Problemi di matematica con soluzioni per la classe 6

Segui la regola della sequenza passo dopo passo:

• 1° numero: 2
• 2° numero: \(2 \times 3 + 2 = 8\)
• 3° numero: \(8 \times 3 + 2 = 26\)
• 4° numero: \(26 \times 3 + 2 = 80\)
• 5° numero: \(80 \times 3 + 2 = 242\)

Il 5° numero è 242.

Per prima cosa, calcola l'area originale del cartone:

\[ \text{Area} = \text{lunghezza} \times \text{larghezza} = 12 \times 8 = 96 \text{ cm}^2 \]

Successivamente, trova l'area di un quadrato tagliato da un angolo:

\[ \text{Area} = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 \]

Poiché ci sono quattro angoli, l'area totale rimossa è:

\[ 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \]

Sottrai l'area rimossa dall'area originale per trovare l'area rimanente:

\[ 96 - 16 = \mathbf{80 \text{ cm}^2} \]

Il prodotto di due numeri interi è sempre uguale al prodotto del loro mcm e MCD. Pertanto:

\[ 16 \times N = 48 \times 8 \]

Risolvendo per \( N \):

\[ N = \dfrac{48 \times 8}{16} = 3 \times 8 = \mathbf{24} \]

Per prima cosa, scrivi la fattorizzazione prima di ciascun numero:

• \( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)
• \( 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \)
• \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

Identifica i fattori primi comuni con gli esponenti più piccoli. L'unico fattore primo comune tra tutti e tre i numeri è 2, e la potenza di 2 più piccola comune a tutti e tre è \(2^2\).

\[ \text{MCD} = 2^2 = \mathbf{4} \]

a) Rapporto tra ragazze e ragazzi:

\[ \dfrac{260}{240} \]

Riduci la frazione dividendo numeratore e denominatore per 20: \( \dfrac{13}{12} \). Il rapporto è 13:12.

b) Rapporto tra ragazzi e totale degli alunni:

Totale alunni = \( 240 + 260 = 500 \).

\[ \dfrac{240}{500} \]

Riduci la frazione dividendo numeratore e denominatore per 20: \( \dfrac{12}{25} \). Il rapporto è 12:25.

La mancia è il 20% di quanto ha pagato per il pranzo. Calcola la mancia:

\[ \text{Mancia} = 20\% \text{ di } 50.50 = \left( \dfrac{20}{100} \right) \times 50.50 = 10.10 \]

Aggiungi la mancia al costo originale del pranzo:

\[ \text{Totale} = 50.50 + 10.10 = \mathbf{\$60.60} \]

La divisione è correlata alla moltiplicazione. L'equazione può essere riscritta come una moltiplicazione:

\[ 64 = 4k \]

Riscrivi questa moltiplicazione come una divisione per risolvere rispetto a \( k \):

\[ k = \dfrac{64}{4} = \mathbf{16} \]

Sostituisci \( y = 3 \) nell'equazione:

\[ x + 2(3) = 10 \]

\[ x + 6 = 10 \]

Sottrai 6 da entrambi i lati per isolare \( x \):

\[ x = \mathbf{4} \]

Il costo \( C \) consiste in una tariffa iniziale fissa (0,50 dollari) e in una tariffa variabile (0,11 moltiplicato per il numero di minuti, \( N \)).

\[ C = \mathbf{0.50 + 0.11N} \]

Per ogni 40 chilometri è necessario 1 gallone. Dividi la distanza totale per la distanza per gallone per trovare il numero di segmenti da 40 km:

\[ \dfrac{180}{40} = 4.5 \]

L'auto avrebbe bisogno di 4,5 galloni di benzina.

Per prima cosa, trova quanti gruppi di 150 bottiglie rientrano in 675:

\[ \dfrac{675}{150} = 4.5 \text{ gruppi} \]

Poiché ciascun gruppo richiede 8 minuti, moltiplica il numero di gruppi per 8:

\[ 4.5 \times 8 = \mathbf{36 \text{ minuti}} \]

Usa la formula della distanza:

\[ \text{Distanza} = \text{Tempo} \times \text{Velocità} \]

\[ \text{Distanza} = 5 \times 65 = \mathbf{325 \text{ miglia}} \]

Poiché i rettangoli sono simili, il rapporto dei loro lati corrispondenti è uguale:

\[ \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{W_2}{W_1} \]

\[ \dfrac{30}{10} = \dfrac{W_2}{5} \]

\[ 3 = \dfrac{W_2}{5} \quad \Rightarrow \quad W_2 = 15 \text{ cm} \]

Ora trova l'area del rettangolo \( B \):

\[ \text{Area}_B = 30 \times 15 = \mathbf{450 \text{ cm}^2} \]

Sia \( x \) il numero di studenti iscritti in una classe. Dobbiamo esprimere gli studenti assenti come frazioni di \( x \):

• 5 classi sono piene a metà (il che significa che \( \frac{1}{2} \) è assente): \( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{5}{2}x \)
• 3 classi sono piene per \( \frac{3}{4} \) (il che significa che \( \frac{1}{4} \) è assente): \( 3 \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{4}x \)
• 2 classi hanno \( \frac{1}{8} \) assenti: \( 2 \times \left(\dfrac{1}{8}x\right) = \dfrac{2}{8}x = \dfrac{1}{4}x \)

Poni la somma delle assenze uguale a 70:

\[ \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = 70 \]

Trova un denominatore comune (4):

\[ \dfrac{10}{4}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{14}{4}x = \dfrac{7}{2}x = 70 \]

Risolvi per \( x \):

\[ x = 70 \times \dfrac{2}{7} = 20 \text{ studenti per classe} \]

Poiché ci sono 10 classi, la popolazione studentesca totale iscritta è \( 10 \times 20 = \mathbf{200 \text{ studenti}} \).

Ci sono quadrati di 4 dimensioni differenti. Li contiamo sistematicamente:

• 16 quadrati di dimensione \( 1 \times 1 \).
• 9 quadrati di dimensione \( 2 \times 2 \).
• 4 quadrati di dimensione \( 3 \times 3 \).
• 1 quadrato di dimensione \( 4 \times 4 \).

Numero totale di quadrati = \( 16 + 9 + 4 + 1 = \mathbf{30} \)

Sia \( x \) il numero di francobolli con cui John ha iniziato.

Jim ha ricevuto: \( \dfrac{1}{2}x \)

Carla ha ricevuto: \( \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{1}{4}x \)

Carla ne ha regalati \( \frac{1}{4} \), il che significa che ha tenuto il \( \frac{3}{4} \) di ciò che ha ricevuto:

\[ \text{Carla ha tenuto} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{16}x \]

Ci viene detto che ha tenuto 12 francobolli. Quindi:

\[ \dfrac{3}{16}x = 12 \]

\[ x = 12 \times \dfrac{16}{3} = \mathbf{64 \text{ francobolli}} \]

Per prima cosa, trova il tempo necessario a ciascuna pallina per compiere una rotazione completa.

Pallina A: \( \dfrac{120}{4} = 30 \text{ secondi per rotazione} \)

Pallina B: \( \dfrac{60}{3} = 20 \text{ secondi per rotazione} \)

Si incontreranno nel punto di partenza in corrispondenza del Minimo Comune Multiplo (mcm) dei loro tempi di rotazione.

\[ \text{mcm}(30, 20) = \mathbf{60 \text{ secondi}} \]

Se un segmento di 3 unità viene diviso in 9 parti uguali, la lunghezza di 1 parte è:

\[ 1 \text{ parte} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \text{ di un'unità} \]

Pertanto, 2 parti equivalgono a:

\[ 2 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{2}{3} \text{ di un'unità}} \]

Converti i chilometri in metri e le ore in minuti:

\[ 1 \text{ chilometro} = 1000 \text{ metri} \]

\[ 1 \text{ ora} = 60 \text{ minuti} \]

Ora, applica le conversioni alla velocità:

\[ 75 \text{ km/h} = \dfrac{75 \times 1000 \text{ metri}}{60 \text{ minuti}} \]

\[ = \dfrac{75000}{60} = \mathbf{1250 \text{ metri al minuto}} \]

Sia \( x \) i suoi risparmi totali. Se ha speso \( \frac{3}{4} \) dei suoi risparmi, le è rimasto \( \frac{1}{4} \).

Ha speso la metà di quel resto per un frigorifero, che è costato 150 dollari:

\[ \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = 150 \]

\[ \dfrac{1}{8}x = 150 \]

Moltiplica entrambi i lati per 8:

\[ x = 150 \times 8 = \mathbf{\$1200} \]

Sia \( x \) la lunghezza del lato del quadrato A e \( y \) la lunghezza del lato del quadrato B. I loro perimetri sono \( 4x \) e \( 4y \).

\[ 4x = 3(4y) \quad \Rightarrow \quad 4x = 12y \quad \Rightarrow \quad x = 3y \]

Il rapporto delle loro aree è:

\[ \dfrac{\text{Area}_A}{\text{Area}_B} = \dfrac{x^2}{y^2} \]

Sostituisci \( x = 3y \):

\[ \dfrac{(3y)^2}{y^2} = \dfrac{9y^2}{y^2} = \mathbf{9} \] (Il rapporto è 9:1).

L'altezza della scatola sarà la misura del quadrato ritagliato (\( 3 \text{ cm} \)).

La nuova lunghezza è la lunghezza originale meno i due quadrati tagliati da ciascun lato:

\[ \text{Lunghezza} = 15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm} \]

La nuova larghezza è la larghezza originale meno i due quadrati tagliati da ciascun lato:

\[ \text{Larghezza} = 10 - 3 - 3 = 4 \text{ cm} \]

Calcola il volume:

\[ V = \text{lunghezza} \times \text{larghezza} \times \text{altezza} = 9 \times 4 \times 3 = \mathbf{108 \text{ cm}^3} \]

Trova l'area totale del rettangolo originale:

\[ A_{\text{rett}} = \text{lunghezza} \times \text{larghezza} = 20 \times 10 = 200 \]

Trova l'area del piccolo quadrato che viene ritagliato:

\[ A_{\text{quadrato}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]

L'area rimanente è l'area del rettangolo meno l'area del quadrato:

\[ \text{Area rimanente} = \mathbf{200 - 4x^2} \]

L'area di un cerchio è data da \( \pi r^2 \):

\[ \pi r^2 = 81\pi \]

Dividi entrambi i lati per \( \pi \):

\[ r^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad r = 9 \text{ piedi} \]

La circonferenza è \( 2\pi r \):

\[ C = 2\pi(9) = \mathbf{18\pi \text{ piedi}} \]

Sia \( P \) l'età attuale di Peter. Questo rende l'età attuale di Jim \( P - 13 \).

Un anno fa, le loro età erano:

• Peter: \( P - 1 \)
• Carla: \( 5 - 1 = 4 \)
• Jim: \( (P - 13) - 1 = P - 14 \)

Imposta l'equazione basata sulla condizione di un anno fa:

\[ P - 1 = 2 \times [4 + (P - 14)] \]

\[ P - 1 = 2(P - 10) \]

\[ P - 1 = 2P - 20 \]

Sottrai \( P \) e aggiungi 20 a entrambi i lati:

\[ P = \mathbf{19} \]

Peter ha 19 anni, Jim ha 6 anni (\(19 - 13\)) e Carla ne ha 5.

Somma le distanze che ha già percorso:

\[ 2.4 + 1.75 = 4.15 \text{ km} \]

Sottrai questo valore dal suo obiettivo totale:

\[ 6 - 4.15 = \mathbf{1.85 \text{ km}} \]

Sia \( x \) la quantità di farina. Imposta il rapporto:

\[ \dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{2} \]

Moltiplica in croce:

\[ 2x = 12 \]

\[ x = \mathbf{6 \text{ tazze}} \]

La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre \( 180^\circ \). Sia \( x \) il terzo angolo.

\[ x + 47 + 58 = 180 \]

\[ x + 105 = 180 \]

\[ x = 180 - 105 = \mathbf{75^\circ} \]

Sottrai 4 da entrambi i lati:

\[ 3x = 19 - 4 \]

\[ 3x = 15 \]

Dividi per 3:

\[ x = \dfrac{15}{3} = \mathbf{5} \]

Parti da \( -4^\circ\text{C} \) e aggiungi l'aumento di temperatura:

\[ -4 + 11 = 7^\circ\text{C} \]

Sottrai il calo di temperatura:

\[ 7 - 6 = \mathbf{1^\circ\text{C}} \]

Sia \( x \) il prezzo originale. Uno sconto del 30% significa che ha pagato il 70% del prezzo originale:

\[ 100\% - 30\% = 70\% \]

\[ 0.70x = 84 \]

Dividi per 0,70:

\[ x = \dfrac{84}{0.70} = \mathbf{\$120} \]

Poiché stanno camminando l'uno verso l'altra, la loro velocità combinata è la somma delle loro singole velocità:

\[ \text{Velocità combinata} = 40 + 60 = 100 \text{ m/min} \]

Il tempo necessario per incontrarsi è la distanza divisa per la loro velocità combinata:

\[ \text{Tempo} = \dfrac{2500}{100} = 25 \text{ minuti} \]

Il cane corre continuamente per quei 25 minuti a 120 metri al minuto. La distanza totale percorsa dal cane è:

\[ \text{Distanza} = 120 \text{ m/min} \times 25 \text{ min} = \mathbf{3000 \text{ metri}} \]