Impara come eseguire la moltiplicazione incrociata per risolvere equazioni algebriche con frazioni e per verificare se due frazioni sono equivalenti. Questa pagina fornisce esempi chiari, spiegazioni passo dopo passo e domande di pratica con le relative soluzioni dettagliate per aiutare studenti, genitori e insegnanti a padroneggiare questa importante abilità matematica.
Consideriamo l'equazione:
\[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \]
Le equazioni con frazioni come quella sopra sono a volte difficili da risolvere a causa dei denominatori. Troviamo un'equazione equivalente senza denominatori.
Il metodo sopra descritto per trasformare un'equazione con frazioni in un'equazione senza frazioni è chiamato moltiplicazione incrociata.
Esempio 1: Risolvi l'equazione \[ \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{6} \]
Passaggio 1: Esegui la moltiplicazione incrociata per eliminare i denominatori:
\[ 6 \times x = 3 \times 10 \]
Passaggio 2: Dividi entrambi i lati per il coefficiente di \( x \) (che è 6):
\[ \dfrac{6 \times x}{6} = \dfrac{30}{6} \]
Passaggio 3: Semplifica per trovare \( x \):
\[ x = 5 \]
Esempio 2: Le frazioni \( \dfrac{4}{3} \) e \( \dfrac{12}{9} \) sono equivalenti?
Passaggio 1: Esegui la moltiplicazione incrociata:
\[ 4 \times 9 = 36 \qquad \text{e} \qquad 3 \times 12 = 36 \]
Passaggio 2: Confronta i risultati. Poiché entrambi i prodotti sono uguali, le frazioni sono equivalenti. Pertanto, possiamo scrivere:
\[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{9} \]
Gli esercizi sottostanti riguardano l'uso della moltiplicazione incrociata per risolvere le variabili e verificare l'equivalenza delle frazioni.
Risolvi l'equazione: \( \dfrac{x}{6} = \dfrac{3}{2} \)
Usa la moltiplicazione incrociata per riscrivere l'equazione:
\[ 2 \times x = 3 \times 6 \]
Semplifica:
\[ 2x = 18 \]
Dividi entrambi i lati per 2:
\[ \frac{2x}{2} = \frac{18}{2} \implies \mathbf{x = 9} \]
Risolvi l'equazione: \( \dfrac{1}{3x} = \dfrac{2}{24} \)
Esegui la moltiplicazione incrociata di denominatori e numeratori:
\[ 1 \times 24 = 3x \times 2 \]
Semplifica:
\[ 24 = 6x \]
Dividi entrambi i lati per 6:
\[ x = \frac{24}{6} \implies \mathbf{x = 4} \]
Risolvi l'equazione: \( \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{4x} \)
Usa la moltiplicazione incrociata:
\[ 3 \times 4x = 2 \times 12 \]
Semplifica:
\[ 12x = 24 \]
Dividi entrambi i lati per 12:
\[ x = \frac{24}{12} \implies \mathbf{x = 2} \]
Risolvi l'equazione: \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{x}{9} \)
Esegui la moltiplicazione incrociata:
\[ 4 \times 9 = 6 \times x \]
Semplifica e risolvi per \(x\):
\[ 36 = 6x \implies x = \frac{36}{6} \implies \mathbf{x = 6} \]
Risolvi l'equazione: \( 2 = \dfrac{x}{14} \)
Esprimi 2 come frazione (\(\frac{2}{1}\)) ed esegui la moltiplicazione incrociata:
\[ \frac{2}{1} = \frac{x}{14} \]
Esegui la moltiplicazione incrociata:
\[ 2 \times 14 = 1 \times x \]
Semplifica:
\[ \mathbf{28 = x} \]
Risolvi l'equazione: \( \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{1}{7} \)
Esegui la moltiplicazione incrociata:
\[ 2 \times 7 = (x + 2) \times 1 \]
Semplifica e risolvi per \(x\):
\[ 14 = x + 2 \]
\[ x = 14 - 2 \implies \mathbf{x = 12} \]
Quali delle seguenti coppie di frazioni sono equivalenti (uguali)?
Definizione: Affinché due frazioni siano equivalenti, le quantità derivanti dalla moltiplicazione incrociata devono essere uguali.
a) \( \dfrac{5}{6} \) e \( \dfrac{15}{18} \)
\( A = 5 \times 18 = 90 \)
\( B = 6 \times 15 = 90 \)
Poiché \(A = B\), le frazioni sono equivalenti (\( \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \)).
b) \( \dfrac{5}{3} \) e \( \dfrac{20}{13} \)
\( A = 5 \times 13 = 65 \)
\( B = 3 \times 20 = 60 \)
Poiché \(A \neq B\), le frazioni non sono equivalenti.
c) \( \dfrac{25}{35} \) e \( \dfrac{5}{7} \)
\( A = 25 \times 7 = 175 \)
\( B = 35 \times 5 = 175 \)
Poiché \(A = B\), le frazioni sono equivalenti (\( \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \)).
d) \( \dfrac{23}{7} \) e \( \dfrac{46}{17} \)
\( A = 23 \times 17 = 391 \)
\( B = 7 \times 46 = 322 \)
Poiché \(A \neq B\), le frazioni non sono equivalenti.