Frazioni e numeri misti: Domande e soluzioni passo dopo passo - Classe 6

Il quadrato grande è costituito da 16 piccoli quadrati uguali.

Rosso: Ci sono 4 quadrati rossi. La frazione è: $$\dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$$

Blu: C'è 1 quadrato blu. La frazione è: $$\dfrac{1}{16}$$

Arancione: C'è metà di un quadrato che è arancione. La frazione è: $$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32}$$

Verde: Ci sono uno e mezzo quadrati verdi. La frazione è: $$\dfrac{1}{16} + \left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16}\right) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{2}{32} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{3}{32}$$

Nero: Ci sono 3 quadrati neri. La frazione è: $$\dfrac{3}{16}$$

Giallo: Ci sono 3 quadrati gialli. La frazione è: $$\dfrac{3}{16}$$

Risposta corretta: D

Ci sono due interi e \(\dfrac{3}{4}\) di un intero colorati.

Pertanto, la parte colorata è: $$2 + \dfrac{3}{4} = 2 \dfrac{3}{4}$$

Risposta corretta: C

Nota che \(1 \dfrac{1}{5}\) è maggiore di 1 e minore di 2.

Ciascuna piccola divisione sulla retta numerica rappresenta: $$\dfrac{1}{10}$$

Pertanto, il punto R rappresenta: $$1 + \dfrac{2}{10} = 1 \dfrac{2}{10}$$

Semplificando la frazione: $$1 \dfrac{2}{10} = 1 \dfrac{1}{5}$$

Di conseguenza, il punto R rappresenta \(1 \dfrac{1}{5}\).

Risposta corretta: B

Per sommare i numeri misti, combina separatamente i numeri interi e le parti frazionarie:

$$3 \dfrac{1}{2} + 5 \dfrac{1}{2} = (3 + 5) + \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right)$$

$$= 8 + \dfrac{2}{2} = 8 + 1 = 9$$

Risposta corretta: C

Per sommare le frazioni, scrivile prima con un denominatore comune:

$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{14} + \dfrac{1}{14}$$

Ora somma i numeratori:

$$\dfrac{7}{14} + \dfrac{1}{14} = \dfrac{8}{14}$$

Infine, semplifica la frazione dividendo numeratore e denominatore per 2:

$$\dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7}$$

Risposta corretta: A

Per sottrarre le frazioni, scrivile prima con un denominatore comune:

$$\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12}$$

Ora sottrai i numeratori:

$$\dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12}$$

Infine, semplifica la frazione dividendo numeratore e denominatore per 3:

$$\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$$

Risposta corretta: B

Un mezzo si scrive come: $$\dfrac{1}{2}$$

Due quarti si scrivono come: $$\dfrac{2}{4}$$

Dividi numeratore e denominatore per ridurre la frazione: $$\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$

Quindi un mezzo è uguale a due quarti.

Risposta corretta: B

$$\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$ (dopo aver diviso numeratore e denominatore per 2)

$$\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6}$$ (dopo aver moltiplicato numeratore e denominatore per 2)

$$\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}$$ (dopo aver moltiplicato numeratore e denominatore per 3)

Tuttavia, \(\dfrac{2}{3}\) e \(\dfrac{8}{9}\) non possono essere ridotti l'uno all'altro. Non sono equivalenti.

Risposta corretta: D

Per sommare i numeri misti, combina i numeri interi e poi somma le parti frazionarie:

$$5 \dfrac{2}{3} + 5 \dfrac{1}{2} = (5 + 5) + \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right)$$

Trova un denominatore comune per le frazioni:

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{6}$$

Ora sostituisci:

$$10 + \dfrac{7}{6} = 10 + \left(\dfrac{6}{6} + \dfrac{1}{6}\right) = 10 + 1 + \dfrac{1}{6} = 11 \dfrac{1}{6}$$

Risposta corretta: C

È più facile confrontare le frazioni quando hanno lo stesso denominatore. Scegliamo 18 come denominatore comune e riscriviamo ciascuna frazione:

$$\dfrac{8}{9} = \dfrac{16}{18}, \quad \dfrac{17}{18} = \dfrac{17}{18}, \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{18}, \quad \dfrac{7}{6} = \dfrac{21}{18}$$

Ora ordina i numeratori dal più piccolo al più grande:

$$\dfrac{12}{18} \lt \dfrac{16}{18} \lt \dfrac{17}{18} \lt \dfrac{21}{18}$$

Pertanto, l'ordine originale corretto è: $$\dfrac{2}{3}, \quad \dfrac{8}{9}, \quad \dfrac{17}{18}, \quad \dfrac{7}{6}$$

Risposta corretta: B

Per confrontare le frazioni, le scriviamo con un denominatore comune di 110. Vediamo poi quale si avvicina di più a \(\dfrac{110}{110} = 1\).

$$\dfrac{10}{11} = \dfrac{100}{110}, \quad \dfrac{11}{10} = \dfrac{121}{110}, \quad \dfrac{9}{11} = \dfrac{90}{110}, \quad -\dfrac{9}{10} = -\dfrac{99}{110}$$

Ora, poiché condividiamo lo stesso denominatore, cerchiamo il numeratore più vicino a 110:

• \(100\) dista 10 da 110.
• \(121\) dista 11 da 110.
• \(90\) dista 20 da 110.
• \(-99\) è molto inferiore a 110.

La frazione con il numeratore più vicino a 110 è: $$\dfrac{10}{11}$$

Risposta corretta: A

Per dividere le frazioni, moltiphica la prima frazione per il reciproco della seconda:

$$\dfrac{5}{2} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2}$$

Ora moltiphica numeratori e denominatori:

$$\dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{4}$$

Converti la frazione impropria in un numero misto:

$$\dfrac{25}{4} = \dfrac{24}{4} + \dfrac{1}{4} = 6 \dfrac{1}{4}$$

Risposta corretta: D

Per dividere un numero intero per una frazione, moltiphica il numero intero per il reciproco della frazione:

$$5 \div \dfrac{1}{5} = 5 \times \dfrac{5}{1}$$

Ora esegui la moltiplicazione:

$$5 \times \dfrac{5}{1} = \dfrac{25}{1} = 25$$

Risposta corretta: B

Per moltiplicare le frazioni, moltiplica tra loro i numeratori e tra loro i denominatori:

$$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{2 \times 7}{5 \times 8}$$

Semplifica prima di moltiplicare ove possibile (dividi 2 e 8 per 2):

$$\dfrac{1 \times 7}{5 \times 4} = \dfrac{7}{20}$$

Risposta corretta: C

Per convertire un numero misto in una frazione impropria, moltiplica il numero intero per il denominatore, quindi aggiungi il numeratore:

$$7 \dfrac{7}{8} = \dfrac{7 \times 8}{8} + \dfrac{7}{8}$$

$$= \dfrac{56}{8} + \dfrac{7}{8} = \dfrac{56 + 7}{8} = \dfrac{63}{8}$$

Risposta corretta: D

Per convertire una frazione impropria in un numero misto, dividi il numeratore per il denominatore:

$$\dfrac{31}{8} = \dfrac{24 + 7}{8} = \dfrac{24}{8} + \dfrac{7}{8}$$

$$\dfrac{24}{8} = 3, \quad \text{quindi otteniamo: } 3 \dfrac{7}{8}$$

Risposta corretta: A

Per moltiplicare un numero intero per una frazione, scrivi prima il numero intero come frazione con denominatore 1:

$$3 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{1} \times \dfrac{1}{4}$$

Moltiplica numeratori e denominatori:

$$\dfrac{3 \times 1}{1 \times 4} = \dfrac{3}{4}$$

Risposta corretta: B

Innanzitutto, converti i numeri misti in frazioni improprie:

$$3 \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}, \qquad 5 \dfrac{1}{3} = \dfrac{16}{3}$$

Ora dividi le frazioni moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda:

$$\dfrac{13}{4} \div \dfrac{16}{3} = \dfrac{13}{4} \times \dfrac{3}{16}$$

Moltiplica numeratori e denominatori:

$$\dfrac{13 \times 3}{4 \times 16} = \dfrac{39}{64}$$

Risposta corretta: D

Innanzitutto, converti i numeri misti in frazioni improprie:

$$4 \dfrac{2}{7} = \dfrac{30}{7}, \qquad 5 \dfrac{3}{5} = \dfrac{28}{5}$$

Ora moltiphica le frazioni:

$$\dfrac{30}{7} \times \dfrac{28}{5} = \dfrac{30 \times 28}{7 \times 5}$$

Semplifica prima di moltiplicare (dividi 30 e 5 per 5; dividi 28 e 7 per 7):

$$\dfrac{6 \times 4}{1 \times 1} = 24$$

Risposta corretta: A

Vogliamo risolvere rispetto a \(F\) nell'equazione: $$F + 2 \dfrac{5}{7} = 4$$

Sottrai \(2 \dfrac{5}{7}\) da entrambi i lati:

$$F = 4 - 2 \dfrac{5}{7}$$

Prendi in prestito 1 dal 4 per creare una frazione:

$$F = 3 \dfrac{7}{7} - 2 \dfrac{5}{7} = (3 - 2) + \left(\dfrac{7}{7} - \dfrac{5}{7}\right) = 1 \dfrac{2}{7}$$

Risposta corretta: C

Convertiamo prima i tempi di corsa di ogni giorno in minuti:

• Lunedì: \(\dfrac{3}{4} \times 60 = \dfrac{180}{4} = 45\) minuti
• Martedì: \(30\) minuti
• Mercoledì: Mezz'ora = \(\dfrac{1}{2} \times 60 = 30\) minuti
• Giovedì: \(1 \dfrac{1}{4}\) ore = \(60 + \left(\dfrac{1}{4} \times 60\right) = 60 + 15 = 75\) minuti
• Venerdì: \(\dfrac{2}{3} \times 60 = 40\) minuti

Ora somma i minuti totali:

$$45 + 30 + 30 + 75 + 40 = 220 \text{ minuti}$$

Riconverti in ore e minuti (poiché 180 minuti = 3 ore):

$$220 = 180 + 40 = 3 \text{ ore e } 40 \text{ minuti}$$

Risposta corretta: D

Quando ordiniamo i numeri misti, confrontiamo prima le parti intere. Il numero con la parte intera più piccola sarà il più piccolo in assoluto.

• \(3 \dfrac{1}{5}\) ha una parte intera pari a 3.
• \(3 \dfrac{4}{5}\) ha una parte intera pari a 3 ma \(\dfrac{4}{5} > \dfrac{1}{5}\).
• \(4 \dfrac{5}{6}\) ha una parte intera pari a 4.
• \(5 \dfrac{3}{4}\) ha una parte intera pari a 5.

Pertanto, l'ordine corretto dal più piccolo al più grande è: $$3 \dfrac{1}{5}, \quad 3 \dfrac{4}{5}, \quad 4 \dfrac{5}{6}, \quad 5 \dfrac{3}{4}$$

Risposta corretta: B

Poiché tutti i numeri misti hanno la stessa parte intera (7), dobbiamo solo confrontare le loro parti frazionarie. Per facilitare il confronto, scriviamo tutte le frazioni con il minimo comune denominatore, che è 660.

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{440}{660}, \quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{396}{660}, \quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{495}{660}, \quad \dfrac{6}{11} = \dfrac{360}{660}$$

Ora, confronta i numeratori:

• \(\dfrac{360}{660}\) è il più piccolo (da \(7 \dfrac{6}{11}\))
• \(\dfrac{396}{660}\) (da \(7 \dfrac{3}{5}\))
• \(\dfrac{440}{660}\) (da \(7 \dfrac{2}{3}\))
• \(\dfrac{495}{660}\) è il più grande (da \(7 \dfrac{3}{4}\))

Pertanto, l'ordine dal più piccolo al più grande è: $$7 \dfrac{6}{11}, \quad 7 \dfrac{3}{5}, \quad 7 \dfrac{2}{3}, \quad 7 \dfrac{3}{4}$$

Risposta corretta: C

Una frazione rappresenta una parte di un intero. Poiché 1 ora = 60 minuti, confrontiamo 50 minuti con 60 minuti:

$$\text{Frazione di un'ora} = \dfrac{50}{60}$$

Ora riduci la frazione dividendo numeratore e denominatore per 10:

$$\dfrac{50}{60} = \dfrac{5}{6}$$

Risposta corretta: C

Sia \(n\) il numero sconosciuto. Possiamo tradurre il problema in un'equazione:

$$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{8} \times n$$

Semplifica il membro di destra:

$$\dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{8}$$

Ora risolvi rispetto a \(n\) moltiplicando entrambi i lati per 8:

$$n = 8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3}$$

Risposta corretta: A