverso da zero.
   2. 3 è un fattore di 9.
   3. 5 e 3 sono fattori di 15.
   4. 3 è un fattore di 7.
   5. La divisione di 10 per 10 dà un resto uguale a 0.
   6. 16 è un fattore di 16.
   7. 1 è un fattore di tutti i numeri interi.
   8. Qualsiasi numero intero maggiore di 1 ha almeno due fattori.
2. Trova tutti i fattori dei numeri interi sottostanti.
   1. 2
   2. 6
   3. 10
   4. 24
3. Quali dei seguenti numeri sono fattori di 120?
   1. 2
   2. 5
   3. 10
   4. 11
   5. 20
   6. 30
   7. 50
4. Trova e ordina dal più piccolo al più grande tutti i fattori di 12 e tutti i fattori di 24. Trova tutti i fattori che sono comuni (uguali) a 12 e 24.
5. Trova i primi 5 multipli di ciascuno dei numeri sottostanti.
   1. 2
   2. 11
   3. 25
6. Trova i primi 5 multipli di 6 e 8. Trova un multiplo che sia comune (uguale) sia a 6 che a 8.

Soluzioni ai problemi precedenti

1. Affermazioni True o False (Vero o Falso)

   1. FALSO: \(4 \div 2 = 2\) con resto 0.
   2. VERO: \(9 = 3 \times 3\).
   3. VERO: \(15 = 5 \times 3\).
   4. FALSO: Non esiste alcun numero intero \(N\) tale che \(7 = 3 \times N\).
   5. VERO: \(10 \div 10 = 1\) con resto uguale a 0.
   6. VERO: \(16 = 16 \times 1\).
   7. VERO: \(N = N \times 1\).
   8. VERO: \(N = N \times 1\), il che significa che ha almeno due fattori: 1 e \(N\) (se stesso).

2. Trovare tutti i fattori

   1. Fattori di 2:

      \(2 \div 1 = 2\) con resto 0, oppure \(2 = 2 \times 1\). Quindi i fattori di 2 sono 1 e 2.

   2. Fattori di 6:

      \(6 \div 1 = 6\) con resto 0, oppure \(6 = 6 \times 1\). Due fattori 1 e 6.

      \(6 \div 2 = 3\) con resto 0, oppure \(6 = 3 \times 2\). Due fattori 2 e 3.

      Tutti i fattori maggiori di 2 sono già stati trovati, interrompiamo il processo di divisione e scriviamo la lista dei fattori di 6: 1, 2, 3 e 6.

   3. Fattori di 10:

      \(10 \div 1 = 10\) con resto 0, oppure \(10 = 10 \times 1\). Due fattori 1 e 10.

      \(10 \div 2 = 5\) con resto 0, oppure \(10 = 5 \times 2\). Due fattori 2 e 5.

      \(10 \div 3 = 3\) con resto 1; 3 non è un fattore di 10.

      \(10 \div 4 = 2\) con resto 2; 4 non è un fattore di 10.

      Tutti i fattori maggiori di 4 sono già stati trovati, interrompiamo il processo di divisione e scriviamo la lista dei fattori di 10: 1, 2, 5 e 10.

   4. Fattori di 24:

      \(24 \div 1 = 24\) con resto 0, oppure \(24 = 24 \times 1\). Due fattori 1 e 24.

      \(24 \div 2 = 12\) con resto 0, oppure \(24 = 12 \times 2\). Due fattori 2 e 12.

      \(24 \div 3 = 8\) con resto 0, oppure \(24 = 8 \times 3\). Due fattori 3 e 8.

      \(24 \div 4 = 6\) con resto 0, oppure \(24 = 6 \times 4\). Due fattori 4 e 6.

      \(24 \div 5 = 4\) con resto 4; nessun fattore.

      Tutti i fattori maggiori di 5 sono già stati trovati, interrompiamo il processo di divisione e scriviamo la lista dei fattori di 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

3. Fattori di 120

   Dividiamo 120 per ciascuno dei numeri nella lista. Se il resto è uguale a zero, il divisore (il numero nella lista) è un fattore di 120.

   • \(120 \div 2 = 60\) con resto 0, 2 è un fattore di 120.
   • \(120 \div 5 = 24\) con resto 0, 5 è un fattore di 120.
   • \(120 \div 10 = 12\) con resto 0, 10 è un fattore di 120.
   • \(120 \div 11 = 10\) con resto 10, 11 NON è un fattore di 120.
   • \(120 \div 20 = 6\) con resto 0, 20 è un fattore di 120.
   • \(120 \div 30 = 4\) con resto 0, 30 è un fattore di 120.
   • \(120 \div 50 = 2\) con resto 20, 50 NON è un fattore di 120.

   Nella lista data sono tutti fattori di 120 tranne 11 e 50.

4. Fattori di 12 e 24

   Troviamo prima tutti i fattori di 12:

   • \(12 \div 1 = 12\) con resto 0, 1 e 12 sono fattori di 12.
   • \(12 \div 2 = 6\) con resto 0, 2 e 6 sono fattori di 12.
   • \(12 \div 3 = 4\) con resto 0, 3 e 4 sono fattori di 12.

   Tutti i fattori maggiori di 3 sono già stati trovati, interrompiamo il processo di divisione e scriviamo la lista dei fattori di 12: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

   I fattori di 24 sono stati trovati nella soluzione al punto 2) parte d) e sono: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

   I fattori comuni a 12 e 24 sono: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

5. Primi 5 multipli

   I primi 5 multipli di un numero si ottengono moltiplicando quel numero per 1, 2, 3, 4 e 5.

   1. Multipli di 2:

      \(2 \times 1 = 2\) ; \(2 \times 2 = 4\) ; \(2 \times 3 = 6\) ; \(2 \times 4 = 8\) ; \(2 \times 5 = 10\)

   2. Multipli di 11:

      \(11 \times 1 = 11\) ; \(11 \times 2 = 22\) ; \(11 \times 3 = 33\) ; \(11 \times 4 = 44\) ; \(11 \times 5 = 55\)

   3. Multipli di 25:

      \(25 \times 1 = 25\) ; \(25 \times 2 = 50\) ; \(25 \times 3 = 75\) ; \(25 \times 4 = 100\) ; \(25 \times 5 = 125\)

6. Multipli di 6 e 8

   I primi 5 multipli di 6 e 8 si ottengono moltiplicando 6 e 8 per 1, 2, 3, 4 e 5.

   1. I primi 5 multipli di 6 sono:

      \(6 \times 1 = 6\) ; \(6 \times 2 = 12\) ; \(6 \times 3 = 18\) ; \(6 \times 4 = 24\) ; \(6 \times 5 = 30\)

   2. I primi 5 multipli di 8 sono:

      \(8 \times 1 = 8\) ; \(8 \times 2 = 16\) ; \(8 \times 3 = 24\) ; \(8 \times 4 = 32\) ; \(8 \times 5 = 40\)

   24 è un multiplo comune a 6 e 8.

Riferimenti e link

• Matematica per la scuola media (Classi 6, 7, 8, 9) - Domande e problemi gratuiti con risposte
• Matematica per le superiori (Classi 10, 11 e 12) - Domande e problemi gratuiti con risposte
• Matematica elementare (Classi 4 e 5) con domande e problemi gratuiti con risposte